“一般观念”引领下的数学定理教学设计

【摘 要】 立足于“一般观念”，以2023年“田家炳杯”全日制教育硕士专业学位研究生教学技能大赛一等奖课例——“二项式定理”为例，从“一般观念”的提取和渗透给出数学定理的教学分析，并以问题链为载体，详细探讨了二项式定理的教学设计过程，阐明教学中如何渗透一般观念，最后从整体观和联系观两方面给出教学反思并针对教学技能比赛给出备赛感悟与建议.

【关键词】 一般观念;教学设计;二项式定理;教学技能比赛

1 引言

高中数学课程改革的核心在于探索数学学科的本质、发挥其教育功能和价值，强调从知识掌握到学生发展的转变，重视数学素养与思维能力的培养.针对数学概念课在高中数学教学中的重要性，章建跃博士对概念课的教学提出建议，强调概念教学不应局限于对概念、定理、公式和法则的简单灌输，更应注重学生数学素养的培养；教学应致力于引导学生形成一般观念，培养他们对数学概念内涵的深刻理解，并提升他们探索和思考数学研究思路的能力，从而逐步形成数学智慧［1］.

数学中的“一般观念”代表了数学概念的一种表现形式，是对数学思想和方法进一步提炼和概括的产物，这种概念在数学教学中有多重内涵，包括明确内容是什么、如何学习以及其中蕴含的数学基本思想等，反映了专家在数学领域的思维方式.在教学中，一般观念能够引导教师整合离散的知识点，系统化教学方法，从而促进课堂教学的有序展开.因此，“一般观念”不仅是教材知识的高度凝练，更是帮助教师理解教材意图、组织教学内容和评估教学效果的有力工具.一般观念教学致力于培养学生具备解决实际问题的学者思维，其核心目标是整合教材中高度关联的知识，按照“是什么”的一般观念组织并构建单元教学内容.接着，通过“怎么学”和“数学的基本思想方法”的一般观念，确定教学思路，规划教学流程，并指导具体教学活动的设计，从而实现系统化、连贯性的教学.因此，“一般观念”是培养学生深入理解数学并灵活运用数学方法解决问题的关键路径［2］.“数学智慧”是在寻找事物间共通性、对比不同事物、提炼规律以及对方法论进行反思的过程中构建出的认知.在教学中，教师应以多样化的知识为基础，引导学生通过深度思考探索知识产生的脉络，体验解决数学问题的通用方法和策略，从而培养学生的数学智慧［3］.

“二项式定理”作为代数中的关键概念，在数学教学中扮演着重要角色.然而，仅仅死记硬背公式往往难以让学生深入理解其背后的数学原理.本文以笔者在2023年“田家炳杯”全日制教育硕士专业学位研究生教学技能大赛中荣获一等奖的“二项式定理”课例为例，探讨在数学定理教学中如何渗透和应用一般观念，引导学生从具体例子逐步抽象出普遍方法，从而提高他们的数学逻辑思维能力和问题解决能力，深刻理解数学中的“一般观念”.

2 “一般观念”下数学定理教学分析

数学定理（公式）展示了数学知识的基本规律，具备符号化的抽象特性和概括性特征，是学生提升数学认知水平的关键学习载体，也是进行数学推理和论证的重要依据.在新课标中，数学定理、公式大部分需要达到掌握的层次，即必须明确知识的来龙去脉，把握内容、形式的变化，掌握其蕴含的数学思想方法.“一般观念”具有内隐性，需要经过提取整合再用有逻辑的方式呈现出来.一般来说，一般观念的教学涉及到一般观念的提取与概括、生成与渗透两个环节.

2.1 一般观念的提取与概括

分析所涉及的知识模块和内在的基本数学思想方法，从中提炼出一般观念，是开展一般观念教学的基础［2］.教师在教学中需通过抽象与概括，从具体的数学定理中提炼出相应的一般观念.这种提取与概括要求教师深入挖掘和理解数学定理，找出其中所蕴含的普遍性原理，进而形成能够概括多个具体定理的一般观念.二项式定理是多项式乘法的一种特殊情况，延续了初中阶段学习的多项式乘法概念.因此，一种较为自然的发现方式就是观察几个具体的二项展开式，分析展开式的结构，从中发现一般的二项展开规律.具体来说，首先针对熟知的n=2，3情形，分析对应的运算过程，明确多项式是如何相乘的，即展开式的每一项如何得到，再将分析运算过程中发现的方法或规律，尝试着运用到n=4的情形，最后由特殊到一般，运用这种方法推导出（a+b）n的形式［4］.因此，本节课的一般观念就是找到定理的本质（多项式运算），寻找运算规律，由特殊到一般，经历猜想与论证的过程，学会如何探究一个新数学对象.

