单元整体视角下“数的运算”教学思考与实践

摘 要：单元整体教学是发展学生数学核心素养、解决小学数学教学“碎片化”问题的重要教学手段。以“多位数乘一位数”单元教学为例，教师可通过研读课程标准和教材的编排体系，对单元教学内容进行溯源，从中提取数的运算的知识本质，凝练此类知识背后的大观念，从而对单元教学内容进行整体把握；通过对单元教材内容进行整体分析和对学生的学情进行课前检测，可以发现学生的认知起点和难点以及教材内容与学生认知之间的契合性；基于学生的学情思考单元整体教学，可以确定有利于促进学生发展的单元整体教学目标，并围绕单元整体教学目标的达成合理整合教学内容，对单元教学内容进行整体筹划，合理确定各课时教学目标和内容；最后借助关键课构建“数的运算”的基本模型。

关键词：单元整体教学；小学数学；核心素养具体表现；数的运算；计数单位；多位数乘一位数

中图分类号：G62 文献标识码：A 文章编号：0450-9889（2024）25-0053-06

小学数学课堂教学长期存在“碎片化”现象：教学内容作为一种纯粹的理论知识，看不到数学与学生现实生活的联系，更谈不上发现二者之间有趣、有用的联结；课堂教学局限在一个个零星的知识点上，看不到知识的整体结构，也看不到教学的层次，不利于学生拓展自己的认知体系，形成数学核心素养。数学核心素养指的是“会用数学的眼光观察现实世界”“会用数学的思维思考现实世界”“会用数学的语言表达现实世界”［1］5-6（简称“三会”）的核心素养，是《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《2022年版数学课标》）提出的课程教学基本导向。数学核心素养在不同阶段有不同的表现，小学阶段侧重对经验的感悟，具体可表现为数感、量感、符号意识、推理意识、运算能力、应用意识、创新意识等。《2022年版数学课标》为体现数学知识之间的内在逻辑关系以及学习内容与核心素养具体表现的关联，十分重视单元整体教学，明确指出：“单元整体教学设计要整体分析数学内容本质和学生认知规律，合理整合教学内容，分析主题—单元—课时的数学知识和核心素养主要表现，确定单元教学目标，并落实到教学活动各个环节，整体设计，分步实施，促进学生对数学教学内容的整体理解与把握，逐步培养学生的核心素养。”［1］86从碎片化的课时教学到体现整体性和关联性的单元整体教学，《2022年版数学课标》对义务教育数学课程的课堂教学要求明显提高了。下面笔者以人教版数学三年级上册“多位数乘一位数”为例，从单元教学内容整体分析、单元教材结构分析与学情检测、单元教学内容合理整合和关键课时教学实践四个方面探讨单元整体视角下“数的运算”的教学思考与实践。

一、单元教学内容的整体分析及内容本质的整体把握

对单元教学内容进行整体分析，旨在通过研读课程标准和教材的编排体系，从中提取单元教学内容的知识本质，凝练单元教学的大观念，对单元教学内容进行整体上的把握。大观念是“知识背后的核心观念、核心概念，是超越知识的知识，它们不仅能反映一系列相关知识的本质和共性，还能将这些知识串联为一个结构化的整体”［2］。教育部基础教育课程改革专家工作组成员张华教授认为：“对任何一门学科而言，均需选择‘少而重要’的观念即学科核心观念，作为学生探究学科与世界的基本智力工具，并使每一个观念与其他观念建立尽可能多的联系，由此形成‘观念为本的课程内容’。”［3］单元整体视角下的数学教学，尤其需要凝练单元教学内容的大观念。

从《2022年版数学课标》的角度研读“多位数乘一位数”单元教学内容，可知该教学内容属于数与代数领域“数与运算”主题下整数的认识及其四则运算第二学段的教学内容。从人教版小学数学12册教材对“数与运算”教学内容的整体编排（如图1）来看，各学段之间的教学内容相互关联、层层递进、螺旋上升，构成数的认识和数的运算的知识体系及整体结构。由图1可知，从“数的运算”角度纵观“多位数乘一位数”单元教学内容，可知该单元教学内容是建立在学生已经掌握了表内乘法知识之后的新的学习内aaDuFK5WcgO/Ix8JYn7WePwI+sCf74v18342ejkN7so=容；而在此之后，学生将逐步学习两位数乘两位数、三位数乘两位数等相对复杂的乘法运算，直至小数乘法、分数乘法的运算。

