建构问题链 实现思维进阶

【摘 要】

数学课堂离不开问题探究与问题解决，问题链是实现高效课堂的一个有效途径．基于高中数学习题课的教学现状，本文以“一类含有指对互混型不等式求参数范围”为例，从三个环节出发，以问题为引领，探究为手段，在解决问题的过程中帮助学生建构知识与方法体系，实现思维进阶．

【关键词】 问题链；思维进阶；指对互混型不等式；教学设计

1 问题提出

数学内容的学习，离不开问题解决，即学生对内容的生成与理解，通常是在综合性、复杂性的情境中，通过问题设计，层层推进，在问题解决过程中，实现对知识的深度理解．因此，《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《新课标》）从突出数学本质、设计合适的情境和问题、不断提升自身素养三个方面，对如何设计合理的问题情境提出了教学建议．

数学问题链是根据教学内容所蕴含的思维脉络，立足学生认知水平而设计的具有系统性、层次性、结构化的问题序列［1］．问题链是实现高效课堂的一个有效途径，通过设计主干问题及其子问题，将内容逐步推进，思维逐步深化，从而实现对知识与方法的建构，实现思维的不断进阶，达到提升数学核心素养的目的．

2 案例解析

笔者在一次大市教研活动中，开设了题为“一类含有指对互混型不等式求参数范围”的公开课，笔者尝试以问题链为抓手，通过设计难度适宜的起点问题，再将问题情境进行深度加工，以问题链驱动的探究活动将学生的思维引向深度思考．下面以这节课为例进行说明，不妥之处，敬请批评指正．环节1

引例 求证：ex≥x+1．

设计意图 在处理一类含有指对数混合运算的问题中，常常会将指数或者对数进行放缩．在教材中，有多处涉及到切线放缩的问题，所以以教材中的例题或习题为引例展开探究，引导学生重视回归教材，重视教材习题的基础性功能．

问题1 由引例，你还能得到哪些指数、对数型不等式？

设计意图 通过对引例中的x进行代换，或者两边同时取自然对数，可以得到相关不等式．比如，以x-1代替x，可得ex-1≥x，进一步可得ex≥ex，两边同时取自然对数可得lnx≤x-1．进一步，通过对x的代换，还可以得到ex≥x2+1（x＞0），lnx≥1-1x，lnx≤12（x2-1）等不等式．

问题1-1：你能从图象角度解释这些不等式吗？

设计意图 由数到形，从抽象到直观，通过对函数图象的比较研究，加深学生对这类不等式的进一步理解．

问题2 若aex≥1+x（a＞0）恒成立，求实数a的取值范围．

设计意图 不等式恒成立，求参数取值范围，常见方法有分离变量求最值、构造函数及切线放缩等，通过比较分析，帮助学生合理选择最优方法，实现对问题解决策略的建构．

问题2-1：若ln（x+1）-lna≤x恒成立，求实数a的取值范围．

设计意图 指数问题对数化，对数问题指数化，问题2-1实则是在问题2的基础上，通过两边同时取以e为底的对数得到对数型不等式，解决的方法可以仿问题2的处理．再将问题2和问题2-1综合，在同一平面直角坐标系内作出函数y=aex，y=ln（x+1）-lna+1与y=x+1的图象，通过变化a的值，可以观察到三个函数图象之间的关系，如图1．

环节2

例题 （2020年新高考Ⅰ卷第21题节选）已知函数f（x）=aex-1-lnx+lna，若f（x）≥1，求a的取值范围．

问题3 这是一类含指对数不等式恒成立问题，有哪些方法可以解决这类问题？

设计意图 不等式恒成立求参数范围的主要方法有分离变量求最值，构造函数求最值及切线放缩等．引导学生分析函数式，通过比较，找到合适的解法．

问题3-1：若直接求函数f（x）的最小值，需要确定参数a的情况，如何对a进行分类讨论？

设计意图 由图1可知，当a＞1时，函数y=aex-1的图象在y=lnx+1-lna图象的上方，即aex-1＞lnx+1-lna；当0＜a＜1时，函数y=aex-1的图象与y=lnx+1-lna图象有交点，在x=1附近，有aex-1＜lnx+1-lna．由此，可以通过对a进行分类讨论得a的取值范围为［1，+∞）．

