如何利用一元一次方程解答行程问题

通过建立一元一次方程，可以解答多种实际问题，如行程问题、工程问题、销售问题等，今天我们先来探索行程问题的解法.行程问题中的三个基本量及其关系有：路程＝速度×时间；时间＝路程÷速度；速度＝路程÷时间.在不同的问题中，相等关系是灵活多变的，任何条件的改变都有可能造成解题方法的不同，而且有些数量关系复杂且隐蔽，不容易发现，因此如何寻找等量关系，建立数学模型，是解答行程问题的重难点.本文归纳了三种常见的行程问题，并结合例题分析了不同类型行程问题的解答方法.

第一类：相遇问题

相遇问题是指两个运动的物体，同时或不同时从两地相对而行，经过一定的时间相遇.在解答这类问题的时候通常需注意以下两点：一是求出两个物体在同一单位时间内共同运动的路程（即速度和）；二是找出相遇问题中的等量关系：甲运动的路程+乙运动的路程=总路程.此外，如果甲、乙两个物体异地同时相向而行，则基本数量关系为：两速度和×时间=路程和.

例1 甲、乙两车从A、B两地相向而行，甲车比乙车早出发15分钟，甲、乙两车的速度比为2：3，相遇时甲比乙少走6千米，已知乙车走了1小时30分，求甲、乙两车的速度和两地距离.

第二类：追及问题

“追及”是指同向运动，有前有后，前者慢，后者快，后者追前者.追及时，快者比慢者多走一个初始路程差. “初始路程差”是指快者出发时，两人相距的路程.在追及问题中通常列方程用到的等量关系有：快者所走的路程=慢者所走的路程+两者初始路程差；快者所走的路程=慢者先走的路程+慢者后走的路程.解题时要根据题意找出正确的等量关系.

例2 甲、乙两支“徒步队”到野外沿相同路线徒步，徒步的路程为24千米.甲队步行速度为4千米/时，乙队步行速度为6千米/时．甲队出发1小时后，乙队才出发，同时乙队派一名联络员跑步在两队之间来回进行一次联络（不停顿），他跑步的速度为10千米/时．

（1）乙队追上甲队需要多长时间？

（2）联络员从出发到与甲队联系上后返回乙队时，他跑步的总路程是多少？

（3）从甲队出发开始到乙队完成徒步路程时止，何时两队间间隔的路程为1千米？分析：（1）设乙队追上甲队需要x小时，根据“乙队比甲队快的速度×时间＝甲队比乙队先走的路程”可列出方程，解出即可得出时间；（2）先计算出联络员所走的时间，再由“路程＝速度×时间”即可得出联络员走的路程．

（3）要分 3 种情况讨论：①当甲队出发不到1h，乙队还未出发时，甲队与乙队相距1km；②当甲队出发1小时后，相遇前与乙队相距1千米；③当甲队出发1小时后，相遇后与乙队相距1千米，分别列出方程求解即可．

第三类：环行问题

在环行问题中，通常是两个人或两个质点绕圆周或多边形作匀速运动，其运动方向可分为同向或相向，其运动速度可能相等也可能不等.因此，它往往比直线上的行程问题更难. 利用一元一次方程解答环行问题，最关键的是理解两个问题：在同时同地出发的前提下，是同向运动还是反向运动？是首次相遇还是第 n 次相遇？若是反向出发首次相遇，则属于相遇问题，两人的路程之和为跑道一圈长度；若是同向出发首次相遇，则属于追及问题，快者比慢者多走一圈；若是反向出发第n次相遇，两人所走的路程之和为跑道n圈的长度；若是同向出发第n次相遇，则快者比慢者多走n圈.

例3 甲，乙两人沿湖边环形道匀速跑步，他们开启了微信运动（微信上实时统计每天步数的软件）．已知乙的步距比甲的步距少0.4m（步距是指每一步的距离），且每2分钟甲比乙多跑25步，两人各跑3圈后到达同一地点，跑3圈前后的时刻和步数如下：

（1）求甲，乙的步距和环形道的周长；

（2）求表中a的值；

（3）若两人于 9：40 开始反向跑，问：此后，当微信运动中显示的步数相差50步时，他们相遇了几次？

分析：（1）由于两人各跑3圈后到达同一地点，可分别用甲和乙跑的总步数乘以各自的步距，列方程可得步距，从而求出环形道的周长；（2）先由甲跑的总步数除以甲所用的时间，得出甲每分钟跑的步数，再根据每2分钟甲比乙多跑25步，得出乙每2分钟跑多少步，从而用乙的总步数除以乙每2分钟跑的步数，再乘以2，即可得乙所用的时间，从而可知a的值；（3）由每2分钟甲比乙多跑25步，因此反向跑，且当微信运动中显示的步数相差50步时，9：40时，两人在微信运动中显示的步数有150步的差数，因此反向跑，且当微信运动中显示的步数相差50步时，实际上甲应该比乙多跑了100步或200步，从而算出他们相遇了几次.

解：（1）设乙的步距为xm，由于乙的步距比甲的步距少0.4m，则甲的步距为（x+0.4）m，根据表格列方程得：（4158-2158）（x+0.4）＝（4308-1308）x，

∴2000x+800＝3000x，

∴x＝0.8，∴0.8+0.4＝1.2，

∴环形道的周长为：3000×0.8÷3＝800m．故甲的步距为 1.2m，乙的步距为 0.8m，环形道的周长为800m．

（2）由表格知，甲10分钟跑了2000步，则甲每分钟跑200步，每2分钟跑400步，

∵每2分钟甲比乙多跑25步，

∴每2分钟乙跑375步，

∴3000÷375＝8，2×8＝16分钟，

∴a为9：24．

故答案为：9：24．

（3）每2分钟甲比乙多跑25步，9：40时，两人在微信运动中显示的步数有150步的差数，因此反向跑，且当微信运动中显示的步数相差50步时，实际上甲应该比乙多跑了100步或200步，

当甲比乙多跑了 100 步时，2×（100÷25）＝8分钟，

甲每分钟跑200步，甲的步距为1.2m，每2分钟乙跑375步，乙的步距为0.8m，（200×1.2×8+0.8×375×4）÷800＝3.9，则甲乙相遇了3次；

当甲比乙多跑了 200 步时，2×（200÷25）＝16分钟，（200×1.2×16+0.8×375×8）÷800＝7.8，此时甲乙相遇了7次．

∴反向跑，且当微信运动中显示的步数相差50步时，他们相遇了3次或7次．

点评：本题是环形跑道的行程问题，需根据速度乘以时间等于路程等基本关系来求解，其中也考查了相遇问题，题目内容比较贴近生活，显示了数学与生活实际的联系．

列一元一次方程解行程问题除了掌握好路程s，速度v和时间t三者之间的基本关系（s=vt， v=s/t， t=s/v） 外， 最重要的是要学会找出题目中的相等关系， 然后根据题意选出一个相等关系作题设， 另一个相等关系列方程，用这种思路和方法一定可以有效地解答各类行程问题.