数学建模思想在高等数学模块化教学中的应用

摘 要 文章通过具体的数学模型案例分析，阐述了将数学建模思想融入高等数学模块化教学的必要性。基于数学建模思想的高等数学模块化教学，让学生尝试探索实际问题中所蕴含的数学规律，对学生应用数学的能力和学习兴趣的提高具有积极的作用。这种融入了数学建模思想的教学模式给高等数学课程教学带来新的动力，对于高等数学教学改革具有重要意义。

关键词 高等数学；建模思想；模块化；教学案例；课程改革

中图分类号：G424 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2024.27.034

The Application of Mathematical Modeling Ideas in Modular Teaching

of Advanced Mathematics

CHEN Fenghua， LI Shuang'an

（Department of Basic Science， Wuchang Shouyi University， Wuhan， Hubei 430064）

Abstract This paper elaborated the necessity of integrating the idea of mathematical modeling into modular teaching of advanced mathematics through specific mathematical models case analysis. The modular teaching of advanced mathematics based on the idea of mathematical modeling allows students to try to explore the mathematical laws contained in practical problems. It plays a positive role in improving students' applied mathematics ability and learning interest. This kind of teaching exploration with the idea of mathematical modeling brings new impetus to the teaching of advanced mathematics. It is of great significance to the reform of advanced mathematics teaching.

Keywords advanced mathematics; the idea of mathematical modeling; modular; teaching cases; course reform

从20世纪90年代开始，我国对模块化教学进行了初步研究探索，在吸收国外先进理论的同时，发展出了一套符合我国教育实情的模块化教学理论。韩艳丽（2019）将模块化教学应用在“公共关系学”中；王丽娅（2019）将模块化教学应用在“体育与健康”课程中；黄翠平（2017）将模块化教学应用在酒店管理专业的实践教学中等[1-3]。目前模块化教学多侧重于在专业课程中实行，而关于数学课程模块化教学的研究并不多。

将数学建模思想融入高等数学的模块化教学方法主要是在分模块教学的基础上，进一步融入数学建模的模块，是一种嵌入式的数学建模模块法[4]。融入数学建模思想的模块化教学对于高等数学教学改革具有重要意义。将数学建模思想融入高等数学模块化教学过程中，不是将数学建模的例子强塞进高等数学的内容中，改变高等数学原有的体系，而是通过数学建模的过程使学生进一步熟悉基本的教学内容，锻炼和培养学生解决问题能力的同时，进一步加深对知识的理解与掌握。

在高等数学教学过程中，根据知识结构，分四类进行模块化教学：将建模思想融入概念、定义的模块化教学中，如导数的概念、微分的定义、定积分的定义、二重三重积分的定义；将建模思想融入定理的模块化教学中，如零点定理、微分中值定理；将建模思想融入公式的模块化教学中，如两个重要极限、牛顿―莱布尼茨公式；将建模思想融入实际应用的模块化教学中，如函数的应用、最值问题的应用、微分方程的应用、级数的应用。下面通过几个具体的例子阐述如何将数学建模思想融入高等数学的模块化教学。

1 建模思想融入第一个重要极限的应用

【实例一】 圆的面积问题

1.1 问题提出

如何利用圆内接正边形的面积求圆的面积？

1.2 模型建立

设圆的半径为，记圆内接正边形的面积为，通过分析得： ，圆内接正多边形的边数越大，圆内接正多边形的面积越接近圆的面积，当边数趋于无穷大时，圆内接正多边形的面积无限接近于圆的面积。

记圆的面积为，则有：=。

1.3 模型求解

由前面的分析知：。

上式变形为：

，

由第一个重要极限，及，，得到圆的面积：。

第一个重要极限是高等数学教学中的重点和难点，具有十分重要的应用。但在实际教学中，学生往往重视其计算，而忽略了其应用。本文将数学建模思想融入第一个重要极限的应用，将第一个重要极限与圆的面积求解结合起来，有利于学生加深对第一个重要极限的理解和认知，进而激发学生的学习兴趣，同时也为其他教师教学提供参考。

2 建模思想融入第二个重要极限的应用

【实例二】 计息还款问题

2.1 问题提出

某人民医院2005年5月1日进口一台彩色超声波诊断仪，贷款20万元，以复利计算，年利率4%，2014年5月1日到期，一次还本付息，贷款到期时还款总额（按连续复利计息）是多少？

2.2 模型建立

设本金为，年利率为，如果一年分期计息，则每期的利率为，一年末的本息和为，年末的本息和为：。

如果计息期数，即把利息加入本金的时间无限缩短，利息随时计入本金，称为“连续复利”计息，则年末的本息和为：。

2.3 模型求解

依题意，2005年5月1日到2014年5月1日，由连续复利的复利公式，则9年末的本息和为：，其中，=20，=40%。

上式变形为：，

由第二个重要极限，，则9年末的本息和为：，所以到期还款总额为（万元）。

2.4 模型推广

此模型还反映了现实世界中一些事物增长和衰减的数量规律，如设备的折旧、资本的积累、细胞繁殖、放射性衰变、物体冷却等，可以推广应用。

本文将数学建模思想融入第二个重要极限的应用，让学生对第二个重要极限有更加深刻的认识，激发学生的学习动力，将课本的知识应用到生活中，提高学生解决实际问题的能力。

3 建模思想融入最大值最小值问题

关于最大值最小值的例题比较常见的是用料最小化、效率最大化等，这些问题实际上已脱离了我们的生活。将建模思想融入最大值最小值问题，需要学生的参与，让学生体会fb41fc34664836d7b99f581c878c9015875f9106a735c7da93ec79b8304a1efd最大值最小值问题在实际生活中的应用，让他们在错综复杂的社会实践中，认识了解社会，抓住主要矛盾，通过观察社会，学会发现并提出问题。

