音乐在数学建模中的应用

摘要：数学与音乐之间自古以来存在着紧密的联系与融合。在学科融合的视域下，数学为音乐提供了科学和系统的分析方法，采用了数学建模，实施了乐理与数学建模的融合、音乐与数学问题的融合的应用研究，给音乐与数学学科融合的实践案例提供了科学依据，提出了音乐与数学学科融合的优势与挑战，促进了音乐理论与学科融合的应用发展研究。

关键词：音乐 数学建模与应用

党的二十大报告指出①，加强基础学科、新兴学科、交叉学科建设，加快建设中国特色、世界一流的大学和优势学科。构建完善艺术学科与其他学科协同推进的美育课程体系，遵循美育特点，突出价值塑造②。习近平总书记在清华大学考察时强调，要用好学科交叉融合的“催化剂”，加强基础学科培养能力，打破学科专业壁垒③。世界正处于知识交融与融合的时代，学科之间的边界逐渐变得模糊。不同学科之间的合作和研究，促进了学科之间的融合和发展。

在实践中，加强基础学科培养能力是推动学科交叉融合的关键。学科的融合需要有扎实的基础知识作为支撑，只有具备深厚的学科素养，才能够在交叉领域中发挥积极的作用。我们可以通过加强基础学科的教育和培养，培养出更多具备广泛知识和跨学科思维能力的人才。此外，学科专业壁垒的消除也是推进学科交叉融合OBBXGpjOp0YMXTthqRmlEg==的关键一步。许多学科之间存在着严重的壁垒，导致了知识孤岛的存在。我们需要打破这些壁垒，促进学科之间的交流和合作。

音乐与数学学科融合的溯源

数学在音乐创作和表演中的应用可以追溯到古代，当时数学家和音乐家就开始探索数学与音乐之间的关联。在音乐创作过程中，数学提供了一种系统化的方法来构建和组织音乐结构。例如，通过运用数学理论中的和音法则，音乐家可以合理地选择和弦、进行和声编排，以创造出和谐的音乐作品。比如，著名的音乐家贝多芬曾经利用和声学原理，将不同音符相互结合，创作出了《命运交响曲》等经典作品，使得听众在聆听音乐时能够感受到和谐的美妙旋律，侧面表现出和声学中的数学原理与音乐能够融合。

除了和声学原理，数学还在音乐节奏和节拍的控制中起着重要作用。举个例子，巴赫的音乐作品中所使用的对位法等复调作品，正是基于数学的原理来构建的。这种融合了数学和音乐的结合不仅让音乐更加富有层次和韵律感，同时也展现了数学在艺术创作中的重要作用。

而今，在流行音乐创作中，数字化音序排列可以利用数学算法精确排布音符，使得音乐旋律更加丰富多变。同时，在电子音乐的创作中，数学计算用于合成和调控声音，以产生出琳琅满目的声音效果，从而创造出独具个性的音乐作品。这些应用数学计算的方法丰富了现代音乐的创作手段，也为音乐创作者提供了更多的表达方式和创作可能。

黄金分割比例在艺术作品中的运用，使得画面更加和谐美观；音乐作品的黄金分割比例的合理性，会使审美听觉的共鸣更强烈。表明数学在音乐、艺术和技术领域都起到重要作用，为创意和美感的表达提供了更多可能性。它不仅仅帮助音乐家创作和演奏音乐，更在音乐理论和实践中发挥着不可或缺的作用。因此，数学与音乐之间的关联性在当今音乐创作领域依然备受重视。

音乐与数学学科融合的实践

音乐学科涵盖了各种与音乐相关的概念与理论，包括音乐的基本元素、乐理、音乐史等方面的内容。音乐作为一门艺术形式，通过声音的有序组合和时间的演绎来表达情感和传递信息。音乐的创作、演奏和欣赏都需要理论和技术的支持，而数学在其中发挥了重要的作用。数学与音乐之间存在着密切的联系与融合。

首先，音乐中的节奏、频率与音程等元素都可以通过数学的方法进行分析和测量。例如，音符的长度和间隔可以用数学比例来表示，音程和和弦的关系可以用数学公式来描述。这种数学与音乐元素的对应关系使得音乐理论更加科学和系统化。数学还可以帮助音乐家在音乐表演中达到更高的技巧和准确度。例如，在音乐节奏方面，数学提供了计算和测量节拍、音符持续时间和音符之间的间隔等要素的方法。通过数学的分析和实践，音乐家可以精确地演奏出音乐作品中所要求的节奏和音符长度。

（一）乐理与数学建模的融合

乐理是研究音乐原理和结构的学科，它包括音高、音程、调式、节拍等方面的内容。数学提供了一种精确的语言和符号来描述和分析这些音乐元素。例如，音高可以用数学比例来表示，音程和和弦可以通过数学原理加以解析。这种数学与音乐乐理的结合，使得音乐理论更加科学化和系统化。

