基于关键信息构建数量关系的价值意蕴与学习路径

【摘 要】解决问题是小学数学的重要组成部分。教师以关键信息为抓手，从解决问题需探究真实情境中蕴含的关系出发，提出关键信息是构建数量关系的核心要素，强调通过关键信息的表征构建数量关系，构建由关键信息到数量关系的解决问题学习路径。

【关键词】解决问题；数量关系；关键信息

解决问题是小学数学的重要组成部分，也是公认的教学难度大、学生出错多的内容之一。教师就如何在引导学生理解问题、构建解决问题的方法和策略感到困惑。因此，亟须突破这一教学困境，以提升教师的教学能力以及学生解决问题的能力。

一、解决问题需探究真实情境中蕴含的关系

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022年版课标”）强调，解决问题要“探索真实情境所蕴含的关系”。真实情境所蕴含的关系，实际上指隐藏在各类信息背后的数学现象，对关系的理解即是对问题的理解。

在人教版教材一年级上册“6～10的认识和加减法”单元中，教材编排了“用加法解决实际问题”（如图1），这是学生首次接触解决问题的教学内容，旨在引导学生探索数学关系，自主构建基于数量关系的解决问题模式。

教材呈现的是由一幅图和一个问号组成的情境，让学生观察情境，发现隐含在其中的数量之间的关系，并运用这些关系来描述和表达一个数学故事。这个故事其实就是一个应用问题：左边有4只兔子，右边有2只兔子，一共有几只兔子？

将左边的4只兔子和右边的2只兔子合并，即可得出所要求的总数。这种合并关系在数学上被描述为加法，表述为4＋2＝6。这就是2022年版课标指出的“数量关系主要是用符号（包括数）或含有符号的式子表达数量之间的关系或规律”。同时，它还强调“要在理解四则运算意义的基础上，引导学生理解现实问题中的加法模型是表示总量等于各分量之和”。

解决问题是一个以算式为工具、数学思维为核心的过程，涉及数学推理。上述案例中，从数量关系的视角审视情境，能清晰地揭示数学问题的结构，也就是教材呈现的由2个信息（条件）和1个问题组成的数学故事。

因此，在解决问题的教学中，教师应引导学生探究真实情境中蕴含的关系，通过关系把握问题的结构，体会数学故事的内涵。这有助于学生用数学的眼光观察现实世界，发现数量关系，用数学语言表达数量关系，进而用数学思维去思考，用推理和运算解决问题。

二、关键信息是构建数量关系的核心要素

在引导学生探究真实情境所蕴含的关系，并把握问题结构的过程中，关键信息起到至关重要的作用。关键信息不仅是构建数量关系的核心要素，还是学生探索问题、理解结构的关键所在。

关键信息指的是在真实情境中，对问题解决或决策制定产生重大影响的主要因素或条件，包括真实情境中的概念、规则或事件等。关键信息直接关联着数量关系，对其的理解和把握，实际上就是对真实情境中数量关系的深化理解。

在人教版教材三年级上册“归总问题”中，例题为“6元一个的碗，妈妈买了6个。用这些钱买9元一个的碗，可以买几个？”这一应用问题中“用这些钱”就是关键信息。它揭示了问题背后的数量关系，即总价与数量之间的关系。真实情境描述了两个数学事件，从逻辑层面分析，“这些钱”不仅表示第一个事件描述的“6元一个的碗，妈妈买了6个”的总价，同时也构成了第二个事件“9元一个的碗可以买几个ni9IS8NpjRbbymoZK9+lduoOzysjU6lXRIbFrx36BUQ=”的总价。这里的“这些钱”既是前一个事件的总价，也是后一个事件的总价。正是基于“这些钱”的同一性，两个事件之间建立了数量关系：6×6＝36＝9×（ ）。因此，对于“这些钱”的把握和理解是解决问题的核心所在。只有理解了“这些钱”所蕴含的数量关系，才能用乘法和除法的式子表达数量之间的关系或规律，进行推理和运算。

