理解“比”，学生有什么迷思

“迷思（Misconception）”的内涵虽然尚未统一，但已有研究对于迷思特征的概括具有一致性。迷思可以存在于学习之前，表现为长期积累形成的不合理的生活经验；可以存在于学习的过程中，表现为遇到的障碍和不理解的地方；也可以存在于学习之后，表现为已经形成的、根深蒂固的不完整、不科学的认知等。但这些经验、障碍、认知等均与科学概念有一定差距甚至相悖，且难以改变。因此，发现、研究各个阶段学生的迷思表现，对找准教学设计起点、帮助学生突破理解难点等有重要的作用。本研究力图发现的就是学生学习“比”概念之后的迷思，希望通过对学习迷思的描述，帮助教师复盘、反思自身的概念理解和教学活动设计。

一、学生“比”概念迷思的诊断设计

1.研究对象。

此研究希望了解的是学生学习完“比”概念后对“比”本质的理解情况，因此选择了小学六年级毕业前的学生为测查对象，能保证其已经学习完与“比”相关的所有知识。以某小学（并非前文中进行“比”教学改进研究的学校）六年级全体学生为样本，八个班中一个班用以试测，剩余七个班进行正式测试。七个正式测试班最终有效样本为192人，其中男生95人，女生97人。

2.研究方法。

此研究主要采用测试、作品分析等方法推进。开发用以诊断学生“比”概念迷思的纸笔测试题。试测后对试卷的信度、效度进行分析，并根据试测结果对试题加以完善，形成正式测试题目。然后制定评价标准，对照标准对学生答题表现赋分，对学生答题及陈述理由的过程进行归类分析，以判断学生对“比”的迷思。

3.工具编制。

（1）测试工具。

此研究采用测量学生迷思常用的诊断性测验中的二阶测试，即测试题由“答案阶＋理由阶”构成，学生在作答时除了要选出自认为合理的选项，还要对其为何这样选择给出理由或详细的解题过程[1]。如此，既能了解学生的答案，又能了解学生具体的思维过程。

（2）测试维度。

此研究的测试内容为学生对“比”概念本质的理解。“比是两个数量之间倍数关系的表达与度量”[2]，因此，将具体测试内容分为三个维度：学生如何理解“比”，如何理解“比”的表达功能，如何理解“比”的度量功能。

（3）测试题目。

二阶诊断测试包含“答案阶”和“理由阶”，考虑“比”的知识内容特点，“答案阶”题目设计时，并没有全部编制成选择题，也包含了判断、问答等题型；“理由阶”主要为“请写出你选择/判断/作答的理由”的作答要求。对应理解“比”及其“表达”“度量”这几个维度，第①②题考查在不同情境中对“比”概念和两个数量比较关系的理解；第③④⑤题指向“表达”功能，覆盖了同类量量纲相同/不同、非同类量的情况；第⑥⑦题指向“度量”功能，包含了同类量、非同类量两种情况。具体题目如下。