1.音高和音强的基本概念

音乐是人类文化不可或缺的一部分，而音高和音强是音乐中最基本的属性之一。音高是指音符的高低，音强则表示音乐的强弱或音量。这两个特征在音乐中起着至关重要的作用，能够给予音乐以丰富的表达力和感染力。音高是由发音体在每秒钟内振动次数的多少来决定的，振动次数越多，音符则会越高[1]。而音强则由发音体振动时振幅的大小决定，振幅越大，音强也会相应增加。在音乐中，通过音高和音强的组合，我们可以得到丰富多样的音色和音乐效果。

2.数学在音高建模中的应用

数学在音乐中扮演着重要的角色，尤其是在音高建模方面。通过数学建模，我们可以更好地理解音高和其他音乐要素之间的关系。例如，在西方音乐中，音高是通过十二平均律来表示的，即将1个八度分成12个半音[2]。这种数学模型能够确保音乐中的音高关系保持稳定。在音高建模方面，还存在一些其他的音高模型，如微分音高模型和等比音高模型。这些模型通过对音高之间的比例关系进行数学建模，增加了音乐中音高的变化维度，使得音乐更加多样化和丰富。

除此之外，数学还可以应用于音高的视觉表示。基于傅里叶变换④，光谱分析是一种通过频谱图来呈现音频信息的方法。通过将音频信号转换成频域图形，我们可以清晰地看到音乐中各个音高的能量分布，从而更好地分析和理解音高的特点。

总的来说，数学在音高建模中的应用丰富多样，不仅能够帮助我们更好地理解音高的概念和特征，还能够提供有效的方法和工具来分析和表示音高的信息。通过数学建模，我们可以深入探索音乐中音高与其他元素的关系，从而进一步拓展音乐的表达和创作空间[3]。

3.数学在音强建模中的应用

除了在音高建模中的应用，数学在音乐中还扮演着音强建模的重要角色。音强是指音乐的强弱或音量，也是音乐中不可或缺的要素之一。通过数学建模，我们可以更好地理解音强和其他音乐特征之间的关系，并且提供有效的方法和工具来分析和表示音强的信息。

在音强建模中，我们可以使用音乐的振幅来描述音强。振幅较大的发音体会有较高的音量，而振幅较小的发音体则音量较低。通过数学模型，我们可以精确地计算并表示不同音强之间的差异。除了振幅的数学描述之外，还可以借助功率谱密度来分析音乐中音强的分布情况和能量分布特征。功率谱密度分析可以将音频信号转换为频域图像，从而更直观地观察音频的谱线和峰值分布情况，进一步分析音乐中音强的规律和趋势。

同时，数学模型还可以帮助我们探索音强在音乐中的演变规律和变化趋势。例如，波形分析是一种通过观察音频信号的波形图来分析音乐特征的方法。通过对波形的形状、幅度和周期等进行数学分析，我们可以得到音乐中不同音强的分布情况，揭示出音乐中音强变化的规律。

未来，随着数学建模技术的不断发展和创新，音高和音强的数学模型也将得到更广泛的应用和探索。例如，通过机器学习和深度学习等方法，可以对音高和音强进行更精确的预测和分析。此外，数学建模还可以与其他学科进行交叉，如心理学和神经科学等，以探索音高、音强等音乐要素对人类听觉和情感的影响机制。

数学在音乐中的应用不仅可以帮助我们更好地理解音高和音强的概念和特征，还可以提供强大的工具和方法来分析和表示音高和音强的信息。未来，音高、音强和数学建模的融合将进一步拓展音乐的表达和创作空间，为音乐艺术的发展带来新的机遇和挑战。

（二）音乐与数学问题的融合

在音乐五线谱中，我们可以将音列视作数学坐标中的点，并按照上行或下行的顺序排列。将每个音符看作点，并将它们连接起来，我们会发现它们形成了一条直线。这条直线向右延伸时，音乐中的音调也会递增；向左延伸时，音调则递减。以数学的四人追及问题为例，数学与音乐之间有着比较紧密的联系，可以进行融合的研究，如数学的追及问题，建立成直角坐标系的方式来呈现。

在一个边长为1的正方形跑道的四个顶点上各站有1人，他们同时开始以等速顺时针追逐下一人。在追及过程中，每个人时刻对准目标。试模拟追及路线，并讨论4个人能否追到一起。我们将4个人看成质点a、b、c、d，设他们的初始位置分别为（0，0）（即坐标原点O，0）、（0，1）、（1，1）、（1，0）。运动开始时，a、b、c、d四人同时分别朝着各自目标沿着向量a0 b0，b0 c0，c0 d0，d0 a0的方向运动。在追及过程中，4人在正方形区域内进行运动。在4人的速率v相等的情况下，当运动结束时，a与b间距离、b与c间距离、c与d间距离、d与a间距离都已足够小（小于初始距离的0.5%）。即运动结束时，a、b、c、d四人可以追到一起，都到达正方形中心（0.5，0.5）位置附近[4]。向右运动时，相当于音乐中的音调在递增；向左运动时，相当于音乐中的音调在递减。在正方形区域内曲线活动相当于音乐中的旋律线起伏。