【实例三】 商品定价问题

3.1 问题提出

随着互联网技术的发展，网上购物成为新时尚，它极大地方便了人们的生活，也出现了新的经济业态。学生通过课余时间对某网络销售平台的消费记录进行统计，如果某款运动鞋定价为50元，则平均每月收到的订单数为3000，但是随着定价每提高1元，平均每月收到的订单数将会减少100，每个顾客在质保上平均花费2元，商家为了获得最大的收益，运动鞋应该定价多少？

3.2 模型建立

设为运动鞋为50元定价时应该提升的金额（如果是负值，则定价下调），则收益为：=商品收益+质保收益，而商品收益等于订单数乘以定价，质保收益等于订单数乘以质保平均花费，即：

，

。

整理得：。

3.3 模型求解

，令，求得。

这是唯一的驻点，又，，即为区间[-52，30]内的唯一的极大值点，即为最大值点。因此，为了获得最大的收益，运动鞋应该定价为39元，也就是下调定价将吸引更多的人下订单，月均订单数是4100。

3.4 模型推广

这个模型可以推广应用，利润等于收益减去成本，利润函数求导等于边际收益减去边际成本，当边际收益等于边际成本且边际收益的变化率小于边际成本的变化率时，可以获得最大的利润。

4 建模思想融入可分离变量微分方程

【实例四】 饮酒量与事故风险率问题

4.1 问题提出

大量的研究数据表明，汽车司机发生事故的风险率（百分比）与其血液中的酒精含量（单位：毫克/100毫升）有非常密切的关系。假设事故风险率变化率与事故风险率成正比，又已知血液中无酒精含量时，事故风险率为1%，当血液中酒精含量为60毫克/100毫升时，事故风险率为20%。求①事故风险率与血液中酒精含量的函数关系。 ②当血液中的酒精含量是多少时，理论上发生事故的风险率为100%？

4.2 模型建立

根据题意，事故风险率变化率与事故风险率成正比，则事故风险率变化率与血液中的酒精含量有如下关系：。这是一个可分离变量的微分方程。

4.3 模型求解

①上式分离变量得到：，两边同时积分有：，

得到： ，即（是任意常数）。

由已知条件时，，时，，得到：，求得：，，即事故风险率与血液中酒精含量的函数关系为。

②由题意，令，求得：，即血液中的酒精含量是92毫克/100毫升时，理论上发生事故的风险率为100%。

4.4 模型拓展

国家质量监督检验检疫局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》标准规定，饮酒驾驶是指车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于20毫克/100毫升、小于80毫克/100毫升的驾驶行为，醉酒驾驶是指车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于80毫克/100毫升的驾驶行为。

很多驾驶员对酒精的影响作用警惕性不高，对法律规定的“酒后驾驶”和“醉酒驾驶”的最低血液酒精含量等概念模糊，往往在自认为只是少量饮酒的情况下出现酒驾行为。实验证明，用45分钟缓慢喝下一瓶啤酒，5分钟后测试结果，酒精含量就可达到60毫克/100毫升，此时开车就已是酒驾。

通过对 这个数学建模案例的科学数据分析，让学生在学到了微分方程知识的同时，也提高了青年学生的安全驾驶意识。

5 结语

本文通过对融入数学建模思想的高等数学模块化教学的研究，对高等数学课程改革具有一定的推动作用，包括教学内容、教学方法、教学手段等。数学建模思想融入高等数学的模块化教学中，能够在保障数学严谨性的同时，利用逻辑思维扩展联系起各个数学知识之间的关系，增强高等数学教学的内涵与生动性。在建模的过程中，学生能够通过多种数学知识之间的联系，增强自己的思维创新能力，切实感受到数学知识在实际中的应用，更重要的是知道怎样应用和自觉去应用数学知识[6]。在培养和提高学生的想象力、洞察力和创造力的同时，培养学生的数学文化素养和职业核心能力，让学生学到“有用的”高等数学知识、“够用”的高等数学知识，以及“服务专业”的高等数学知识。

基金项目：武昌首义学院教学研究项目“三维协同下的微积分模块化教学的研究与实践”（2020Y21）。

参考文献

[1] 韩艳丽.基于模块化项目教学法的中职文秘专业《公共关系学》课程教学设计[D].云南大学，2019.

[2] 王丽娅.高中《体育与健康》课程羽毛球模块教学内容的研究[D].北京体育大学，2019.

[3] 黄翠平.中职学校酒店管理专业模块化实践教学的问题及对策研究[D].鲁东大学，2015.

[4] 李瑞，但炜.数学建模思想在高等数学教学中的探究[J].高教学刊，2023，9（11）：112-115.

[5] 同济大学数学科学学院.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2023.

[6] 王诗云，鞠哲，吕振华.数学建模思想在数学基础课程中的渗透——以常微分方程课程为例[J].教育进展，2023，13（12）：9726-9729.