注重过程教学 促进素养提升

［摘 要］数学学科核心素养是数学特征的思维品质、关键能力以及积极的情感态度与价值观的综合体现，为学生的全面发展奠定坚实的基础。教师应将提升学生数学核心素养的目标落实到具体的教学过程中，设计递进性探究问题，开展探究、合作、自主性数学活动，引导学生经历观察、实验、猜想、验证的过程，让学生自主探究、思考、反思，逐渐养成数学思维习惯和形成数学思想方法，提升数学学科核心素养。

［关键词］过程教学；核心素养；方差公式

［中图分类号］ G633.6 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-6058（2024）26-0011-03

在学习方差的概念时，部分学生会提出疑问：为什么方差的定义为取其平方，而不是直接取绝对值呢？一些教师仅简单解释：取绝对值也是衡量数据波动的方式，但取平方应用更广泛。这种解释只是单方面的告知，未能让学生理解知识的产生与发展过程，也缺乏对知识结果合理性的深刻体会，导致他们对方差概念的形成过程感到模糊，这种模糊性加大了学生对方差公式的理解难度，导致应用时频繁出错。那么，如何有效引导学生去探究方差公式的产生和形成过程呢？笔者认为，可从实际问题出发，对数据进行适当的调整，使众数、中位数和平均数等统计量在区分两组数据的集中程度上失效，同时凸显出平均差在反映数据波动程度方面的不足；让学生通过不断尝试、探究，发现已有知识无法解决问题，从而体会到知识的局限性，感受到方差产生的必要性。在验证方差公式形式合理性的过程中，让学生进一步理解和感受方差公式结构的形成，深化对方差概念的理解。下面以“探究方差公式的产生和形成”为例对此过程进行详细阐述，希望能为同行提供有益的参考。

一、教学过程

（一）问题引入，感受方差产生的必要性

教师通过联系生活中的实际问题引导学生探究方差公式，使他们感受到方差产生的必要性。

教学片段如下：

师：我们已经学会了用平均数、中位数和众数来刻画一组数据的集中程度，请同学们尝试解决以下问题。

问题：城北学校即将举行校八年级数学竞赛，801班的甲、乙两名同学都想参加，但由于人数限制，只能选一人。甲、乙两名同学本学期的测试成绩列表如下：

[甲 100 85 98 93 94 乙 100 88 90 94 98 ]

如果你是老师，你认为挑选哪一名同学参加竞赛比较合适？请说明理由。

生1：甲和乙的测试成绩无法通过众数衡量，两人的中位数都是94，那肯定是平均数不一样。

师：请两位同学上黑板来计算甲、乙的平均成绩。

两位学生的板书如下：

生2：[x甲=100+85+98+93+945=94]，[x乙=100+88+90+94+985=94]。

生3：[x甲=95+5-10+3-2-15=94]，[x乙=95+5-7-5-1+35=94]。

生4：甲、乙两位同学的平均数是一样的，这是不对的。

师：也就是说众数、中位数和平均数无法区分甲、乙两组数据的集中程度，请同学们回顾统计活动的基本过程，想一想可以借助什么来继续探究这个问题。

生5：统计活动的基本过程包括收集数据、整理数据、描述数据和分析数据，我们可以借助统计图来探究这个问题。

评析：在刚学习了平均数、中位数和众数的统计意义后，学生面对这个问题，首先会思考能否用这三个统计量来衡量甲、乙两人成绩的集中程度。经过一番尝试与排除，学生发现用这三个统计量难以有效区分甲、乙两人的成绩特点。于是，教师引导学生借助统计图这一工具深入探究问题。这一过程，不仅复习了衡量数据集中程度的常用统计量，还启发了学生在遇到现有统计量无法直接解决问题时，灵活调整思路，探究新的研究方法。

（二）基于认知，了解方差概念的产生过程

师：请同学们选择合适的统计图来描述甲、乙两位同学的成绩。

（利用希沃白板展示学生所选择的统计图，如图1、图2所示）

师：观察这些统计图，你们有什么发现？

生6：从折线统计图来看，甲数学成绩的波动程度比乙大。

师：不错。从统计图来看，甲、乙数学成绩的波动情况不同。那么从图中看出的结果能否用数据来描述或者通过算式来体现呢？

（学生思考）

评析：此环节从贴近学生生活的实际问题出发，引导学生深入探究。在探究过程中，学生尝试运用所学知识解决问题，但很快发现所学知识并不能直接解决问题。随后，教师引导学生绘制并仔细分析统计图，学生发现可以通过观察数据的波动程度来有效区分两组数据。这为方差的引入做好铺垫。对于一组数据，经过统计图表的整理和描述，其分布特征得以清晰地呈现出来。然而，直接从图表中读取结论只是第一步，学生更需建立数据分析的观念。因此，教师要积极引导学生思考，并鼓励他们计算出能表示数据分布特征和规律的特征量，从而推动他们对方差公式及其结构做进一步的探究。

