模型建构、解释及预测系列（3）：潮汐问题的建模

建模是科学家在处理问题时的常用方法，同时在分析过程中，可能还要根据模型，建立起模型中一些参数之间的关系，并进行适当推导，得出某些结论。我们可以模仿科学家处理问题的模式，对自己感兴趣的问题进行简化处理，并尝试解释现象或得出结论。

一、钱塘江潮现象的解释

潮汐，是发生在沿海地区的一种自然现象，是指海水在天体（主要是月球和太阳）引潮力作用下所产生的周期性运动。古代为了表示海水涨落的时刻，把发生在白天的海水涨落称为潮，发生在晚上的海水涨落称为汐，统称为潮汐。

海水每天都有涨潮落潮现象，但每年中秋节前后，钱塘江的潮水特别壮观。由此我们可以提出一些问题：

①为什么钱塘江潮水特别大呢？

②潮汐的本质是什么？

③为什么大潮是在农历中秋节？

④能否根据潮汐模型解释或预测平时不注意的现象？

第1个问题可以从地理成因的角度进行分析，但是后面几个问题就需要更复杂的分析了。

钱塘江有特殊的地理特点。

首先，从空中俯视，钱塘江的江面在出海口处突然变宽，形成很开阔的喇叭型杭州湾（如图1）。当涨潮时，海水从宽广的杭州湾进入较窄的钱塘江时，由于水基本上不可压缩，水面自然会抬高，形成较高的潮面。

其次，从垂直高度看，钱塘江在出海口处河床高度变化剧烈，也会抬高水面。

由于这两个地理特点，每年中秋期间海水由于受到月球和太阳的引力作用，大量海水从宽且深的杭州湾涌入窄而浅的钱塘江，与回潮相遇，就会形成高大的水墙（如图2）。

那么潮汐是怎么产生的呢？

二、导致潮汐的引潮力

潮汐是一种自然现象，指海面有规律地涨和落。引起潮汐现象的是天体对海水的引力，通常称为引潮力（潮汐力）。

1.潮汐力的定义

从地球公转轴角度看（如图3），地球O和某天体P的位置，以及地球上M点的加速度。地球半径为Re，OP距离为L。其中[i]轴沿着地心与天体质心的方向，[j]与[i]垂直，[k]是地球公转轴方向。

潮汐力定义为某天体P对地球边缘点M与地心O处的加速度之差。注意，单位质量的力就是加速度，因此潮汐力可以认为是加速度，也可以认为是单位质量的力（后面不再区分）。

从运动学角度，如果用具体公式来分析加速度的关系，可以很清楚地得出相关结论。但是考虑到有的读者不熟悉高等数学（由此看出跨学科的必要性，科学研究也需要数学），下面就用定性分析的方法进行处理。

2.利用惯性力解释基础海平面

我们知道海水的运动包括几部分：地球自转的影响、地球公转的影响、天体引力的影响，以及相对地球的运动。潮汐是这些运动综合的结果，利用惯性力的概念处理起来更容易。

先说明什么是惯性力。用橡皮绳连接小球，转动小球时，会发现橡皮筋变长。这可以有两种解释：物体做圆周运动时，需要指向圆心的向心力F，而橡皮筋只有伸长，才能产生这个向心力（牛顿定律，中学物理的解释）。另一种解释是：物体有加速度时，产生反向的惯性力S，惯性力使橡皮筋伸长（动静法，大学力学的解释），在圆周运动中，惯性力也可称为离心力（如图4）。两种解释都可以，但是利用惯性力的解释更简单直观。

下面利用惯性力解释基准海平面。

假设海面M处的海水微元（可认为是一滴海水）受到重力G（指向地心）、离心力S（背离地心），因此在径向方向海水总可以平衡。地球的引力和自转引起的离心力使得海水形成球面，即基础海平面（如图5）。后面讨论中就不再考虑地球引力和地球自转的影响了。

3.太阳引起的潮汐力

地球绕太阳做圆周运动（公转），不考虑地球自转时，地球上各点跟随地心一起运动（平动），地球上各点的加速度与地心加速度相同，因此各点惯性力S相同，与地心的加速度反向（如图6）。

再把地球上各点受到的太阳引力画出，可以看出各点受到太阳的引力大小和方向都不同。为了直观，不妨假设各点的惯性力[S=9]，引力与距离有关，从8到10不等（如图7），从而可以看出：A点合力向左边，B点合力向右边。从地球角度看，左右两侧的合力都是背离地心，潮汐力导致海水对称鼓起（这一结论可能出乎很多人的意料）。由于各地惯性力相等，最大合力在地球左右两侧，即潮汐最大凸起在地球与天体质心连线上（如图8）。

