创设真实问题情境促进核心素养达成

【教学思考】

用字母表示数，本质上属于代数思维，核心素养是符号意识。刘加霞教授把学生的符号意识在“用字母表示数”单元的行为表现水平划分成了修辞代数、前代数、静态数量关系、简单变量关系、复杂变量关系五个层级[1]，细化了修辞代数、缩略代数与符号代数三个水平。学生的符号代数思维，不是一蹴而就的，很大程度上体现出了人类认识字母表示数的历史相似性。笔者参照汪晓勤教授和蒲淑萍老师2010年9月在上海的调研样式[2]，2024年4月10日，对杭州市文海小学六年级两个班学生进行了测试，发现了与10多年前上海初中预备班学生同样的现象（如图1）。

上述测试题，学生的解法如上依然处在修辞代数水平的，全班40人中有18人，占比高达45%，仅有个别学生能达到形如当年韦达符号代数的解法水平。这些学生学习过“简易方程”整个单元已经一年多了，为何还有如此多的学生没有养成符号代数思维的习惯？问题究竟出在哪儿？测试时有老师反驳说，是笔者的题目不该加后面那句话，有误导作用，果真如此吗？显然不是问题关键所在。当年汪晓勤教授在上海调研时，用了4道题，该题也是如此描述的，上海也有21.2%的学生思维依然处于修辞代数的水平。

是因为有历史相似性，我们就可以不反思自己的教学了吗？小学阶段不学方程，就不用花力气强调学生的符号意识吗？恰恰相反，整个小学阶段，都应该相机强化和突出学生符号意识的渗透与培养。因为人类经历了2000多年才彻底弄明白的问题，对小学生而言，无疑是个认知难点。2022年版课标反复强调要在真实问题情境中感悟用字母表示的一般性，对小学生而言无疑是非常有效的教学手段。

【教学实践】

一、谈话引入

（教师从粉笔盒里取出粉笔，左手拿1支，右手拿2支，让学生看见）

师：左手几支？右手几支？数学上分别用什么符号表示？

（学生回答后，教师板书：数1、2）

师：在数学上，像1、2这样的符号，都表示明确和具体的数量。这样的符号1、2、3……有无穷多，给我们的学习和生活带来了许多方便。

二、真实问题情境感悟

1.游戏一——猜信封。

（请3名学生上台，每人手里发个信封，信封里事先分别放好1、3、7支粉笔）

师：他们的信封里有多少支粉笔？

（学生一下子愣了，但马上有人举手）

生1：有2支。

师：你能确定吗？

生1：不能确定。

师：既然不能确定，我们怎么能用2表示他们信封里粉笔的具体数量呢？

生2：有6支。

师：你能确定吗？

生2：不能确定。

师：既然你也不能确定，我们怎么能用6表示他们信封里粉笔的具体数量呢？这时候，我们该怎样表示才好呢？

生3：我发现了，在这种情况下，老师黑板上的1、2、3……这些数字符号都不能用，需要一种新的符号来表达。

师：什么？麻烦你再说一遍。

生3：（声音很大且有些不耐烦地）我们不知道信封里究竟有多少支粉笔，黑板上的1、2、3……这些数字符号只表示确定的数量，都不能用，需要一种新的符号来表达。

师：真会思考！（先把掌声送给她）此时此刻，对你们而言，信封里有多少支粉笔是个未知数，黑板上虽然有很多具体的数，但正是因为它们太具体了，所以哪个数都不好用。这种情况下，我们就需要用到新的数学符号，比如字母来表达。（征询该女生意见）新的符号，你喜欢用哪个字母来表达？

生3：a支。

（请该学生把“字母”两个字及“a”写在黑板的指定位置）

师：这位同学用字母a来表示，非常好！还可以用别的字母吗？

（略有迟疑，马上有人举手。生回答：b、c、d）

师：刚才那位同学把a大大地写在了黑板上，这个a究竟代表多少呢？

（走到讲台上第一名学生的旁边，与她对话）

师：请问字母a究竟代表多少？谁说了算？

（该生一脸茫然）

师：请打开信封，数数里面一共有几支粉笔。

（该生从信封里掏出1支粉笔）

生4：1支。

师：既然信封里只有1支粉笔，就说明字母a此时此刻表示几？

生：（异口同声）1。

师：真不错！字母a表示1，可以简单地说成字母a的值取为1。

（走到讲台上第二名学生的旁边，与他对话）

师：请问字母a究竟代表多少？

（该生从信封里掏出3支粉笔）

师：既然信封里共有3支粉笔，说明字母a此时此刻就表示几？

生：（异口同声）3。

师：好极了！字母a碰到这位特殊的同学就表示3。

（走到讲台上第三名学生的旁边，引导他说出字母a表示7）

师：字母a可以代表1、3、7，如果我还有信封和粉笔，字母a还可能代表8吗？还可能代表9吗？还可能代表100吗？还可能代表0.5吗？

生：能。

（教师随着学生的回答，在1、3、7、8、9后面点上省略号）

生：我发现了，其实这个字母可以表示任何数。

师：棒极了！一个新符号a，可以表示许许多多的数，可以代表任意的数。

师小结：通过刚才的游戏，同学们对用什么字母可以表示数、字母可以表示哪些数，尤其是为什么要用新符号（字母）表示数都有了一定的了解。做了下面的游戏，相信你对为什么要用新符号表示数会有更深刻的理解。