①请结合生活实例说明5∶3表示的意义，并解释你这样写的理由。

②判断对错，并解释你判断的理由。

校足球赛上，红队和黄队比赛的比分为3∶2；某蛋糕的配料表中显示白砂糖和低筋面粉的配料为3∶2。这两个3∶2的意义相同。（ ）

③判断对错，并解释你判断的理由。

三（2）班教室墙壁上的红旗长15cm、宽10cm，长和宽之间的倍数关系可以表示为15cm∶10cm。（ ）

④判断对错，并解释你判断的理由。

在城市道路美化工程中，工程队每2个人负责修剪5平方米的草坪。则修剪人数与草坪的面积之间的关系可以表示为“2人∶5平方米”。这个比一定要求出比值才有意义。（ ）

⑤判断对错，并解释你判断的理由。

小明身高160cm，表弟身高1m。小明和表弟的身高比是160∶1。（ ）

⑥研究表明，人的胖瘦程度可以用人的身高和体重之间的某种关系来衡量。你认为下列哪个选项可以用来衡量人的胖瘦程度？并解释你判断的理由。（ ）

A.身高－体重的值 B.身高＋体重的值

C.身高×体重的值 D.身高∶体重的值

⑦有三杯糖水，如图1，你认为哪杯最甜？并解释你判断的理由。（ ）

4.评分细则。

收回学生的测试卷后，需要对学生“答案阶”和“理由阶”作答进行评分。“答案阶”依据标准答案进行赋分，正确1分，错误0分；“理由阶”，学生作答呈现出多样性，因此制定了详细的评分细则，以保证评分的客观性。学生“理由阶”的陈述，与评分细则内容吻合的可得1分，反之为0分。

二、学生“比”概念迷思的表现分析

评阅、复核测试卷，并对试题的信度进行分析后，便可通过得分及具体答题表现来剖析学生对“比”概念的迷思表现。

1.“答案阶”“理由阶”的正确率。

学生“答案阶”平均正确率为80.28%，“理由阶”平均正确率仅为52.46%。7道题两阶的正确率如图2所示。从图2中可以看出，在“答案阶”上，6道题的正确率都在80%以上，第③题拉低了正确率均值。这说明学生对“比”概念本质的掌握尚存在盲区。在“理由阶”上，有超过半数的题目正确率都不高于50%，这说明相当数量的学生对“比”本质的理解是知其然而不知其所以然的状态。对比两阶的正确率，“理由阶”都低于“答案阶”，且有4道题差异较大，说明能“解题”但不能“解释”是学生“比”概念掌握过程中的普遍现象。

2.学生作答的整体情况。

第①②题直接指向学生对“比的意义”的理解，第③④⑤题考查学生对“表达”功能的理解，第⑥⑦题考查学生对“度量”功能的理解。结合图象走势，可以看出六年级学生对“度量”的理解比“表达”更加稳定。对具体题目进行分析，可以得到如下发现：

（1）理解“比”的部分：学生能把生活实例与“比”联系起来，但半数以上的学生不能明确写出实例中这个“比”表达的意义。75.52%的学生能用自己的方式说明“比分3∶2”和“配料3∶2”所表达意义的不同，说明学生能较好地区分“比多少关系”的比和“比倍数关系”的比。例如有学生在“理由阶”中这样作答：“比分是数据差，配料比是两个量之间的关系”“第一个3∶2是有关加减法的，第二个才是度量两个量的比”“第一个是比分，不是‘比’；第二个是关系，是‘比’”“分数的比和份数的比意义不一样”“第一个表示具体的数，第二个表示份数关系”……

（2）理解“表达”功能部分：几乎所有学生都知道用“比”表达两个同类量之间倍数关系时必须做到量纲相同，需要提前统一单位。但绝大多数学生有这样的误区——写出“比”时是不可以带单位的。约半数的学生认为“比一定要求出比值才有意义”，说明其不清楚比“表达”的关键在于能方便地让人们识别出两个量之间的对应、对等关系，而不是一定要求出比值。

（3）理解“度量”功能部分：这部分有半数左右的学生不能对作答结果进行合理解释。

3.学生作答中的典型迷思。

从图2的统计中可以看出，第③题“答案阶”和“理由阶”的正确率都很低，而第①④⑥⑦题“理由阶”与“答案阶”正确率相差很大。重点分析这几道题，以揭示学生的迷思。

第③题“答案阶”中约76%的学生做了错误判断，还有约10%的学生判断正确，但“理由阶”不能得分。学生在“理由阶”中给出的理由主要有：“比”不可以带单位，“比”用来表示倍数关系时必须化简成最简整数比，倍数关系不可以用“比”来表示，等等。这些错误表现表明了学生没有深刻理解“比”的本质。实际上，无论是两个同类量的比还是两个非同类量的比都可以带单位，只不过两个同类量“比”的量纲相同，在比较的过程中可以简化掉量纲。此外，无论是最简整数比还是非最简整数比都可以表达出倍数关系。在日常教学过程或测评中往往要求学生不能将同类量的“比”带上单位、必须使用最简整数比等，这种为了使结果简化而提出的形式上的要求，使得学生机械记忆规则，反而影响了学生对“比”概念的真正理解。