太阳引起的潮汐力，是太阳对地球上不同点的引力与该点绕太阳公转产生惯性力的合力。

4.月球的潮汐力

对于月球引起的潮汐力，如何解释呢？其实地球和月球是绕着两者的公共质心运动着，只不过公共质心在地球内部（如图9）。

注意这个事实：地心O、月球质心P和公共质心C总是共线的。

地球绕地球-月球系统的公共质心运动，完全类似于太阳潮汐力的分析，可以得出：月球引起的潮汐力，是月亮对地球上某点的引力与该点绕地球-月球公共质心公转产生惯性力的合力。

综合起来，潮汐力是天体对地球上某点的引力与当地惯性力的合力。

三、关于潮汐的一些常见疑问

相对于引力，潮汐力还是让一些人感到疑惑。

1.太阳与月球对潮汐力的影响程度

根据详细的计算，月球和太阳引起的潮汐力分别为

[δasunmax=0.5016×10-6 m/s]

[δamoonmax=1.1012×10-6 m/s]

即月球引起的潮汐力是太阳的2倍多。注意，太阳对地球的引力远比月球对地球的引力大，具体为

[asun=5.9×10-3 m/s]，[amoon=3.3×10-5 m/s]

为什么太阳的引力大，但潮汐主要是由月球引起的？这里的证据是：如果潮汐主要是月球引起，大潮出现的时间必然与农历有关，而如果潮汐主要是太阳引起，大潮出现的时间必然与公历有关。实际上，太阳、月球的影响同时存在，每天的小潮是由太阳引起的，而每月的大潮是由月球引起的。

潮汐主要由月球引起，主要原因是：潮汐力不是引力，而是引力之差。

这可以用拍照来类比。用相机拍摄较远的物体时，对准焦距后，整个物体都很清楚，即画面不同点的清晰程度差别小；而拍摄较近的物体时，对焦的中心点很清楚，而稍偏离中心点，就比较模糊，即画面不同点的清晰程度差别很大。

地球距离太阳很远，地球上各点到太阳中心的距离差别不大，引力之差就很小（潮汐力小）；月球距离地球比较近，地球上各点到月球中心的距离差别就比较明显了，引力之差就较大（潮汐力大）。

2.为什么潮汐是对称的

也许有人会奇怪：当天体在地球某侧位置时，海水涌向天体很好理解，为什么不是下面的示意图呢（如图10）？

图10" 错误的潮汐观念

注意潮汐力是引力与惯性力的合力。如果只考虑天体引力，海水会偏向天体一侧；但是地球还有公转，有惯性力存在，引力与惯性力的合力才是潮汐力，而潮汐力是两边对称分布的。

3.为什么中秋前后潮汐最大

为什么大潮总是在每年中秋节前后，涉及地球、月球、太阳三者的相对位置。

农历初一、十五时，地球、月球、太阳三者共线，但是实际中普遍观察到十五的潮大于初一的潮。

这涉及月球在椭圆轨道上绕地球运动。根据观察，月球离地球近地点距离为363300千米；距离地球最远的远地点距离为405493千米。

如果不考虑太阳时，月球绕地球做圆周运动；考虑太阳后，太阳的引力会影响月球的轨道。农历初一时，太阳、月球在地球的同一侧，这时月球受到太阳与地球的引力反向，可以理解为太阳引力把月球拉得远离地球，月球处于椭圆轨道的远地点；农历十五时，太阳、月球在地球的两侧。这时月球受到太阳与地球的引力同向，可以理解为太阳引力把月球拉得更靠近地球，月球处于椭圆轨道的近地点（如图11）。

图11" 太阳对月球轨道的影响

根据前面分析，月球的潮汐力比太阳大，主要看月球的潮汐力。月球距离地球越近，潮汐力越大，因此农历每月十五前后潮汐力比初一要大。

另外由于地球、月球的运行轨道并不共面（否则每个月都有日食、月食），月球与地球的距离也在变化（否则不会有日全食、日环食的区别），综合起来，每年只有月亮最圆时（距离最近），潮汐力最大。

4.为什么潮汐会滞后于月球

实际上钱塘江潮通常在农历十八最大，而不是农历十五。

解释如下：某处海面鼓起，就需要其他地区的海水流过来补充。由于最大鼓起基本上在地球-月球连线上，假设海水的运动与月球同步，月球按30天绕地球转一圈，可以估算海水的速度为

[v=6378×2π30×24=55.6 km/h]

这一速度远远大于洋流的实际速度，例如墨西哥湾流最快的速度为9.5 km/h。因此，总体上最大鼓起A和B跟着月球运动，周边海水流入补充，但是会滞后。这与实际情况符合，如钱塘江潮水通常在农历十八最大。

如果类比，就像舞龙灯，前面火把（相当于月球）自由运动，龙头（相当于潮汐）总是跟随着火把运动，但是由于人的反应有延迟（相当于海水流速慢），因此龙头总是会慢一点跟上。

（作者：清华大学航天航空学院教授，义务教育科学课程标准修订组成员，“天宫课堂”策划人）