2.游戏二——写数比赛。

师：我们再来玩个游戏好吗？请拿出笔和纸。从0开始，按照0、1、2、3……的顺序往后写，10秒之内，看谁写得多。预备！开始！

（教师击掌10下计时，学生飞快地书写）

师：老师来采访下，你们都写了多少？

生1：我写到了15。

生2：我写到了18。

生3：我写到了21。

师：很好！

师：有没有写到30多的？

（无人举手）

师：没有一个人写到30多。也就是说，10秒之内，我们按0、1、2、3……的顺序写数，最多只能写到20多。游戏没这么简单，请在1秒之内把所有这样的数（自然数）统统写完，你们能办到吗？

生：能。

师：（故作惊讶）怎么可能？刚才10秒你们最多才写到20多，现在1秒之内要把所有的自然数都写完，怎么可能？

生：（笑着）可以。

师：（故作疑惑）真的？请写出来。

（师拍一下手，立刻说时间到，学生也立刻停了笔，纷纷笑嘻嘻地看着老师）

师：你们还真写出来了，写的是什么？

（生答：字母a、b、n）

师：同学们真聪明！自然数有无穷多个，这些无穷多的数曾经给我们的学习和生活带来许多方便，但事情总是有两面性的，有方便必有麻烦。要在1秒钟之内全写完，如果按0、1、2、3……的顺序写出每一个具体的数，是不可能的。这时候，我们就可以用新符号（字母）来帮忙，一个字母就可以代表一类数。这是为什么要用字母表示数的第二个缘由。

3.游戏三——大信封。

（1）装大信封。

师：同学们对为什么要用字母表示数已经有了初步的感悟，其实，字母不仅可以单独表示数，如果它们与具体的数一起进行加、减、乘、除等运算，同样可以表示数。我们再做个游戏，一起来感受下，好吗？

生：好！

师：这回要请一位重量级的同学来做老师的助手，谁愿意上来？

（请了一个体型比较胖的学生上台，给他一个大大的空信封。同时，老师数出5支粉笔，当着全体学生的面，放进信封里）

师：请问，信封里现在有几支粉笔？

生：5支。

师：你们现在为什么不说有a支了呢？

生：因为我们已经知道了。

师：对，在已经明确的情况下，我们就用表示具体量的符号5来刻画。

（师另外拿起1支粉笔，当着全体同学的面，慢慢放进大信封里）

师：（面对拿大信封的同学）请提个问题？

生：现在大信封里一共有多少支粉笔？

生：6支。

师：怎样列式？

生：5＋1。

师：（肯定地告诉学生）5＋1本身就有两个含义，一是表达出了现在信封里的粉笔比原来多1支的数量关系；二是表达出了现在信封里一共有多少支粉笔，5＋1就是6。

（师板书5＋1，同时从大信封里取出刚刚放进去的1支粉笔）

师：现在大信封里有几支粉笔？

生：5支。

（教师另外拿起2支粉笔，请一名学生慢慢放进大信封里）

师：现在可以提什么问题？

生：现在大信封里一共有多少支粉笔？

生：7支。

师：怎样列式？

生：5＋2。

（教师强调5＋1和5＋2都表示加了粉笔后大信封里一共有多少支粉笔。教师再从大信封里取出2支粉笔）

师：现在大信封里还有几支粉笔？

生：5支。

（教师另外拿起事先装有粉笔的小信封，问小信封里有多少支粉笔，学生自然都说是a支，然后当着全体学生的面，慢慢放进大信封里）

师：现在大信封里一共有多少支粉笔？

生：（异口同声）5＋a支。

师：5＋a表示什么？

生：现在信封里一共有多少支粉笔。

师：说得好！5＋a这样一个含有字母的式子就表示现在大信封里一共有多少支粉笔。同样是表示大信封里一共有多少支粉笔，谁能说说5＋1、5＋2和5＋a相比，究竟有什么不同？

