课本拓展 收获满满

课本是源，题目是流，千变万化的题目，考查的都是课本上的基础知识，因此，在学习时要注重对课本上的概念和例题、习题进行深入挖掘，下面我们就对“角的平分线的性质”这一节的相关例题、习题进行拓展研究，帮助同学们更好地掌握这部分内容．

一 课本知识拓展——关注焦点

（1）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；（2）判定点在角的平分线上的方法：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．

这两个知识点主要应用在三角形中，因此把它们放在三角形中解读．

如图1，在△ABC中、PE⊥AB于点E，PD⊥BC干点D，PF⊥AC于点F.如果BP是∠ABC的平分线，根据角的平分线的性质，就有PE=PD.

若要说明点P在∠BAC的平分线AG上，则只需用判定点在角的平分线上的方法，证明PE=PF即可，若要说明∠C的平分线不经过点Ｐ，则能说明PD≠PF即可．

二 课本例习题拓展——揭示共同点

认真研读课本第50页的例题和练习的第2题可以发现，这一例一练虽然条件不同、图形不同、结论也不同，但解题用到的知识点和方法是一样的，现把它们进行变式拓展．

例1 （课本第50页的例题拓展）如图2，△ABC中．BP平分∠ABC，CP平分∠ACB.求证：点P在∠A的平分线上．

分析：要证明点P在∠A的平分线上，就是要证明点P到∠A两边的距离相等．

证明：如图2，过点P作PD⊥BC于点D，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F．

∵点P在∠ABC的平分线BP上，PD⊥BC，PE⊥AB，

∴PD=PE．

同理PD=PF

∴PE=PF．

∵PE⊥AB，PF⊥AC，PE=PF，

∴点P在∠A的平分线上．

启示：由例1的解答可知：（1）三角形的三条角平分线相交于一点，该点到三边的距离相等，反之也成立，即：三角形内部到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点.（2）无论是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，三角形三条角平分线的交点都在三角形的内部．

例2 （课本第50页练习第2题拓展）如图3．△ABC的两个外角的平分线BP，CP相交于点P，AG是∠BAC的平分线，求证：AG经过点P.

分析：要证明AG经过点P．就是要证明点P在∠BAC的平分线AG上，因此只要证明点P到∠BAC两边的距离相等即可.

证明：如图3，过点P作PF⊥BC于点F，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N．

∵点P在∠MBC的平分线BP上，PM⊥AB，PF⊥BC，

∴PM=PF．

同理PN=PF

∴PM=PN．

∵PM⊥AB，PN⊥AC，PM=PA，

∴点P在∠BAC的平分线AG上，即AG经过点P.

启示：由例2的解答可知：（1）三角形两个外角的平分线的交点在第三个内角的平分线上，或者说三角形一个内角的平分线经过与其不相邻的两个外角的平分线的交点.（2）三角形两个外角的平分线的交点到三角形三边所在直线的距离相等．

三 课本应用题拓展——谨防易错点

例3 （课本第55页第6题变式）如图4，三条直线型公路相交构成了△ABC．通信公司欲在长方形的区域内建若干个信号发射塔，使公路上来往的车辆获得较好的通信信号，塔基的位置要求到三条公路的距离相等．满足条件的塔基位置共有几个？请画出示意图．

分析：由课本第55页第6题可知，△ABC内部存在一点，满足塔基到三条公路的距离相等．由课本第50页第2题可知，在△ABC的边BC的外侧区域存在一点，满足塔基到三条公路的距离相等；同理，在边AB和边AC的外侧区域分别存在一点，满足塔基到三条公路的距离相等．

解：如图5，P是△ABC的内角的平分线的交点，P1，P2，P3分别是△ABC的外角的平分线的交点，满足条件的点共有四个，分别是P，P1，P2，P3.

启示：课本第55页第6题要求在三角形内部求满足条件的点，显然只有一个点，例3是在长方形的区域里求满足条件的点，所以有四个点.

试金石

1．△ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，点P是△ABC两条角平分线的交点，若△APB的面积是1.5，那么△BPC的面积是____，△APC的面积是____．

2.点P在△ABC内部，且点P到三角形三边的距离相等，∠A=50°，求∠BPC的度数．

参考答案

1.2 2.5

2．∠BPC=115°.