巧构全等三角形 妙解格点作图题

在正方形网格中，每个小方格的顶点称为格点，所谓格点作图，就是用无刻度的直尺，借助正方形网格的属性作图．格点作图不仅能考查同学们对图形的观察力，还能考查同学们的创新意识和“用数学”的能力，解决格点作图问题时，常需要构造合适的全等三角形来帮忙，下面举例说明．

一、构造X型全等三角形作线段的中点

例1 如图1，在正方形网格中，A，B均为格点，求作AB的中点O．

解析：如图2，作线段BC＝AD，且BC∥AD。连接CD交线段AB于点O．易证△BOC≌△AOD，则AO=BO，故点O即为所求．

点睛：此题也可在竖直方向上作等线段BC，AD，用同样的方法构造两个全等三角形．

二、构造全等的直角三角形作线段的平行线

例2 如图3，在正方形网格中，A，B，C均为格点，求作CD∥AB.

解析：如图4，作Rt△DCB，构造△DCB≌△ABC，则有∠DCB=∠ABC，从而CD∥AB，故CD即为所求．

点睛：由上述作法知BD=CA，∠DBC=∠ACB=90°，BC=CB，用“SAS”可以判定△DCB≌△ABC.

三、构造双垂直的全等三角形作垂线

例3 如图5，在正方形网格中，A，B均为格点，过点A求作AM⊥AB.

解析：如图6，作Rt△ABC，构造△AMD≌△ABC，则有∠CAB=∠DAM.因为∠CAB+∠BAD=90°，所以∠DAM+∠BAD=90°，即∠BAM=90°。故AM即为所求．

点睛：本题应用正方形网格的特征，易知AC=AD，CB=DM，∠ACB=∠ADM=90°，用“SAS”可以判定△AMD≌△ABC.

四、构造筝型全等三角形作角

例4 如图7，在正方形网格中，A，B，C均为格点，求作∠PAC=∠BAC．

解析：如图8，过点B作AC的垂线，垂足O在AC的延长线上，延长BO到点P，使BO=PO.连接PC，PA，∠PAC即为所求，

点睛：因为BO=PO，∠BOC=∠POC=90°，AO=AO，用“SAS”可以判定△ABO≌△APO，所以∠PAC=∠BAC．

试金石

1.如图9．在正方形网格中，A，B，C均为格点，求作CD∥AB.

2．如图10，在正方形网格中，A，B，P均为格点，过点P求作PM⊥AB.

3．如图11，在正方形网格中，已知A，B，C均为格点，求作∠ACB的平分线CP.