乘法是加法的简便运算，要追溯乘法运算的知识本质，应回溯加法的意义。不管是乘法还是加法，本质上都是“相同计数单位个数的不断累加”。再进一步追溯数的认识与数的运算的整体教学内容，其实都是以“计数单位”作为核心观念来统领教学内容。因此，“计数单位”亦可作为“多位数乘一位数”单元教学内容的大观念。以表内乘法为基础学习“多位数乘一位数”，关键是灵活运用转化思想，基于计数单位将多位数进行合理拆分，即把多位数转化为表内乘法进行计算，先转化成每个数位上的计数单位与一位数相乘，再把乘得的结果相加，经历先“分”后“合”的探究过程，体会“多位数乘一位数”的运算本质即相同计数单位个数的不断累加，从中明白算理，之后学习使用竖式进行准确计算，体会十进位值制的意义及其简洁性。

二、单元教材内容的结构分析及学情检测

（一）单元教材内容的结构分析

口算是笔算的学习基础，表内乘法是“多位数乘一位数”的学习基础。因此，在“多位数乘一位数”单元中，人教版教材为了减缓学生的认知坡度，为该单元依次编排了口算乘法、笔算乘法和解决问题三个部分的学习内容（如图2）：始于整十、整百、整千数乘一位数和两位数乘一位数（不进位）的口算；将重点落在笔算上，先从两位数乘一位数的不进位到进位，再从两位数乘一位数过渡到中间或末尾有0的三位数乘一位数，难度递增；解决问题部分，侧重帮助学生更好地学习解决问题的方法和策略，包括估算的方法、归一问题、归总问题等。整体来看，乘法学习由口算到笔算，笔算学习由不进位到进位，把进位和连续进位放到后面实现横向关联。这样的内容安排，可以有效减缓学生对算法的认知坡度，但容易割裂原本一体的算理与算法的学习。

（二）单元教学内容的学情前测

遵循学生认知规律实施单元整体教学，必须清晰地把握学生对学习内容的认知起点和难点，以便科学设计单元教学目标，顺应学生的认知规律实施单元整体教学，帮助学生顺利突破学习重难点。为了把握学生在“多位数乘一位数”单元学习中的认知起点和难点，笔者在执教本单元教学内容之前对本校三年级两个班的96名学生进行了两方面的学情前测。

一方面，检测学生对算法的掌握和感悟。笔者共设计了6道计算题，包括整十整百数乘一位数、两位数乘一位数和三位数乘一位数，让学生运用自己的方法算出结果。学生答题情况（如表1）显示：整十、整百数乘一位数的计算题如20×3、200×3，学生答题的正确率在98%以上；20×3、12×3这样的两位数乘一位数不进位的计算题，学生答题的正确率在91%以上；多位数乘一位数进位和连续进位的计算题如15×4、217×6，学生答题的正确率明显降低。由此可见，笔算乘法（进位）是学生学习本单元知识的难点。进一步分析学生的答题过程，可以清楚地看到：学生学习本单元知识时，头脑中并不是一片空白的。在学习了乘法口诀后，学生对乘法已经有了丰富的感性经验，能够根据乘法的意义将乘法转化为加法后进行计算；能够根据表内乘法的学习经验，直接用口算方法计算整十、整百数乘一位数的计算题。甚至还有一些学生因为有了笔算加法的经验，开始尝试用笔算乘法进行计算，但因为对笔算乘法的算理理解不清，且不同学生的认知能力存在个体差异，导致学生在进行乘法竖式计算时出现了不管满几十都进一或漏算某一个数位等错误。这说明，学生脑海中的“数位”概念尚且不够清晰，对乘法运算本质的理解还不够精准。

