谈谈规律探究型问题的解法

规律探究型问题通常涉及数字、字母、图形之间的变化、排序等.解答这类问题，同学们需要根据题目中提供的数字、式子或图形，通过观察、分析、探究、猜想、归纳等多种思维活动，找到数、式或图形的变化规律.这类问题对同学们的数学抽象能力、概括能力、创新思维能力有较高的要求.下面结合几道中考题，对三类探究规律问题的解法进行探究.

一、探究数与式的规律

有关数与式的规律探究型问题通常会给出一些单项式（含单个的数字或字母）或多项式，要求探究其中蕴含的规律.解题时要先根据题意按照顺序写出前几个数或式子；接着通过比较找出各个数或式子中相同与不同的部分，如相同的数量关系、相同的位置，不同的式子等，然后运用从特殊到一般的数学思想，进行适当的猜想，建立各个数或式子与其对应的项数之间的关系，最后总结出规律或建立递推关系式.

例1 （ 2023年四川德阳中考题 ）在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中， “智多星”小强设计了一个数学探究活动，即对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：第1次操作后得到整式串 m，n，n-m；第2次操作后得到整式串m，n，n-m，-m；第 3次操作后……其操作规则为每次操作增加的项，都是用上一次操作后得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏，则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式串各项之和是（ ）.

A.m+n B. m C.n-m D.2n

解：第1次操作后得到的整式串为m，n，n-m；

第2次操作后得到的整式串m，n，n-m，-m；

第3次操作后得到的整式串m，n，n-m，-m，-n；

第4次操作后得到的整式串m，n，n-m，-m，-n，-n+m；

第5次操作后得到的整式串m，n，n-m，-m，-n，-n+m，m；

第6次操作后得到的整式串m，n，n-m，-m，-n，-n+m，m，n；

…….

可以发现，每4次操作可得到一个整式串：m，n，n-m，-m，-n，-n+m，其周期为4.

而m+n+（n-m）+（-m）+（-n）+（-n+m）=0，且2023÷4=505……3，

所以第2023次操作后得到的整式之和与第3次操作后的相同，即为m+n+（n-m）= 2n.

故选D项.

点评：解答本题，需先通过列式，找出前6次操作后整式串之间的规律，即每4次操作可得到一个整式串：m，n，n-m，-m，-n，-n+m，其周期为4；再找出2023次操作中出现的循环次数，从而得到答案.

二、探究图形的规律

探究图形的规律问题通常要求从题中的一组图形中总结出图形变化的规律.解答这类问题有两种思路：一种是将图形的变化规律转化成数与式之间的规律，再通过寻找数与式之间的规律解答问题.解题时可以按照己知图形的顺序分别编上序号；然后分别求出每个图形中的相关量，并分析序号和这些量之间的数量关系；再猜想、归纳出第n个图形的整式，得出一般的规律；最后验证猜想的正确性，得出结果.另一种是利用图形的直观性，直接在已知图形中寻找规律，补充后续图形，由此得出一般的规律和结果.

例2 （202 3年湖北十堰中考试题 ）某学生用火柴棍拼成如下图案，其中图案①中的阴影部分是由4个小等边三角形所围成的1个小菱形，图案②中的阴影部分是由6个小等边三角形所围成的2个小菱形，……，若按此规律拼下去，则第n个图案需要火柴棍的根数为（用含n的式子表示）.

解：图案①中所用的火柴棍有12=3×4=3×（2×2）根，

图案②中所用的火柴棍有 18=3×6=3×（2×3）根，

图案③中所用的火柴棍有 24=3×8=3×（2×4）根，

……，

由此猜想，拼成第n个图案，需要用3×[2×（n+1）]=6n+6根火柴棍.

点评：解答本题主要采用的是第一种思路，即先数出每一个图形中火柴棍的数量，并用式子表示出来；然后经过比较，找出式子与项数（序号）之间的关系，得出一般规律.

三、探究“新定义”的规律

这类规律探究型问题一般会给出一个“新定义”，要求我们根据新的运算规则探索出一般规律.这类题目中的“新定义”没有固定的形式，同学们需要读懂“新定义”背后的新概念、新运算、新符号等新知识，并结合已有知识进行理解，然后根据“新定义”进行运算、推理、迁移，列出关系式，从而将探究“新定义”规律问题转化为常规的探究整式规律题，最后利用已有的知识经验来解题.

例3 （2023 年四川成都中考试题 ）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m-n>1，则称这个正整数为“智慧优数”.例如，16=5 2 -3 2 ，16 就是一个“智慧优数”，可以利用m 2 -n 2 =（m+n）（m-n）进行计算.若将“智慧优数”从小到大排列，则第3个“智慧优 数 ”是 ______；第 23 个“ 智 慧 优 数 ”是______.

解：根据“智慧优数”的定义可知m-n=2，3，4，…….

当m-n=2时， “智慧优数”为m 2 -n 2 =（n+2+n）·（n+2-n）=4（n+1）；

当m-n=3时， “智慧优数”为m 2 -n 2 =（n+3+n）·（n+3-n）=3（2n+3）；

当m-n=4时， “智慧优数”为m 2 -n 2 =4（2n+4）；

当m-n=5时， “智慧优数”为5（2n+5）；

当m-n=6时， “智慧优数”为6（2n+6）；

当m-n=7时， “智慧优数”为7（2n+7），…….

将“智慧优数”按从小到大的顺序排列，可得“智慧优数”为4×2=8，4×3=12，3×5=15，4×4=16，……，所以第3个“智慧优数”是3×5=15，第23个“智慧优数”是3×19=57.

点评：本题中定义的“新运算”法则与平方差公式紧密联系，却又有区别.我们需根据运算规则，逐一将每组的“智慧优数”用整式表示出来，寻找该整式与 n 之间的规律，从而求得问题的答案.本题的运算量较大，同学们需要有较强的发散思维能力和计算能力.

总之，规律探究型问题具有较强的综合性、开放性和创新性.在解答这类问题时，同学们要通过观察、分析、探究、思考、探索寻找规律.这样不仅能享受探究过程带来的愉悦感，还能领悟到数学知识的魅力所在.数苑纵横