问题3-2：指数函数与对数函数图象有何特征？

设计意图 指数函数与对数函数互为反函数，其图象关于直线y=x对称．另外，指数函数与对数函数的图象过定点也是其图象非常重要的特征．如果能够根据函数表达式，找到定点，是解题的一个重要突破．

追问1：既然指数函数与对数函数图象都过定点，你能从函数f（x）的式子结构入手，发现哪个点比较特殊？

设计意图 当x=1时，f（1）=a+lna，又由于y=lnx是增函数且ln1=0，所以将a与1进行大小比较讨论．

追问2：当a≥1时，你能尝试对参数进行放缩吗？

设计意图 通过对参数a进行放缩，可以优化解法1中利用零点存在性定理找零点的步骤，突破难点．

简解：当0＜a＜1时，f（1）=a+lna＜a＜1，所以f（x）≥1不恒成立．

当a≥1时，f（x）=aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx，下面只需证明ex-1-lnx≥1恒成立（证明略）．

追问3：从图1可以发现同底的指数型函数与对数型函数图象关于直线y=x+m对称，你能从切线放缩角度处理所求不等式吗？

设计意图 利用直线将两条曲线隔开，再通过调整实数a的大小进行比较，以期达到解法优化的目的．

优化简解：当0＜a＜1时，f（1）=a+lna＜a＜1，所以f（x）≥1不恒成立．

由aex-1-lnx+lna≥1，得aex-1≥lnx-lna+1．当a≥1时，aex-1≥ex-1≥x（证明略），lnx-lna+1≤lnx+1≤x（证明略），所以aex-1-lnx+lna≥1．

问题3-3：从对数恒等式角度考虑，指数与对数能够实现同构，你能从同构角度对不等式进行处理吗？

设计意图 在同一个代数式中，涉及到指数式和对数式的混合，通常可以利用恒等式x=alogax=logaax（a＞0，a≠1）进行变形，将含有指数式与对数式的复杂结构转化为简单的同一结构的式子，再结合构造出的函数的单调性，使问题的解决得到优化．

简解：由f（x）=aex-1-lnx+lna≥1，得elna+x-1+lna+x-1≥x+lnx=elnx+lnx．设g（x）=ex+x，g（x）在R上是增函数．因为g（lna+x-1）≥g（lnx），所以lna+x-1≥lnx，即lna≥lnx-x+1恒成立．设h（x）=lnx-x+1，可求得h（x）min=h（1）=0，所以lna≥0，所以a≥1．故a的取值范围是［1，+∞）．

问题4 请你尝试归纳解决这类含有指对互混型不等式求参数范围的解决策略．

设计意图 鼓励学生从解题方法、解题策略等角度进行归纳总结（如图2），培养学生表达交流的能力，养成反思总结的学习习惯．

环节3

变式1 设函数f（x）=exlnx+2ex-1x.

证明：f（x）＞1．

变式2 已知函数f（x）=alnx-2x，若不等式f（x+1）＞ax-2ex在x∈（0，+∞）时恒成立，求实数a的取值范围．

问题5 请同学们关注表达式结构特点，合理利用解决策略解答上述变式．

设计意图 通过变式，强化学生对同一类型或相关类型问题的解题策略的运用，深化学生对问题本质的理解．

上述3个环节包含引例—例题—变式3个部分，环节1是从基础问题出发，引发学生多角度思考，初步建立含有指数型或对数型不等式求参数范围的方法；环节2是在环节1基础上，将指数型与对数型不等式互混，通过问题链引导学生将解法优化，并做好归纳总结；环节3是通过变式，强化学生理解这类问题的本质，最终实现从低阶思维到高阶思维的进阶．