另一方面，检测学生对算理的理解情况。检测学生对算理的理解的题目及学生答题情况（如表2）显示：对于两位数乘一位数的计算题，部分学生能借助以前的加法和乘法口诀学习经验算出结果，有超过半数的学生能将两位数乘一位数主动转化成一位数乘一位数进行计算，但是大部分学生不能借助点子图进行思考，不知道怎样拆分点子图，做不到图与式的一一对应。也就是说，虽然大部分学生会算，但是对算理的理解是模糊的。因此，本单元的教学重点应放在教学笔算乘法上，让学生充分感受“先分后合”的运算过程，从中感受数的乘法运算的通法，然后迁移经验，理解算理、掌握算法，直至能够灵活运用乘法运算的算理和算法解决问题。此外，还应让学生充分感受计算方法的共性和差异，体会数的运算本质上的一致性，发展学生的推理意识和运算能力。推理意识、运算能力、应用意识和创新意识，都是本单元数学知识所关联的核心素养具体表现。

三、单元整体教学目标的确定及教学内容的合理整合

基于以上单元教材分析和学情检测，为了避免算法与算理教学的人为割裂，切实发展学生的推理意识、运算能力、应用意识和创新意识，“多位数乘一位数”单元教学必须让学生从整体上把握乘法运算的本质，注重算理的探究和算法的掌握，让算理和算法有效融通［4］。为此，笔者设定了4个单元教学目标。目标1，以单元大观念“计数单位”为核心，以基础知识“百以内数的意义”为基础，尝试直观理解两位数乘一位数的算理；通过相关知识的迁移运用和学习经验的唤醒，尝试在新知向旧知转化的过程中归纳“多位数乘一位数”口算和竖式计算的方法“先分后合”；沟通算理和算法，从中感悟计算道理和方法的一致性。目标2，在解决实际问题的过程中，感受估算的意义，会根据实际情况选择估算策略。目标3，在知识和经验迁移运用的过程中，不断经历将新知转化为旧知的过程，打通新旧知识之间的联系，发展推理意识和运算能力；经历解决问题的过程，发展应用意识和创新意识。目标4，在知识和经验迁移、转化的过程中，逐步打通“多位数乘一位数”算理与算法之间的内在联系，完善知识结构，渗透结构化思维和事物之间普遍联系的观念。

对照以上教学目标，笔者对“多位数乘一位数”单元中的8个例题（口算乘法例1、例2和笔算乘法例1、例2、例3、例4、例5、例6）进行了解构与统整，决定打破教材原有的例题呈现顺序，用4个课时实施单元整体教学（如下页图4）。第一课时是教学口算乘法的例1和例2，笔者将这节课定义为种子课。对于种子课教学，笔者在内容上进行了“加法”处理，增加了一道三位数乘一位数的不进位口算，旨在帮助学生顺势完成知识的迁移类推，巩固统领整数乘法学习的“先分后合”方法，为接下来学习多位数乘一位数、多位数乘多位数的笔算乘法埋下学习方法的种子。第二课时是教学笔算乘法例1（不进位）和例2（一次进位）的整合课，在课时上进行了“减法”处理，这是笔算乘法的起始课，需要构建本单元乘法计算的基本模型，因此，笔者将这节课定义为本单元的关键课。第三课时是教学笔算乘法例3（连续进位），这是一节难点课和易错课，所以单独安排了一个课时对学生进行强化训练。第四课时是学习与0有关的笔算乘法，因为有了前面的笔算经验，所以笔者聚焦与0有关的乘法问题，把笔算乘法例4、例5、例6三个例题整合为一个课时进行教学：笔算乘法例4是与0相乘积是多少的问题，依据表内乘法知识迁移便可顺利解决；例5是中间为0的三位数乘一位数（连续进位）；例6是末尾为0的乘法，通过口算整十整百数乘一位数的方法来迁移学习，打通二者之间的联系，启发学生创造简便算法。

