添加辅助线构造全等三角形

全等三角形是几何部分的基础，对一些几何题，我们可以通过添加辅助线证明三角形全等来找到解决办法，下面举例说明常见辅助线的作法.

一、倍长中线法

例1 数学兴趣小组在一次活动中进行了探究、实验，请你和他们一起解决问题吧．

[发现问题]他们在探究实验活动中遇到了下面的问题：如图1，AD是△ABC的中线，若已知AB=5．AC=3，求AD的长的取值范围．

[探究方法]通过探究他们发现，延长AD至点E，使ED=AD，连接BE，可以得到△ADC≌△EDB.利用全等三角形的性质可将已知的两边长与AD转化到△ABE中，进而求出AD的长的取值范围．

[方法小结]从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线AD延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫作“倍长中线法”．

（1）请你利用上面解答问题的思路方法，写出求解AD的长的取值范围的过程．

[问题解决]

（2）如图2，CB是△ACE的中线．CD是△ABC的中线．且AB=AC．有下列四个结论：①∠ACD=∠BCD；②CE=2CD：③∠BCD=∠BCE;④CD=CB.

请写出所有正确结论的序号：____．

分析：（1）依据所给思路证明全等三角形，推出AC=BE=3.再利用三角形的三边关系求解.（2）延长CD至点F，使DF=CD，连接BF.先证△ADC≌△BDF．再证△CBE≌△CBF，即可判断.

解：（1）如图1，延长AD至点E，使ED=AD，连接BE.

∵AD=ED，∠ADC=∠EDB， CD=BD，

∴△ADC≌△EDB（SAS）.

∴AC=BE=3.

∵AB=5．

∴5-3＜AE＜5+3．即2＜2AD＜8.

∴1＜AD＜4.

（2）如图3，延长CD至点F，使DF=CD，连接BF.

仿（1）证△ADC≌△BDF（SAS），得BF=AC， ∠ABF=∠A．

∵AC=AB．

∴BF=AB，∠ACB=∠ABC.

∵B为AE的中点，

∴BE=AB=BF．

∵∠CBE=∠ACB+∠A.

∠CBF=∠ABC+∠ABF，

∴∠CBE=∠CBF.

又CB=CB，BE=BF，

∴△CBE≌△CBF（SAS）．

∴CE=CF=2CD，∠BCE=∠BCD.

∴正确的结论是②③．填②③，

二、翻折法

例2 如图4，已知AD为△ABC的中线，点E，F分别在边AB，AC上，且∠1=∠2，∠3=∠4，求证BE+CF＞EF.

分析：欲证BE+CF＞EF，易联想到三角形的三边关系，因此需要设法把BE，CF，EF放在同一个三角形中，因为∠1=∠2，∠3=∠4，所以把△BDE和△CDF分别沿DE和DF翻折，DB和DC都恰好落在AD上．又知DB=DC．故翻折后点B和点C重合，这样即可把所求线段放在同一个三角形中．

证明：如图5，在DA上截取DN=DB.已知AD为△ABC的中线，则DN=DB=DC.

连接NE，NF.

∵DB=DN，∠1=∠2，DE=DE，

∴△BDE≌△NDE（SAS）.

∴BE=NE．

同理CF=NF.

在△EFN中。有NE+NF＞EF.

∴BE+CF＞EF．

三、截长补短法

例3 如图6，在△ABC中，角平分线AD，CE交于点O，∠B=60°，求证AC=AE+CD．

分析：在线段AC上截取AF=AE，只要证明CF=CD即可解决问题．

证明：如图7，在线段AC上截取AF=AE，连接OF.

∵∠B=60°，

∴∠BAC+∠ACB=120°.

∵AD和CE分别平分∠BAC和∠ACB，

∴∠OAC+∠OCA =60°.

∴∠AOC=120°.

∴∠AOE=∠COD=60°.

∵OA=OA，∠OAE=∠OAF，AE=AF，

∴△AOE≌△AOF（SAS）.

∴∠AOE=∠AOF=60°.

∴∠COF=∠COD=60°.

又OC=OC，∠OCF=∠OCD，

∴△COF≌△COD（ASA）．

∴CF=CD.

∴AC=AF+CF=AE+CD.