总结一下，点聚成线，线汇成面，面交汇则生成各种立体形状。类似地，音乐由音符组建旋律线，创造出富有立体感的音乐结构。核心在于和声，即多个音符组合成的和音，它们持续不断地呈现。可以把初始和音中的每个音符视为旋律线的起始点，后续不同和音中的音符成为新的旋律线的音点，从而形成多条旋律线。这些旋律线互相交织，构建音乐的立体结构。各个作品形成独特的立体图形，彰显作曲家们的个性风格。同时，同一位作曲者在同一时期创作的作品，其立体图形也大体相近，构成作曲家独特的音乐语言。著名音乐理论家姆尼兹豪普德曼曾将音乐比喻为流动的建筑。音乐与数学的紧密关系犹如数学追及问题的立体图像，它们的结合自然且生动[5]。

音乐与数学学科融合的前景

音乐中的数学模型在实际应用中具有许多优势。首先，数学模型能够帮助我们从科学角度解释音乐现象，并提供以证据为基础的分析。通过数学建模，我们可以更好地理解音乐的特征，并揭示音乐中的规律和趋势。这种科学化的方法可以为音乐创作、演奏和教学提供指导，使音乐更加科学化和专业化。其次，数学模型能够提供有效的工具和方法来分析和表示音乐信息。通过数学建模，我们可以通过数字化的方式对音乐进行分析和处理，使得音乐的研究和创作过程更加高效和准确。例如，在数字信号处理领域，我们可以使用傅里叶变换等数学方法来提取音乐中的音高和音强信息，从而更好地进行分析和处理。此外，数学模型还可以帮助我们增加对音乐的理解和感知。通过数学建模，我们可以模拟和重建音乐，使得我们能够更好地感受并理解音乐的表达和情感。这种数字化的模拟方法可以为音乐教育和音乐欣赏提供更丰富的体验和资源。

然而，音乐中的数学模型也面临一些挑战。首先，音乐是一门艺术，而数学是一门科学。将两者结合起来需要我们平衡科学的严谨性和艺术的创造性。如果过于注重数学模型，可能会忽视音乐本身的美感和情感表达，导致音乐变得过于理性和机械。因此，如何合理运用数学模型，平衡科学和艺术之间的关系，是一个需要思考和探索的问题。

此外，音乐中的数学模型还面临着技术和数据的限制。虽然数学模型可以提供有效的分析工具，但需要依靠大量的音乐数据和复杂的计算方法来支持。这对于一些音乐资源相对匮乏的地区和个人而言可能存在一定的难度。因此，如何解决数据和技术限制，使得数学模型在实际应用中更加普及和可行，是一个需要思考和努力的问题。

结语

音乐和数学建模的融合将拓展音乐的表达和创作空间，并为音乐艺术的发展带来新的机遇和挑战。通过合理运用数学模型，平衡科学和艺术的关系，我们可以更好地理解音乐的概念和特征，提供更有效的方法和工具来分析和表示音高和音强的信息。未来，随着技术的发展和创新，数学建模在音乐中的应用将得到更广泛的探索和应用，为音乐的创作、演奏和欣赏带来更多可能性和灵感。

注释：

①此文来自于央广网[EB/OL].（2022-10-17）[2024-02-01].一图速览！二十大报告要点来了_央广网 （cnr.cn）。

②此文来自于中华人民共和国教育部网[EB/OL].（2023-12-20）[2024-02-02].教育部关于全面实施学校美育浸润行动的通知 - 中华人民共和国教育部政府门户网站 （moe.gov.cn）。

③此文来自于中青在线网[EB/OL].（2021-04-22）[2024-02-02].赴清华考察 “学长”习近平这样诠释心中的“大学之道”（cyol.com）。

④傅里叶变换，指满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。引用于《中国科技信息》杂志社。

参考文献：

[1]李重光.基本乐理[M].长沙：湖南文艺出版社，2011.

[2]王旭青.数理逻辑与音乐结构观的重构——当代西方音乐创作与音乐分析的重要趋向[J].音乐艺术（上海音乐学院学报），2020，（03）：139-147+5.

[3]黄翔，童莉，宋亦然.当数学与音乐在课程中相遇：“目标”“内容”与“教学”[J].数学教育学报，2022，31（06）：6-10.

[4]崔利宏，张敬，宋文健.沿非代数曲面的多元拉格朗日插值问题研究[J].辽宁师范大学学报（自然科学版），2023，46（02）：145-150.

[5]常沁怡.音乐中的数学——浅谈音乐与数学的关系[J].艺术科技，2017，30 （06）：162.