四、借助关键课构建笔算乘法的基本模型

关键课“多位数乘一位数（一次进位）”的主要教学目的是构建笔算乘法的基本模型。遵循学生认知规律，教师需要在整体把握教材的基础上，把口算乘法（不进位）和笔算乘法（一次进位）进行有机地整合，适时拓展到多位数乘一位数笔算。在关键课教学中，教师需要利用类比、勾连的方法，打通口算方法与笔算竖式的关联，沟通乘法竖式的算理和算法，使学生可以更加透彻地理解乘法竖式的运算顺序及算理，从而构建出笔算乘法的基本模型。这节课的教学目标包括：在具体情境中理解和掌握多位数乘一位数（一次进位）笔算乘法的算理和算法，能正确进行计算［5］；经历“满十进一”算理的形成过程，并以此经验为基础理解“满几十进几”的道理，感悟从未知到已知的转化，逐步形成推理意识和运算能力；在探究算法的过程中，逐步提高自主探究、比较分析、合作交流的能力，感受数学的现实意义。教学重点是掌握笔算乘法进位的方法；教学难点是理解算理，打通不同算法之间的内在联系，理解不管是口算乘法还是笔算乘法，都是基于计数单位将数拆解后利用乘法口诀进行运算，再将算得的结果相加，从而体会算法的一致性，提高运算能力。为了达成以上目标，教师可依次展开如下教学过程。

（一）对比勾连口算与笔算，沟通算理与算法

课堂上，教师出示任务一（如图4），先让学生尝试用多种方法计算出结果，再让学生汇报自己的计算结果及想法，暴露学生的认知差异和学习难点，找到教学的切入点。生1展示了用加法进行计算的方法，16+16+16=48；生2展示了用口算进行乘法计算的方法，10×3=30，6×3=18，30+18=48；生3和生4分别展示了列简洁竖式和详细竖式进行计算的方法（如图5）。随后教师启发学生思考下面的问题：“同样都是计算16×3，为什么大家用的方法不同却都能算出同样的结果呢？这几种方法之间有什么内在的联系呢？你们能在笔算过程中找到口算乘法每一步的计算过程吗？”这些问题的提出，旨在引导学生学会沟通口算与笔算的联系、横式与竖式的联系。学生按要求进行圈画、勾连，将横式和竖式中对应的每一步连接了起来（过程略），顺利打通了笔算乘法和口算乘法的内在联系。

通过对比口算与笔算横式、笔算简洁竖式、笔算详细竖式，在笔算中找到口算的对应步骤、在笔算竖式中找到笔算横式的每一步计算过程，学生逐渐感受到了口算和笔算的算理与算法的一致性。学生明白了笔算竖式只是口算的一种新的记录形式，看起来好像方法不同，但其中的道理却是一样的：都用上了“先分后合”的方法，即把多位数乘一位数转化成多个一位数乘法进行计算，就是拆分成几个几、几个几十以及它们的和的形式进行记录，从而有效内化了对算理的理解。学生感悟到如下算理：无论是哪种方法，都能找到口算方法中的三步，先拆、再乘、后合；都是用一位数分别去乘两位数的个位和十位，再把所得的积相加。

（二）直观想象，理解“满十进一”的算理

几何直观有助于人们把握问题的本质，明晰思维的路径［1］8。在课堂上，教师出示任务二（如图6），让学生在小棒图中“圈一圈、画一画”，“说明十位上的4是怎么得来的”“第4捆小棒在哪里，你们能把它画出来吗？”，希望利用“小棒”模型培养学生的几何直观，借助数形结合促进学生理解“满十进一”的算理，进而突破“满几十进几”的学习难点。

师：十位上的4是怎么得来的？你们画出来的这一捆小棒在竖式中怎样表示？

生：6×3=18，向十位进1，3+1=4。

师：第四捆小棒在哪里？

生：把18里面的10根小棒捆成一捆。

师：你们画出来的这一捆小棒，在竖式当中，能用哪一个数表示？

生：用数字1来表示。

让学生在小棒图中圈一圈、画一画，再说一说，沟通小棒图和竖式，数形结合，非常直观。学生通过多元表征（动作表征、表象表征、语义表征、数学符号表征），充分理解了“满十进一”的算理。

（三）迁移类推，理解“满几十进几”“最多能进几”的算理，构建乘法运算的基本模型

迁移类推是培养学生推理意识的重要方法。所谓迁移类推，就是引导学生运用已有的知识、经验、思维、技能等去感知新的学习内容，感悟新的现象与规律，从中获得新的启发，促进学生的学习素养得到应有的积淀和发展的过程与方法［6］。受整数加法负迁移的影响，总有一些学生会顽固地以为，向前进位只能进一。为了打破这些学生的思维定式，教师可紧接“满十进一”，呈现任务三（如图7），让学生仔细观察对比任务三中的4道题有什么相同和不同的地方，迁移表内乘法知识。