2.2 一般观念的生成与渗透

数学具有整体性，在明确了要“教什么”后，还需对一般观念进行进一步的凝练，构建整体教学的框架，以问题链为载体，从研究内容、研究路径、研究方法、研究结果等方面明确“如何教”.二项式定理的核心在于弄清楚形如（a+b）n的式子的具体展开形式.在这一核心问题的驱动下，定理的学习需要遵循一般的研究路径，经历公式的发现、探索、归纳、证明和应用等过程.那么，如何进行发现、归纳和探索呢？从研究方法上看，我们应从已知的特殊二项式展开式出发，由特殊到一般，通过观察和分析规律，进而进行猜想和论证.

3 “二项式定理”教学过程设计

引入 二项式定理的历史发展与生活应用（PPT展示见图2）.

设计意图

从古、今两个角度向学生阐述学习二项式定理的必要性和重要性：引入数学史介绍二项式定理的发展历程，激发兴趣的同时也可让学生从历史视角借鉴数学家们发现和推导二项式定理时的经验，开拓解决问题的思维方式；数学作为许多领域的基础，通过展示数学在其他领域的应用，能够帮助学生建立跨学科的思维模式，更好地理解多学科间的联系.

问题1 我们该如何研究二项式定理？

预设1：既然是定理，按照以前学习定理的经验，我们要经历定理的归纳猜想和逻辑论证的过程.

追问1：那我们从谁开始归纳呢？

预设：我们初中学习过完全平方公式，老师给我们补充过三次方展开式，它们是两个特例，我们可以从它们的展开式开始.

追问2：你们这样做的数学依据是什么？

预设：从特殊到一般的思想方法.

设计意图

引导学生根据已有经验，规划定理的研究内容和路径，明确研究方法，在一般观念的指导下自觉地开展研究，形成系统化的学习方式.

问题2 分析（a+b）2的展开过程，观察展开式的结果，你准备从哪些角度归纳展开式的特点？

预设：项数、次数、项及其系数的规律.

追问：你们是如何想到这些的？

预设：根据多项式的“要素”来看的.

设计意图

鼓励学生在发现问题，解决问题的过程中学会有目的的观察、有逻辑的思考，而非仅仅依赖于碰运气，渗透寻找数学规律时的一般观念.在归纳展开式特点的过程中，教师应引导学生观察多项式各部分的特征，例如项数、次数、项及其系数、字母的排列规律，引导他们发现其中的规律.

预设：从项数来看，项数是3项，比这个二项式的次数2多1.

追问：这是合并同类项之后的结果，合并同类项之前呢？你能根据组合数的概念说说怎么得到的吗？

预设：4项，（a+b）2是2个（a+b）相乘，只要从一个（a+b）中选一项（a或b），再从另一个（a+b）中选一项（a或b），相乘就得到展开式的一项.根据分步乘法计数原理，在合并同类项之前，（a+b）2的展开式共有C12×C12=2×2=4项

预设：从次数来看，每一项的次数都是齐次的，a的幂指数在降次，b的幂指数在升次.

追问：你能把每一项用统一的表达式表示出来吗？

预设：a2-kbk（k=0，1，2）的形式.

追问：每一项的系数如何确定？（如果学生没有想法，教师可稍加引导，让学生回顾思考每一项是如何得到的，思考如何把多项式乘法转化成计数原理）

当k=0时，a2-kbk=a2，这是由2个（a+b）中都不选b得到的.因此，a2出现的次数相当于从2个（a+b）中取0个b（都取a）的组合数C02，即a2只有1个.