生1：5＋1、5＋2，加的都是确定的数，5＋a加的是不确定的数。

生2：5＋1、5＋2的结果是确定的，5＋a的结果不确定，不知道等于多少。

生3：5＋a的结果可能是6，也可能是7，也可能是别的结果。

师：大家说得都很好！5＋1、5＋2的结果是确定的、唯一的，而5+a的结果却有很多种可能，但只要a确定了，5＋a的结果也就确定了。

师：如果a取1，5＋a就对应哪个式子？

生：5＋1。

师：如果a取2，5＋a就对应哪个式子？

生：5＋2。

师：很好！如果a取2，5＋a就表示5＋2，也就是说大信封里有7支粉笔。

师：如果a取10，5＋a就对应哪个式子？表示多少？

生：如果a取10，5＋a就表示5＋10，也就是说大信封里有15支粉笔。

师：同学们真能干！说得都很好！5＋2和5＋a虽然都表示大信封里一共有多少支粉笔，但是它们涵盖的情况大有不同。5＋2只表示一种具体的情况，而5＋a却包括了所有的可能。

（指着板书的5＋a，追问）

师：5＋a表示现在大信封里一共有多少支粉笔。和原来的5支相比，能看出比原来多了几支吗？

生：（抢着说）5＋a和5比，说明现在比原来增加了a支。

师：同学们真了不起！是的，像5＋a这样含有字母的式子，不仅可以表示现有多少支粉笔这样的数量，也能表示现在与原来数量间的关系。

（2）随机拓展。

师：（从大信封里拿出装有粉笔的小信封，当着全体学生的面从中取出1支粉笔）现在小信封里还剩多少支粉笔如何用字母式表达？

生：a－1。

师：很会思考！（板书a－1，同时把取出的1支粉笔放回小信封）如果老师要把这个小信封里的粉笔平均分成2份，每份多少支？又该如何用字母式表达？

生：a÷2。

师：棒极了！（板书a÷2，同时拿出另外两个小信封，说明信封里的粉笔数量相同，都是a支）请问这两个小信封里一共有多少支粉笔？可以怎样列式？

生：a＋a或a×2。

师：非常好！

三、体悟简便

1.自学课本。

（学生自学人教版教材第54页例3，同时配发苏教版教材五年级上册第100页的例3，教师巡视，约3分钟后全班交流）

师：通过自学，你都看懂了什么？

生1：我看懂了1×a可以简写为a。

师：很好！如果是b×1呢？

生1：b×1＝b。

师：说明了什么？

生1：1和某个字母相乘，就可直接简写为那个字母。

师：好极了！还看懂了什么？

生2：我看懂了a×4或4×a可以写成4·a或4a。

师：这是什么意思？

生3：字母和具体的数相乘时，乘号可以简写为一个圆点或者干脆不要。

师：好眼力！仅仅如此吗？

生3：省略乘号时，具体的数写在字母前面。

师：棒极了！他说出了数学上的一种规定。当字母和具体的数相乘时，如果省略了乘号，通常把具体的数写在字母前面。还有什么发现？

生4：我看懂了a×a可以简写成a·a或a2，读作“a的平方”。

师：这又是什么意思？

生5：同样的两个字母相乘，写法可以更简单。

师：真会思考！同样的两个字母相乘，不仅乘号可以简写为一个点或者省略不写，还有更简单的写法，只写一个字母，然后在字母的右上角写一个小小的2，就表示两个同样的字母相乘。a2读作a的平方，不读“a二”。如果你非要读出“a二”来，请加上三个字，读作“a的2次方”，也是可以的。明白了吗？

生：明白了。

师：还有问题吗？

生：没有。

师：在学习过程中，如果没有新的问题提出，其实学习就停止了。想过没有，在含有字母的四则运算中，为什么加、减、除的时候，运算符号都不可简写或省略掉，偏偏碰到乘号时，可以变成一个圆点或干脆不要呢？

（学生面面相觑，陷入沉思，稍停一会，有人举手）

生：可能是因为简便吧。

2.游戏四——乘号省略。

师：这样写的确是方便了，但为什么偏偏要省略乘号呢？如果没有人知道，我们再来做个游戏。（请一男两女三个学生上台，面向大家手脚叉开站立，形如x×x。师板书：x×x，故意把x写得和乘号差不多）感觉怎么样？

生：感觉有点分不清，到底是3个x、还是3个乘号或者x乘x。

师：是呀！怎样避免这样的混淆呢？数学家们有办法。（请中间的男生缩起手脚，慢慢蹲下，最后离开，让学生逐步体会简写的过程）看来，数学上的任何规定都不是没有理由的。

师：乘号同学们省略了，现在台前的两个x是相乘还是相加关系？

生：相乘。

师：既然是两个一样的字母相乘，还可以怎么省略？

（请一个女生下去，以台下学生的视角，让留在台上的女生一只手变个数字2出来。该女生迟疑，老师暗示V型手势——耶，众生会意一笑）

……

四、全课总结

（略）

参考文献：

[1]刘加霞.符号意识的内涵、行为表现及教学建议：以“用字母表示数”单元为例[J].小学教学（数学版），2023（12）.

[2]蒲淑萍，汪晓勤.学生对字母的理解：历史相似性研究[J].数学教育学报，2012（6）.

（作者单位：浙江杭州市文海第二实验学校） L