师：乘法竖式中除了进一，还能进几？

生：乘法竖式中除了能进一，还能进二，进三，进四……

师：最多能进几？为什么？

生：最多能进八，因为乘法口诀最多是九九八十一。

师：所以在进行乘法计算时，哪一位上的数相乘的积，满几十要向前一位进几。

对于“不管哪一位满几十，向前一位进几”这一计算方法，三年级的小学生容易产生理解困扰。在通过小棒图直观理解了“满十进一”后，教师紧接着出示几个进位数字不同的典型竖式，让学生在“做一做”中观察对比、迁移类推，发现并总结规律，明确“满几十向前一位进几”的算理，从而有效突破了本课教学的重难点，顺利建立起笔算乘法的基本模型。

（四）拓展运用，巩固笔算法乘法基本模型

在学生总结出两位数乘一位数的计算方法后，教师可出示生活中的实际问题（如表3），引导学生拓展运用笔算乘法的基本模型，并把教学重点放在“多位数”的“多”上。学生把计算结果板书到黑板上（如图8）以后，教师让学生观察对比板书中的3道算式，找出它们的异同点。经历了前面的结构化学习过程以后，学生顺利解决了这个问题：相同点在于，它们都是先从个位起，用一位数乘多位数的每一位，再把积相加；不同点是进位不同。于是教师“乘胜追击”，让学生进一步思考“多位数乘一位数”中“多位数”的位数扩展以后的计算问题，“四位数乘一位数，五位数乘一位数，你们会算吗？”，以此巩固学生对算法的认识与理解，融通算理与算法。接下来，教师进一步总结归纳“多位数乘一位数”竖式计算的模型：不管几位数乘一位数，都是“同一个结构”，都是运用“先分后合”的方法，从个位起，用一位数分别去乘多位数的每一位，再把所得的积相加；遇到哪一位满几十的，就向前一位进几。总结此法，旨在为学生今后学习两位数乘两位数、三位数乘两位数播下学习方法的种子。

综上所述，站在课程标准所要求的单元整体教学的高度，以单元整体视角和结构化思维去思考“数的运算”的教与学，教师可以有效克服小学数学教学的“碎片化”现象，切实发展学生的推理意识和逻辑思维，从而促进学生数学核心素养的形成与发展。教师以整体思想统领教学，便于学生发现数学知识的基本结构，建构关于一类知识的知识体系，发现一类知识的数学本质以及隐藏在这些知识背后的大观念；教师以结构化思维组织教与学的过程，合理整合单元教学内容，明确单元教学目标与课时目标之间的结构层次，可以有效提升学生的自主学习能力，使学生的数学核心素养得到潜移默化的滋养。基于单元整体视角实施“多位数乘一位数”单元教学，有利于教师实现单元教学有结构地教、学生单元学习有关联的学，同时有利于教师用单元教学关键课打通不进位和进位之间的本质联系，加深学生对乘法运算本质的认识，并通过让学生在比较中感悟联系、在联系中实现知识迁移，顺利总结出“多位数乘一位数”笔算乘法的基本模型，从而为构建乘法学习整体脉络打下认知基础。

参考文献

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］肖炜清.基于大观念真情境的小学数学“精彩学堂”任务驱动教学策略：以人教版数学四年级上册“认识公顷”教学为例［J］.广西教育，2022（22）：44-46.

［3］张华.论学科核心素养：兼论信息时代的学科教育［J］.华东师范大学学报（教育科学版），2019，37（1）：55-65.

［4］王玉莲.大观念下小学数学单元整体教学的设计与实施：以“多位数乘一位数”单元教学为例［J］.小学数学教育，2023（1）：33-34.

［5］严微，段安阳.结构关联：让单元整体教学落地生根：以“多位数乘一位数”单元教学为例［J］.小学数学教育，2023（12）：16-19.

［6］张丽梅.抓实学习迁移 缔造活力学习［J］.小学教学研究，2022（26）：86-87.

（责编 白聪敏）

作者简介：韦金梅，1982年生，广西上林人，本科，高级教师，研究方向为小学数学教学。