教师在教学中要引导学生深入理解和表征这些关键信息，运用数学方法分析问题，进而自主构建基于数量关系的问题解决模型。从真实情境中提炼与数学相关的信息，并确定解决问题的关键信息，是提升学生解决问题能力的重要途径。

为寻找和确定真实情境中的关键信息，学生需要明确情境中蕴含的关系，认识这些关系在构建数量关系中的价值。例如，在解决“美术兴趣小组中，女生有24人，女生人数比男生人数多[13]，男生有多少人？” 这类稍复杂的分数除法问题时，教师需要引导学生理解“多[13]”这一关键信息的含义，即“女生比男生多的人数是男生的[13]”。明确“多”的是什么，以及“多”的是谁的[13]，可帮助学生清晰地构建女生和男生人数之间的数量关系，并据此建立乘法模型。学生只有基于这样的理解，才能准确建立两个数量之间的关系，进而利用数量关系解决问题。

三、通过关键信息的表征构建数量关系

教师要精心设计学习活动，利用关键信息进行表征，撬动学生数学思维的支点。学生只有对关键信息有了深刻的理解，才能将其转化为解决问题的有效工具。

例如，在人教版教材五年级上册“相遇问题”中，例题为“小云家和小林家相距4.5千米。周日早上9：00两人分别从家里出发，骑自行车相向而行，小云每分钟骑200米，小林每分钟骑250米，两人何时相遇？”这一应用问题的“关键信息”在于理解相向而行中“相遇”的数学含义。“相遇”指的是小云和小林两人所骑行的路程之和等于全程4.5千米。为了帮助学生直观理解这一关系，教师应鼓励学生通过画线段图的方式，将两人从开始骑行到相遇的全程展现出来。画线段图的目的在于清晰地展示两人骑行路程与全程之间的数量关系，学生可以通过数学算式或方程来表达这一数量关系，即小云骑行的路程+小林骑行的路程=4.5千米（如图2）。

这种数量关系的清晰描述为学生提供了解决问题的依据。当学生能够基于关键信息对其进行个性化的解读和表征，通过探索、操作和交流，构建出两人骑行路程和全程之间的关系时，他们便找到了解决问题的关键。对这种“相遇问题”的解析可以应用至其他类似的实际问题中，如两人共同完成一项工程、两人一起完成1000个字的打字任务或两人一起运完一批货等。这些现象都具有相同的结构和含义，即两人共同完成某项任务。从把握关键信息的本质含义出发，并以“相遇问题”为例理解类似实际问题的内在一致性，学生可以更有效地构建解决问题的模型，实现从一道题到一类题的跨越。

四、构建由关键信息到数量关系的解决问题学习路径

从关键信息出发，直至解决问题，是一个呈现现实情境，从现实情境蕴含的丰富信息中提炼与数学相关的信息，识别并确定关键信息，运用数学方法对其进行分析和表征，进而利用数量关系达成目的的过程。

（一）发现问题，确定关键信息

从现实情境中发现数学问题，并进一步探寻和确定关键信息，这体现了“发现问题”的能力。例如，在人教版教材三年级上册“用估算解决问题”（如图3）的教学中，其教学目标在于使学生理解估算的价值，掌握用估算解决问题的基本策略，并能根据具体情境灵活应用这些策略。

在问题情境中，“带250元买门票够吗”揭示了所带的钱和买门票所花的钱的关系，它是解决问题的关键信息。只有清晰理解和明确关键信息，才能进一步解决问题。教师可以引导学生思考：“你们觉得这道题中最重要的信息是什么？”学生回答：“带250元买门票够吗？”教师提问：“如何理解‘够吗’？”在此基础上，进一步启发学生思考：“你们认为‘带250元买门票够吗？’这一表述揭示了怎样的数量关系？”

（二）分析问题，对关键信息进行表征

分析问题，即深入分析关键信息的本质、背景及其影响因素。准确把握关键信息的含义与蕴含的关系，找出解决问题中的数量关系。对于关键信息 “带250元买门票够吗”，教师要引导学生进行深入剖析，采用画示意图、文字描述、算式符号等方式进行表征，明确所带的钱和应花的钱的关系，构建数学模型，为解决问题提供有力的支持。教师可以设计如下学习活动。

