解一道几何题的心路历程

教室外，阳光明媚，万里无云，鸟儿在树上欢快地歌唱……但我却无暇去欣赏那美丽的画卷，因为我遇到了拦路虎——一道几何证明题！

题目 如图1，在∠ABC中。AB=AC．D为△ABC外一点，连接AD，BD，CD. BD与AC交于点O．∠BDC=∠BAC．作AM⊥BD于点M.求证：BD=2DM+CD.

第一次解题

由图1可知BD，DM和CD不在同一直线上，若要证明三者之间的和差关系，那就需要“截长补短”，于是，我首先想到构造“2DM”，也就是在MB上截取HM=DM，再证线段BH与线段CD相等，这样就可以得到BD=2DM+CD．

证明：如图2，在MB上截取HM=DM，连接AH.

在△AMH和△AMD中，

AM=AM，

∠AMH=∠AMD=90°，

HM=DM，

∴△AMH≌△AMD（SAS）.

∴AH=AD．

∵∠AOB=∠DOC，∠BDC=∠BAC，

∴180°-∠AOB-∠BAC =180°-∠DOC-∠BDC.

∴∠ABD=∠ACD.

在△ABH和△ACD中．

AH=AD，

AB=AC，

∠ABH=∠ACD．

∴△ABH≌△ACD（SSA）.

等一等，出现问题了！“边边角”条件是不能证明三角形全等的！看来这个思路是错误的，行不通！应该怎么办呢？无奈之下，我只能求助老师了，老师了解我的做法后，对我说：“我们重新整理一下思路，在△ABH与△ACD中，已知一个角和一条边相等，要想证明它们全等，还需要什么条件呢？你可以根据所需条件选择另一种方式来描述你添加的辅助线，再尝试证明．”

我反复体会着老师的话．我发现，在△ABH与△ACD中，我们已经知道∠ABD=∠ACD和AB=AC，如果BH=CD，不就可以用“边角边”来证明全等吗？此刻，终于豁然开朗．柳暗花明！

第二次解题

证明：如图2，在BM上截取BH=CD，连接AH.

∵∠AOB=∠DOC，∠BDC=∠BAC，

∴180°-∠AOB-∠BAC=180°-∠DOC-∠BDC.

∴∠ABD=∠ACD.

在△ABH和△ACD中，

AB=AC，

∠ABH=∠ACD，

BH=CD，

∴△ABH≌ACD（SAS）.

∴AH=AD.

∵AM⊥BD，

∴∠AMH=∠AMD=90°.

在Rt△AMH和Rt△AMD中．

AH=AD，

AM=AM，

∴Rt△AMH≌Rt△AMD（HL）.

∴HM=DM．即DH=2DM.

∵BD=DH+BH，BH=CD。

∴BD=2DM+CD.

太棒了！终于破解了这道题！我拿着作业奔向老师，和他分享成功的喜悦！老师仔细检查了我的解题步骤，满意地点了点头：“你已经通过截长法解决了这道题，再思考一下，还有没有其他的辅助线作法呢？”我满怀信心地回到教室，开始思考起来．

第三次解题

由题意可知，BD和DM在同一直线上，我们不妨把要证明的式子BD=2DM+CD的两边同减去DM．原式变为BM=DM+CD.这时，“补短”的方法浮现了：延长CD至点C，使CG=BM，连接AG.如果能够证明DM=DG，就可以证出本题的结论．

证明：如图3，延长CD至点G，使CG=BM，连接AG.

∵∠AOB=∠DOC，∠BDC=∠BAC，

∴180°-∠AOB-∠BAC =180°-∠DOC-∠BDC.

∴∠ABD=∠ACD.

在△ABM和△ACG中，

AB=AC，

∠ABM=∠ACG，

BM=CG，

∴△ABM≌△ACG（SAS）.

∴AM=AG，∠AMB=∠G.

∵AM⊥BD，

∴∠AMD=∠G=90°.

在Rt△ADM和Rt△ADG中．

AD=AD，

AM=AG，

∴Rt△ADM≌Rt△ADC（HL）.

∴DM=DG．

∵BM=CG=CD+DG，

∴BM=CD+DM．

∴BM+DM=2DM+CD，即BD=2DM+CD.

解题感悟：我们在解题时，要充分运用题目中给出的条件，对于缺少的条件，可以尝试作辅助线来补充．但在作辅助线时不能盲目，要根据所需条件作合适的辅助线．