基于经验的迁移，从简单走向深刻

2022年版课标在课程理念、目标和内容上均有显著变化，突出立德树人，体现数学学科的育人价值，并以核心素养为导向。实现素养导向需要围绕核心概念进行课程内容的结构化整合，体现“学习内容的整体性、学科本质的一致性、学生学习的阶段性”。带着结构化的视角反观已有教学，发现以前的计算教学存在算理和算法割裂的问题，不利于学生利用已有经验借助运算的一致性进行迁移学习。本案例“分数除法的再认识”基于小数和分数的共同特点，迁移小数除法的学习经验，将分数除法转化为整数进行运算。

一、回顾旧知，唤醒经验

1.回顾分数除法的计算方法。

师：同学们已经学过分数除法的计算方法了，我们用一道题回忆一下怎么计算。

教师出示：[34][÷][25]。

生：用被除数乘除数的倒数，就变成了[34][×][52]，等于[158]。

师：在整个运算过程中，哪一步特别重要？

生：乘除数的倒数。

师：这是我们以前学习时总结出来的分数除法的计算方法。（板书：算法）你们觉得这种方法好不好？好在哪里？

生：好，可以解决所有的分数除法计算问题。

师：有了算法，所有的分数除法计算都能解决了，说明运算方法很重要。今天，我们能不能换一个角度，借助以往学习除法运算的经验也能得到这种算法呢？

2.唤醒小数除法的学习经验。

师：大家先回忆一下，我们学过哪些内容的除法计算？

生：整数除法、小数除法。

师：要借助前面学习除法的经验想想分数除法怎么算，你觉得分数与谁比较接近？

生：小数。

师：我们回忆一下小数除法是怎么计算的，谁能举个例子说一说？

生：比如12.56÷3.14怎么算呢？把3.14扩大到它的100倍就变成314，然后根据商不变的规律，把12.56也扩大到它的100倍，变成1256，再用1256÷314就算出最后的结果了。

师：从12.56÷3.14到1256÷314的依据是什么？

生：商不变的规律。

师：我们利用商不变的规律把小数转化为整数去算。接下来，看看分数能不能像小数一样也转化成整数去计算。

【设计意图】借助实例，唤醒学生关于除法运算的已有经验，在比较分析中为将小数除法运算的经验迁移到分数除法运算做铺垫。

二、迁移方法，尝试解决

出示任务一：（如图1）

学生思考，交流汇报。

作品1：（如图2）将除数转化为整数。

师：按要求完成了吗？

生：没有完全转化为整数。

作品2：（如图3）先把被除数和除数分别转化为小数，再转化为整数。

作品3：（如图4）被除数和除数同时乘20转化为整数。

师：20是怎么来的？

生：20是被除数和除数的分母的最小公倍数。

作品4：（如图5）被除数和除数同时乘4再乘5转化为整数。

师：乘4再乘5是为了约分掉被除数和除数的分母，更直观地说明了乘20的道理。如果我们要把一个分数除法转化为整数除法，需要先做什么？

生：找到被除数和除数的分母的最小公倍数。

mvNsAMgiHnfnTT4iiI056ZTMmPGA0/H4RSSgZuOmYEM=

师：如果被除数和除数同时乘这个最小公倍数，就把分数除以分数变成了整数除以整数。这步转化的依据是什么？

生：商不变的规律。

对比作品2和作品3。

师：第二种和第三种方法都是转化成整数去算的，你更喜欢哪一种？

生：我更喜欢第三种方法。因为算起来比较简便，被除数和除数都是约分过的，也都是最简化的。

师：除了好算，还有其他优点吗？

生：这种方法可以解决除不尽的那种，例如，[13]除以[79]，这样的分数转化不成有限小数，也就不能变为准确的整数，所以我觉得第三种方法特别好。

师：这位同学说得非常有道理，直接将分数转化为整数的方法适用于任何分数除法，但是把分数转化为小数就有局限性。

师：刚才没有转化成功的同学和先转化为小数再转化为整数的同学修正一下自己的作品。刚才就是转化为整数的同学思考学习单上的问题：将分数除法转化为整数除法的方法是什么？看谁表达得清楚、简洁。

