巧用坐标系解空间几何四类问题

［摘 要］高中阶段的空间几何问题中，空间直角坐标系常被用来解答空间位置关系、角度、距离和体积的问题。文章通过分析具体实例，探究了空间直角坐标系在解题中的简便性和实用性，旨在为学生提供一种有效的解题思路和方法，以提升他们的解题能力。

［关键词］空间直角坐标系；空间几何；四类问题

［中图分类号］ G633.6 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-6058（2024）26-0032-03

空间几何作为高中数学的重要组成部分，在高考中具有极其重要的地位。其中，空间位置关系、角度、距离和体积等常见的问题，往往让学生感到棘手。运用空间直角坐标系能够化繁为简，巧妙解决这些问题。本文将结合具体实例，详细阐述如何利用空间直角坐标系解答这四类问题。

一、位置问题

位置关系是空间几何中最为常见、最为基础的问题，常见的考点有线线关系、线面关系、面面的平行、垂直关系等。在解答这类问题时，首要步骤是根据题目给出的条件，建立合适的空间直角坐标系；随后根据空间直角坐标系，确定题目中涉及的各个点的坐标，进而得到直线的方向向量或平面的法向量；最后根据向量间的关系判断出题目的关系。需要提醒学生注意，如果无法根据题目信息快速建立空间直角坐标系，则需要思考并采用其他方法进行解题。

［例1］如图1，在正四棱柱[ABCD-A1B1C1DD1]中，[AB=2]，[AA1=4]，点[A2]，[B2]，[C2]，[D2]分别在棱[AA1]，[BB1]，[CC1]，[DD1]上，[AA2=1]，[BB2=DD2=2]，[CC2=3]。证明：[B2C2]∥[A2D2]。

解析：以[C]为坐标原点，[CD]，[CB]，[CC1]所在直线为[x]轴，[y]轴，[z]轴建立如图2所示的空间直角坐标系。

得[C（0，0，0）]，[C2（0，0，3）]，[B2（0，2，2）]，[D2（2，0，2）]，[A2（2，2，1）]，

所以[B2C2=（0，-2，1）]，[A2D2=（0，-2，1）]，

所以[B2C2 ]∥[ A2D2]，即向量[B2C2]与[A2D2]共线，

又[B2C2]，[A2D2]不在同一直线上，所以[B2C2]∥[A2D2]。

点评：本题为线线平行证明问题，在解题中通过建立直角坐标系，可得[B2]，[C2]，[A2]，[D2]各点坐标，继而得到[B2C2]，[A2D2]，进而通过两向量之间的关系，便可证明[B2C2]∥[A2D2]。

二、角度问题

在高考试题中，空间几何的角度问题是必考点，同时也是难点。虽然借助定义法可以解答，但是过程较为烦琐，而借助空间直角坐标系可以降低解题难度。在高考中常见的命题类型有求解异面直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面之间的夹角等。解题的主要步骤与上述位置问题相似，首先建立空间直角坐标系；其次确定各点的坐标和向量，如果要求两条直线的夹角，就需要计算出这两条直线的方向向量；最后计算向量的点积和模长，便可得夹角余弦值的绝对值。其中需要注意的是，要结合图象判断角度的大小。

［例2］如图3，三棱锥[A-BCD]中，[DA=DB=DC]，[BD⊥CD]，[∠ADB=∠ADC=60°]，[E]为[BC]中点。

（1）证明：[BC⊥DA]；

（2）点[F]满足[EF=DA]，求二面角[D-AB-F]的正弦值。

解析：（1）略。

（2）设[DA=DB=DC=2]，

因为[BD⊥CD]，

所以[BC=22]，[DE=AE=2]，

所以[DE2+AE2=4=AD2]，

所以[DE⊥AE]，

又因为[BC⊥AE]，[DE⋂BC=E]，

[DE，BC⊂]平面[BCD]，

所以[AE⊥]平面[BCD]，

以点[E]为原点，[ED]，[EB]，[EA]所在直线分别为[x]轴，[y]轴，[z]轴建立如图4所示的坐标系，

则有[E（0，0，0）]，[D（2，0，0）]，[A（0，0，2）]，[B（0，][2，0）]，

设平面[DAB]与平面[ABF]的一个法向量分别为[n1=（x1，y1，z1）]，[n2=（x2，y2，z2）]，二面角[D-AB-F]的平面角为[θ]。

而[AB=（0，2，-2）]，[DA=（-2，02）]，[EF=（-2，0，2）]

所以[EF=DA]，

所以[F（-2，0，2）]，

即有[AF=（-2，0，0）]，

所以[DA·n1=0，BA·n1=0，]即[-2x1+2z1=0，2y1-2z1=0，]

取[x1=1]，则[y1=0]，[z1=1]，所以[n1=（1，1，1）]，

同理：[2y2-2z2=0，-2x2=0，]

取[y2=1]，则[x2=0]，[z2=1]，所以[n2=（0，1，1）]，

所以[cosθ=n1·n2n1·n2=23×2=63]，

则[sinθ=1-cos2θ=1-632=33]，

所以二面角[D-AB-F]的正弦值为[33]。

点评：本题为求二面角的正弦值问题，在实际解题中需要先确定涉及的两个面，而后计算出两面的法向量，再结合法向量求得二面角的余弦值，最后将其转化为二面角的正弦值。除此之外，在求线面角、已知线面角或面面角求参数等诸多问题中，都可以通过建立空间直角坐标系借助向量法进行解题。