当k=1时，a2-kbk=ab，这是由1个（a+b）中选a，另1个（a+b）中选b得到的.由于b选定后，a的选法也随之确定，因此，ab出现的次数相当于从2个（a+b）中取1个b的组合数C12，即ab共有2个.

当k=2时，a2-kbk=b2，这是由2个（a+b）中都选b得到的.因此，b2出现的次数相当于从2个（a+b）中取2个b的组合数C22，即b2只有1个.

由上述分析可以得到a+b2=C02a2+C12ab+C22b2.

设计意图

解决系数问题是本节课最具挑战性的一部分，需要回归到多项式乘法的基本概念进行分析.例如考虑如何获得表达式中的含ab的项.这个过程可以通过组合数公式来思考：解决的核心问题是如何获得含ab的项，因为单项式乘法遵循交换律，所以这是一个组合问题，相当于从2个因式中选择1个“b”，因此这样的项的个数就是组合数，这样就得到了展开式的通项.

问题3 根据上述分析，你能仿照这个过程利用计数原理写出（a+b）3、（a+b）4的展开式吗？请写出结果并进行验证.

师生活动：学生独立思考，合作交流，选取学生代表发言，教师辅以总结.

设计意图

有了（a+b）2展开的经验，在一般观念的引领下，学生可类比上述过程根据多项式乘法法则，利用计数原理解释（a+b）3、（a+b）4展开的过程，为共性的归纳，猜想的提出奠定基础，为运用一般观念指导自身进行数学学习提供丰富的活动经验.

问题4 从上述具体问题得到启发，对于任意正整数n，你能猜想（a+b）n的展开式吗？

师生活动：学生先独立思考，再小组交流，从展开式的要素入手得出展开式共性：

（1）展开式的项数是（n+1）项；

（2）每一项的次数是n；

（3）a的次数按n，n-1，…，1，0排列；b的次数按0，1，2，…，n-1，n排列；

（4）系数的规律是C0n，C1n，…，Cn-1n，Cnn

预设：（a+b）n=C0nan+C1nan-1b1+…+Cknan-kbk+…+Cnnbn，n∈N*.

追问：你能对上述猜想的合理性进行说明吗？

预设：由于（a+b）n是n个（a+b）相乘，每个（a+b）在相乘时有两种选择，选a或b，而且每个（a+b）中的a或b都选定后，将它们相乘才能得到展开式的一项.因此，由分布乘法计数原理可知，在合并同类项之前，（a+b）n的展开式共有2n项，其中每一项都是a2-kbk（k=0，1，2，…，n）的形式.

对于每个k（k=0，1，2，3，…，n），对应的项a2-kbk是由（n-k）个（a+b）中a，另外k个（a+b）中选b得到的.由于b选定后，a的选法也随之确定，因此，an-kbk出现的次数相当于从n个（a+b）中取k个b的组合数Ckn，这样，（a+b）n的展开式中，an-kbk共有Ckn个，将它们合并同类项，就可以得到上述二项展开式，从而得到

二项式定理

（a+b）n=C0nan+C1nan-1b1+…+Cknan-kbk+…+Cnnbn，n∈N*.

设计意图

学生自主探究n=3，4时展开式的结构特点，小组合作交流归纳展开式的共性提出猜想，采用“说理”的方法，对定理的正确性给予说明，完成定理证明.

问题5 得到一个新数学对象后，观察其特殊情况有助于我们加深对其理解，观察二项式定理，你能发现一些特殊情形吗？

预设1：在二项式定理中，若设a=1，b=x，则得到公式：

（1+x）n=C0n+C1nx+C2nx2+…+Cknxk+…+Cnnxn.

预设2：在二项式定理中，若设a=1，b=1，则得到公式：

2n=C0n+C1n+…+Cn-1n+Cnn.

预设3：把a，b交换后公式仍然成立，即

（a+b）n=（b+a）n.

预设4：把公式中“+”变“-”、在二项式定理中，若设a=1，b=-1，即可得到不同的特殊公式.

设计意图

通过取特殊值的方式对公式的结构特征进行深入研究，进一步加深对定理的理解，为二项式定理的灵活运用做准备，完善一般观念指导下的数学研究习惯与意识.