教师请学生将正确方法板书在黑板上，其他学生修改作品。

师：谁来说一说将分数除法转化为整数除法的方法是什么？

生：找到两个分数分母的最小公倍数，再让两个分数乘这个最小公倍数，把两个分母都约掉，再按整数除法计算。

师：概括地说，就是同乘分母的公倍数（当然最小更好）。

【设计意图】在实例中尝试迁移小数除法的经验，将分数转化为整数，使学生体会这种方法与分数除法算法得到的结果相同。

三、代数推理，寻求算法

师：是不是任意一个分数除法都能用这种方法得到正确的结果呢？怎么能解决这个问题？

生：再举例子（多举几个）。

师：有没有更好的方法，把所有的分数除法都能囊括进去呢？

生：（沉默）把两个分数用字母代替。

师：用字母代替的好处是什么？

生：不用举很多例子，所有的可能都在这里面。

师：真好！字母式可以把所有的可能涵盖在里面。老师真给你们准备了这样一个挑战性的任务。

出示任务二：（如图6）

师：如果有的同学驾驭不了字母运算，也可以用具体数举例计算，根据自己的情况选择。

学生尝试解决，教师巡视并寻找资源。

师：有的同学已经顺利完成，有的同学遇到了困难，没关系，我们一起交流，相互启发。

作品1：（如图7）被除数乘自己的分母，除数乘自己的分母。

师：问题出在哪儿了？

生：没有乘公倍数。

师：看来我们刚才总结的方法多重要。

作品2：（如图8）

师：为什么要同乘bm？

生：将被除数和除数转化为整数，就要把它们的分母消掉，还要保证商不变，这样被除数和除数就要乘分母的公倍数，所以分别乘bm。被除数乘bm把b消掉，除数乘bm把m消掉。

师：刚才没成功的同学修改自己的作品，刚才就成功完成任务的同学，思考任务二中第二个问题。

请学生板书字母式推导过程，教师引导学生观察，发现两种运算的结果相同。

师：任务二中的第三个问题很有挑战性，观察算式[ab][÷][nm]和结果[ambn]，你有什么发现？

生：我发现了交叉相乘。

师：交叉相乘也就是有的字母的位置发生了变化，谁来具体说一说？

生：[nm]变为了[mn]，除号变为了乘号，所以说交叉相乘了。

师：如果把这个式子展开写一下，[ambn=][ab×mn]，你有什么发现？

生：就是被除数乘除数的倒数。

师：借助小数除法转化为整数除法的经验，把分数除法转化成整数除法计算，同样得到了乘除数的倒数的算法，说明知识之间是相通的，学习经验是有用的，要学会用过去的经验解决新问题。

【设计意图】借助字母式进行运算，使学生感受利用字母运算可以获得一般性的结论，表达一般性的关系，形成代数推理能力。

四、变换角度，获取算法

师：现在放大除法计算的经验，例如：○÷△这个算式什么情况下最好算，甚至不用算？

生：被除数是除数的倍数。

师：12.56÷3.14这个算式，如果不是你们背下来倍数关系，好算吗？

生：被除数跟除数相等。

师：○÷△，用两个不同的符号表示，这两个数不相等。

生：除数是1，被除数是不为0的任意数，这样一个数除以1还得原数，好算！

师：同学们觉得这种情况是不是好算？

生：好算，不用算了。

师：接下来，我们就用这种方法看看是不是能得到乘除数的倒数的算法。

出示任务三：把除数转化为1进行计算。

师：你可以用具体数计算，也可以用字母式计算，然后寻找计算结果与算式之间的关系。

作品1：（如图9）具体数计算。

师：被除数和除数为什么要同乘[52]，而不是乘分母的公倍数？

生：因为我们要把除数变为1，就要用除数乘它的倒数，为了保证商不变，被除数也要乘除数的倒数。

师：除数变为1，这个算式就转化为谁乘谁了？

生：[34×52]，等于[158]。

作品2：（如图10）用字母推导。

师：为什么要乘[mn]？

生：为了把除数变成1。

师总结：除数乘[mn]，要保证等号成立，被除数也得乘[mn]，实现除数等于1，好算了。最后结果是[ambn]，你又发现什么了？

生：[ambn]等于[ab]乘[mn]，就是被除数乘除数的倒数。

师：比较一下用具体数计算和用字母运算，你觉得哪种方法好？

生：还是用字母运算更好！

师：字母运算好在哪儿？

生：概括！

生：直观！

生：更能看出关系。

师：用具体数算，只能看出结果“相等”，但看不出结果与算式之间的关系。所以今后要多尝试用字母进行运算，不仅概括性强，而且能反映事物之间的关系。

师：回顾这节课的学习，你们觉得大家都已经会计算分数除法了，今天的学习还有意义吗？

生：让我们学会用以往的经验解决问题。

生：计算方法可以从不同的角度得到。

生：感受知识之间是有联系的。

……

【设计意图】在转化除数为1的过程中，学生得以拓展经验，再次体会经验在新的问题解决中的价值。同时，他们再次经历代数推理过程，培养了代数推理能力，并深化了对代数推理所得结论一般性的理解。

（作者单位：北京教育科学研究院） H