三、距离问题

高考中的距离问题主要涉及点到直线、两平行平面的距离及直线到平面的距离等几种命题类型。解题中，需要通过建立空间直角坐标系确定各点的坐标及向量，在此基础上利用向量运算求解。

［例3］如图5，四棱锥[P-ABCD]中，底面[ABCD]为平行四边形，侧面[PAD]是边长为[2]的正三角形，平面[PAD⊥]平面[ABCD]，且[AB⊥PD]。

（1）求证：平行四边形[ABCD]为矩形；

（2）若[E]为侧棱[PD]的中点，且平面[ACE]与平面[ABP]所成角的余弦值为[64]，求点[B]到平面[ACE]的距离。

解析：（1）略。

（2）以[A]为坐标原点，[AB]为[x]轴，[AD]为[y]轴，建立如图6所示的空间直角坐标系，

设[AB=t>0]，[A（0，0，0）]，B（t，0，0），C（t，2，0），P（0，1，[3]），[E0，32，32]，

所以[AC=（t，2，0） ]，[ AE=0，32，32 ]，[ AB=（t，0，0）]，[AP=（0，1，3）]，

设平面[ACE]的一个法向量为[n1=（x1，y1，z1）]，

则[AC·n=0，AE·n=0，]即[tx1+2y1=0，32y1+32z1=0，]

令[x1=2]，则[y1=-t]，[z1=3t]，所以[n1=（2， -t，3t）]，

设平面[ABP]的一个法向量为[n2=（x2，y2，z2）]，

则[AB·n2=0，AP·n2=0，]即[tx2=0，y2+3z2=0，]

令[z2=1]， 则[x2=0]， [y2=-3]， 所以[n2=（0，-3，1）]，

由[cos<n1，n2>=n1·n2n1·n2=23t2×4+4t2=64]，可得[t=1]，所以平面[ACE]的法向量为[n1=（2，-1，3）]，[AB=（1，0，0）]，则点[B]到平面[ACE]的距离为[AB·n1n1=28=22]。

点评：本题为求解点到平面的距离问题，解答这类问题的难点在于计算出平面的法向量，得到平面法向量后再根据相关距离公式进行解题。此外，平面间的距离可以转化为两向量间的距离，直线到平面的距离则可以转化为直线上任意一点到平面的距离。

四、体积问题

空间几何问题中，体积问题是一个常见考点。对于这类问题，常用的解题方法有公式法、等体积变换法、分割法、补形法和向量法。当题目所给图象便于建立空间直角坐标系时，可以借此进行解题，以降低解题难度。

［例4］如图7，在三棱锥[A-BCD]中，平面[ABD⊥]平面[BCD]，[AB=AD]，[O]为[BD]的中点。若[△OCD]是边长为[1]的等边三角形，点[E]在棱[AD]上，[DE=2EA]，且二面角[E-BC-D]的大小为[45°]，求三棱锥[A-BCD]的体积。

解析：如图8，以[O]为原点，过点[O]且垂直[OD]的直线为[x]轴，过[OD，OA]所在直线分别为[y]轴，[z]轴，建立空间直角坐标系，

则[C32，12，0]，[D（0，1，0）]，[B（0，-1，0）]。

设[OA=m]，则[A（0，0，m）]，[E0，13，23m]，

所以[EB=0，-43，-23m]，[BC=32，32，0]，

设[n=（x，y，z）]为平面[EBC]的一个法向量，

则[BC·n=0，EB·n=0，]可得[32x+32y=0，-43y-23m=0，]令[y=1]，则[x=-3]，[z=-2m]，所以[n=-3，1，-2m]，

又因为平面[BCD]的一个法向量为[OA=（0，0，m）]，

所以[cos<n·OA>=-2m·4+4m2=22]，

可得[m=1]（负值已舍去）。

因为点[C]到平面[ABD]的距离为[32]，

故[VA-BCD=VC-ABD=13×S△ABD×32=13×12×2×1×32=36]。

点评：运用空间直角坐标系解答本题的难点在于建立合适的空间直角坐标系。同时，需要借助待定系数法求解平面的法向量，进而根据二面角求解参数值，确定点到平面的距离，最后利用等体积转换及体积公式进行求解。

综上所述，本文总结了通过建立空间直角坐标系解答四类空间几何问题的基本方法。在实际解题中，学生要积极总结相应的解题规律及相关基础定理，确保能够快速厘清解题思路，有效解答问题。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 臧永建.巧构空间坐标系，妙解立体几何题[J].高中数理化，2022（23）：45-46.

[2] 张茹.感知空间图形，探究立体几何：三类热点翻折问题的突破[J].求学，2019（37）：50-52.

[3] 杜娟.基于培养学生数学核心素养的教学设计：以“立体几何中的翻折问题”为例[J].上海中学数学， 2018（10）：25-26，48.

[4] 杜红全.追踪考题 晒晒考点：“立体几何”高考考点题型归类解析[J].中学教研（数学），2017（2）：40-44.

（责任编辑 梁桂广）