第①题“理由阶”的主要问题在于表述不出“‘比’可以表达两个量的倍数关系”这一意义。

第④题学生在“理由阶”描述不出“在该题背景下这两个非同类量不一定需要求出比值”或相似理由，有的学生给出的理由是“比值不可以带单位”，或者“单位不同不能‘比’”，认为只有同类量之间才能“比”。

第⑥题学生“理由阶”得分低，根源在于学生不完全理解“‘比’可以度量两个量间的倍数关系”这一功能。很多学生“理由阶”无理由可陈述，或者写出“身高与年龄有关，身高越高年龄也越大”这样不正确的理由。

第⑦题“理由阶”的表述中，学生“捅不破窗户纸”，如只列举三杯糖水中糖和水克数比化简的过程，但未给出为什么第一杯水最甜；还有的建构了糖和水克数比后说明要选比值最小的，混淆了比值大小与甜度高低的关系。

三、学生“比”概念迷思消解的建议

学习迷思的转变与消解不能靠学生自发地完成，主要还是在课堂教学中在教师的引导下实现。基于此，对“比”概念教学提出以下建议。

1.基于概念本质，重视“比”概念的理解而非机械记忆。

从本研究中学生的答题表现可以看出，学生并不能很好地阐述“比”的意义，学生能背诵教材中给出的定义、能答题，并不等于理解了“比”。首先，教师要立足课标、钻研教材、阅读文献，精准、深刻地把握“比”概念本质，这是引导学生理解的前提；其次，应以学生已有的经验为基础，引导学生自主建构“比”的意义，如可以引导学生由熟悉的“差比”过渡到“倍比”，也可与之前学过的“几倍”相联系；再次，要处理好表达与度量，同类量比和非同类量比，比与分数、除法等的关系；最后，要注重在生活化、具体化的情境中理解“比”的实际意义并抽象“比”。

2.关注思维过程，掌握学生“比”概念理解的真实表现。

传统测试中，学生靠猜测、蒙选等方式也可能得到正确答案，但实际上其并不理解概念本质，为迷思产生埋下伏笔，也对后续相关知识学习产生不良影响。本研究发现，学生“理由阶”正确率普遍低于“答案阶”，这提示教师要关注学生解决问题时的思维过程。在教学中，教师要善于和学生对话，引导学生表达对“比”概念的看法，以此来了解学生所思所想；且教师要有意识地获取已有研究中对学生迷思的报告，及有经验教师总结的学生学习特征，带着这些前人的贡献与学生的学习表现进行对应，及时发现并消解迷思。

3.注意挖掘迷思，及时干预，引导学生转变“比”概念迷思。

迷思在学生“比”概念体系学习过程中广泛存在，且不同学生的表现不同。学生迷思产生的原因也多种多样，如知识缺乏、概念混淆、做题粗心、思维水平较低、机械记忆等主观原因；此外，教师讲授方式、教材编排特点、类化概念等客观原因也会使学生产生对“比”概念的迷思。因此要注重寻找和发现学生头脑中存在的迷思，还应弄清楚学生产生迷思的原因所在。教学中，教师可以通过提问引发学生之间的探讨和互动，使学生能够创造性地理解和吸收概念；可以设计小组学习，通过生生之间互动让学生发现自己的错误或纠正对方的不足；还可以通过画概念图等方法暴露学生概念掌握的迷思。

参考文献：

[1]Treagust D.Evaluating students＇ miscon-ceptions by means of diagnostic multiple choice items[J].Research in Science Education，1986，16（1）：199-207.

[2]史宁中，娜仁格日乐.小学教科书中比及其教学[J].数学教育学报，2017（4）：1-5.

【本文系北京师范大学中国基础教育质量检测协同创新中心课题“小学生数学学习迷思测评的研究”（编号：2022-03-045-BZPK01）的研究成果】

（作者单位：东北师范大学，山东烟台经济技术开发区依云小学） J