（1）学习活动：表征关键信息

教师引导：你们能否用自己喜欢的方式（如画线段图、列表等）清晰地表达这一关系？并提示学生，完成表征后，可以轻声与同桌交流，分享自己的表达方式和对关键信息的理解。

（2）作品分享：理解关键信息

教师引导：来看看同学们的作品，他们说清楚谁和谁的关系了吗？（如表1）

教师进一步引导：观察这些作品，你们发现了什么共同点？（都是把实际的价格和250元进行比较）

这种数量关系的可视化处理，实际上是将两个量的大小进行直接的比较。通过这一学习活动，学生对关键信息进行个性化的表达和描述，为解决问题奠定了坚实的基础。

（三）解决问题，应用关键信息

学生通过对关键信息的解读和表征，构建了要带的钱和要花的钱的关系，即本题的数量关系。运用数量关系使问题得以解决。

【教学片段1】

师：同学们在对实际的价格和250元进行比较时，发现这个实际的价格很重要。那么，我们该用什么方法来计算实际的价格呢？请你们在学习单的空白处列出算式。

（学生独立进行列式计算）

师：说一说，你们是怎么利用这个关系来列算式的？

展示方法1：29×8=232（元）。

展示方法2：30×8=240（元）。

师：两种方法有什么区别？为什么把29估成30也能解决问题呢？

生：因为按30人算，买门票需要240元，所以29人买门票250元肯定够。

生：因为 29小于30，30×8=240，29×8小于240，所以29×8小于250 。

师：也对，30人买门票需要240元，所以29人买门票250元肯定够。不管是估算还是精算，都能解决问题。那你更喜欢哪种方法？

生：我喜欢用估算的方法。

师：看来大家都很喜欢估算，为什么呢？

师生总结：如果想知道够不够，用30×8这样的估算方法就能判断出来。生活中遇到类似的问题，用估算就能解决问题。

对数量关系的明确描述和直观表达，是解决问题的基础和关键。学生所展示的各类算式，都是基于数量关系进行的数学表达。有了这一数量关系模型，就拥有了解决问题的依据。

（四）拓展问题，强化关键信息

学生通过对问题情境中关键信息的解读和表征，构建相应的数量关系，并据此进行运算和推理。那iBsKzrrJx6poxPgMvWd8Hw==么，在面对其他的问题情境时，学生应如何有效解决问题呢？教师需通过拓展问题情境，进一步强化学生对关键信息的表征和应用，提升他们基于关键信息解决问题的能力。

【教学片段2】

师：回顾刚才的学习过程，我们是怎么解决问题的？

生：通过读题找到关键信息。

生：先运用画图、文字描述来表示数量关系，再借助数量关系列算式计算。

（教师出示生活中的问题，如图4所示）

师：看看这三道生活中的问题，仔细读一读，你们有什么发现？

生：三道题都是比较关系的。

师：你们能用已掌握的方法来解决这些问题吗？请你们任意选一道题，先想想数量之间的关系，再根据数量关系解决问题。

（先让学生独立思考，再全班进行交流反馈）

拓展和迁移问题情境，有助于学生思维的发展，帮助他们深化对这类问题的结构化理解，形成基于关键信息的思考路径，构建解决问题的应用模型。

综上所述，在教学实践中将关键信息作为构建数量关系的核心，通过明确关键信息，将其作为激发学生思维的触发点，引导学生在数学活动中深入理解和表征关键信息，确定其中蕴含的数量关系，构建数学模型，有助于学生更好地基于数量关系分析问题和解决问题，进一步发展“四能”，从而提升数学学科核心素养。

参考文献：

［1］周晓林.关键问题：一节课里的种子［M］. 南昌：江西教育出版社，2021.

［2］曹培英，张晓芸.跨越断层，走出误区：小学数学问题解决教学研究［M］. 上海：上海教育出版社，2021.

（浙江省温州市鹿城区教育研究院）

*本文系2024年浙江省教研规划课题“小学数学建构合理问题课堂教学模式的区域实践样本”（课题编号：G202422）的研究成果。