3 几点思考

通过以上教学案例的分析，在习题课中，通过课堂教学提升学生的数学核心素养，需要教师精选内容，精心设问，引导探究，归纳总结，反思提高，最终实现思维进阶．

3.1 发挥教材习题功能，引导学生注重归纳提升，实现思维进阶

教材习题蕴含了丰富的内容，但是现在的教学普遍存在这样的现象：课堂教学及课后作业脱离教材，利用教学案或者教辅教学，特别是在高三复习阶段，对教材习题的深度挖掘更是微乎其微，如何最大限度地发挥习题的教学功能，是教师需要思考的一个问题．教材中的例题、习题具有清晰的教学目的，包含了明、暗两条线，注重数学知识与数学方法的渗透，关注对数学思想与数学本质的理解，教师要善于充分利用好教材习题，以问题为导向，通过习题及变式把孤立的知识点串联起来，以思维启发和发散为导向，将知识向广度和深度拓展，将所学知识点最大限度地进行横向与纵向的关联，帮助学生建构知识体系，总结一般规律，理解本质，提升运用知识解决问题的能力．在上述案例中，引例选自教材中的习题，具有基础性与典型性，然后以问题1，问题2及其追问为导向，通过学生的自主探究与合作交流，使学生进一步理解切线放缩方法，再对高考题进行方法探究，使学生更好地理解题目的本质，体会转化与化归、数形结合等思想方法，发展学生思维的深刻性，开拓学生的解题视野．

3.2 精心设计问题情境，引导学生进行探究提升，实现思维进阶

创设情境和设计问题是问题探究与问题解决教学的出发点，在设计问题时，教师要能够关注学生已经具备的知识与方法，从基础问题出发，帮助学生主动建构问题解决的过程，同时促使学生在原有问题的基础上发现和提出新的问题．问题链教学注重知识之间的内在关联，通过设计问题情境及其子问题，引导学生注重在面对陌生的、复杂的问题情境时，利用已有的知识、方法和视角进行思考探究．在上述案例中，从引例的基本问题入手，立足学生认知水平，提出问题1，然后在此基础上通过添加参数a，设计具有系统性、层次性、结构化的问题序列及其子问题，将问题情境进行深度加工，激活学生的思维．在例题讲解中，提出问题3引发学生进行深度思考，进行方法比较与选择，再通过子问题3-2、3-3及其追问引导学生进行深度探究，优化解法，实现用问题链驱动的探究活动将学生的思维引向深度思考，进而达到思维进阶的目的．

3.3 有效组织学生探究，促进学生思维能力提升，实现思维进阶

新课标指出：数学探究活动是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作交流并最终解决问题的过程［2］．数学探究是教师引导学生自主进行数学活动，在活动中学生通过主动探究或合作交流，获得直接经验和培养实践能力的过程．在探究活动中，培养学生发现和提出有意义的数学问题、猜测合理的数学结论并给出解决问题的策略和方案．以问题驱动教学，适切的问题有助于增强学生探究的兴趣，在问题探究中构建完善的知识体系，培养系统思维，促进思维能力的提升．在上述案例中，以问题及追问形式组织学生探究，在探究过程中引导学生归纳、总结、反思，最后形成解决这一类问题的主要方法，形成如图2形式的结构框图，以此促进学生思维能力的提升．

新课标在实施的教学建议中强调，教师要加强学习方法的指导，帮助学生养成良好的数学学习习惯，敢于质疑、善于思考，理解概念、把握本质，数形结合、明细算理，厘清知识的来龙去脉，建立知识之间的关联．在教学中，教师要精心设计问题，通过设计难度合适的起点问题，逐层深入、紧密关联的过渡性问题，具有挑战性的最终问题，以及体现批判性思维的发展性问题［3］，在问题探究解决过程中帮助学生建立知识与方法之间的关联，以问题为引领，发展学生的四基四能，促进学生对知识的深度理解，实现思维进阶，提升数学素养．

参考文献

［1］

唐恒钧，张维忠．数学问题链教学的理论与实践［M］．上海：华东师范大学出版社，2021.

［2］中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准：2017年版2020年修订［M］．北京：人民教育出版社，2020.

［3］蒋安娜，唐恒钧．基于问题链的数学深度学习活动设计［J］ ．中学数学（下半月·初中），2019（01）：14-17.

作者简介 李刚（1983—），江苏苏州人，中小学高级教师；曾获江苏省高中数学青年教师评优课一等奖.