4 教学反思

4.1 一般观念引领，构建数学知识的整体框架

数学是一门系统性极高的学科，新课标在教学建议中指出，要整体把握教学内容，促进数学学科核心素养连续性和阶段性发展.基于“一般观念”的课堂教学不应简单的堆砌知识点，否则教学内容会零散，缺乏连贯性，成为碎片化的知识.基于整体观思想，教师应当以教材为基础，首先分析教材前后知识之间的关联，然后以“结构”为主线、以“方法”为纽带，将其融入教学中重新构建整个教学体系.在二项式定理的教学中，本设计以“背景（二项式定理的重要性和必要性）—本质（多项式乘法）—规律（系数和项的关系）—结构（展开式特征）—应用”为主线，以“背景—方法（从特殊到一般）—方法论—数学学科本质观（一般化）”为暗线，形成数学基本思想和方法的渗透，不断强化对数学本质的理解，建立起有意义的知识结构，进而“按图索骥”实现内容的可预知性、过程的逻辑性、探索的方向性、思维的主动性，提高学生的自主学习能力.

4.2 一般观念引领，学会问题分析的普适方法

一般观念引导学生关注数学知识的共性和联系，培养了他们对数学问题的普适性思考和解决问题时的联系观.通过引导学生从具体案例和特定概念中抽象出共性和规律，形成一般观念，能够帮助学生建立起全面的数学学科认知，促进系统性理解，加深对数学思维方式和研究方法的理解.在二项式定理的教学中，本设计以问题链为载体，通过不断追问，启发学生进行有逻辑的思考，如“如何寻找规律的方向”“如何进行问题的转化”“如何基于表达式的本质运用计数原理简化问题”等.这种方式培养了学生的逻辑思维能力和解决问题的能力，也帮助他们更好地理解一般观念在数学学科中的应用，从而提升了数学学习的深度和广度.

5 小结

短期的教学比赛与长期的教学知识和经验的积累是相互促进的.所谓“台上一分钟，台下十年功”，能在决赛中脱颖而出绝非简单依靠运气.这不仅需要赛前有扎实基本功的积淀和教学理念的更新，还要从整体角度审视每个章节，并分析整个高中教科书的逻辑框架体系，思考如何体现核心素养并培养学生的多维能力.数学问题在本质上是简单有序的，研究对象或许不同，但研究套路和思维方法却是不变的，因此尽管备赛时间有限，但不同课型的教学方法是有规律可循的.“二项式定理”并没有在赛前进行过试讲打磨，仅有对内容的大致了解，然而在比赛时却能突发奇想，将内容用“一般观念”巧妙串联起来，这离不开赛前自主练习时形成的备课习惯.建议职前教师们针对一个课题在备课前要习惯多询问自身几个问题：学生为何学习？为何在这里学？学生该如何学习？需使用何种研究工具？若无工具，应如何创造工具？只有在这些问题的指引下，制定教学环节并提出合适问题串，才能兼顾数学知识发展的合理性与学生认知过程的合理性.

当然，这个设计也存在一些不足之处，例如：忽略了初高中知识的衔接性，即乘法法则在初中已有涉及，为何高中需要通过组合数重新表示二项式展开？这需要教师在引入阶段激发学生认知冲突，使学生感受到两种方法之间的差异.同时，重视学情分析并做好预设也非常重要.一般路径和方法需在定理探究前给出，但由于地域和学生差异，有些学生可能缺乏迁移意识和一般化思维，从而导致引入部分需要花费大量时间.因此，教师需要在课前预设好如何让学生想到“一般路径”，以及当他们无法想到时，如何通过适当的问题加以引导.

参考文献

［1］章建跃. 核心素养立意的高中数学课程教材教法研究［M］. 上海：华东师范大学出版社， 2021.

［2］黄晖明. 数学一般观念教学的内涵、策略与案例［J］. 中学教研（数学）， 2023（10）： 1-4.

［3］刘璐， 戈砚辉. 实施深度教学 促进智慧发展：以“有理数的乘法”（第1课时）教学为例［J］. 中学数学教学参考， 2022（20）： 2-4.

［4］人民教育出版社 课程教材研究所 中学数学课程教材研究开发中心.普通高中教科书教师教学用书［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

作者简介 汤庆君（2000—），女，安徽合肥人，南京师范大学研究生，研究方向：课程与教学论.