（三）探索思考，把握方差公式的结构

教师引导学生思考如何更好地刻画一组数据的波动程度，并逐步引导他们探究方差公式的结构。

教学片段如下：

师：数据的波动程度反映了各个数据偏离其中心值的程度。对此，同学们有什么想法？

生7：老师，可不可以比较甲、乙成绩与平均数的差或和。

师：可以尝试一下。

（学生计算）

生8：甲为[6-9+4-1+0=0]，乙为[6-6-4+0+4=0]，计算结果都是0。

师：出现这种情况的原因是什么？

生9：正数和负数相互抵消。

师：有什么办法可以解决这个问题？

生10：改为用大数减小数。

生11：给作差的结果添上绝对值。

师：继续尝试一下。

（学生计算）

生10：甲为[6+9+4+1+0=20]，乙为[6+6+4+0+4=20]。

生11：甲为[6+-9+4+-1+0=20]，乙为[6+-6+-4+0+4=20]。

生12：老师，计算结果又相同了。

师：你们采用大数减小数和给作差的结果添加绝对值的方法是想将负数调整为正数，使之不再出现正数和负数相互抵消的情况，思路是对的。那么还有没有其他方法同样能达到这个效果呢？

（学生思考）

生13：进行平方。

师：方法可行，请同学们尝试计算，并思考三种处理方法的异同点和优缺点。

（学生计算并思考）

生14：甲为[62+（-9）2+42+（-1）2+02=134]，乙为[62+（-6）2+（-4）2+02+42=104]。

生15：这三种方法都能避免出现正数和负数相互抵消的问题，然而采用大数减小数和添加绝对值的方法在某种情况下会导致两组数据求和的结果相同，从而无法区分它们的波动程度。而平方法的优点在于它能够将原本差值较大的结果进一步放大，从而达到区分两组数据波动程度的目的。

师：非常不错。同学们通过不断地思考、探究，成功找到了区分两组数据波动程度的方法，教科书对你们的计算方法进行了优化调整，具体做法是将计算结果除以测试次数，以得到平均值。请同学们分别计算、观察两种方法所得的计算结果，看看哪一种方法更好。

生16：如果求平均值，则可以使计算结果的数值变小，更美观。

师：不错。同学们通过思考、探究得出的区分两组数据波动程度的方法，也是衡量数据波动程度的一种非常重要的数学工具，我们称之为方差，记作[S2]。在一般情况下，假设有[n]个数据[x1]，[x2]，…[xn]，且这组数据的平均数是[x]，那么描述这组数据波动程度的方差公式如何表示呢？

生17：[S2=（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2n]。

师：根据计算结果，两组数据中是方差越小波动越小，还是方差越小波动越大？

生18：方差越小，波动越小。

评析：此环节中，教师根据学生在解决问题的过程中遇到的困难，适时引导学生探究并尝试可行的解决方法。当学生得出不同的解题策略时，教师进一步引导他们分析这些方法的优劣，从而确定解决问题的最优方案。这样的教学，使学生经历了“思考—尝试探究—反思—继续探究—归纳总结”的完整过程，从而对方差的产生背景有了深刻的理解，对方差公式的结构也形成了更加清晰的认知。

二、教学反思

数据观念主要是指对数据的意义和随机性有比较清晰的认识。数据观念是学生在参考数据相关活动的过程中逐渐建立起来的，具体表现为对数据的一种独特“领悟”，即能够基于数据进行合理推测的意识，以及对数据思维方法的独特性和应用价值的深刻体会和认识。形成数据观念有助于理解和表达生活中随机现象发生的规律，感知大数据时代数据分析的重要性，养成重数据、讲道理的科学态度。

培养学生数据观念的最佳途径是让学生亲身经历数据处理的全过程，包括数据的收集、整理、描述、分析。在这一过程中，学生能够认识到在解决众多实际问题时，数据的收集是首要步骤，随后通过细致分析可以发现数据中蕴藏的信息。更为重要的是，学生将会运用多种方法来分析同一组数据，根据具体问题的实际背景做出准确的判断，并选择最合适的方法解决问题。这一系列的实践体验，让学生深刻感受到了统计学的实际价值，进而促进他们应用意识的发展。

本课教学，首先从与学生生活紧密相关的实际问题切入，使学生在尝试运用已有知识解决问题却遭遇困境的矛盾冲突中，深刻感受方差产生的必要性。其次，引导学生回顾并深入思考数据处理的基本流程，帮助学生建立起数据分析的初步观念。再次，引导学生借助统计图及细致观察图表，分析两组数据的差异，进而引出利用数据的波动程度作为衡量两组数据差异的新方法。最后，引导学生推导出方差的公式。一开始，学生想要通过计算各数据与平均数的差的和来反映数据的波动程度，但他们遇到了困难：由于数据既有正数也有负数，这些差值在相加时往往会相互抵消，导致最终的计算结果均为0，无法有效反映数据的真实波动情况。对此，教师并未直接给出答案，而是引导学生自主思考并探索可行的解决方案。经过学生的积极思考与热烈讨论，最终形成了三种主要的方法：一是采用大数减小数的方式；二是将数据与平均数的差取绝对值；三是求数据与平均数的差的平方。通过对比和总结三种方法的异同点和优缺点，学生得出了方差公式的形式，这不仅加深了学生对方差概念的理解，还培养了他们的逻辑推理能力和问题解决能力。

这种以生为本的教学模式，十分重视学生的思维发展。在此模式下，教师作为引导者，要设计一系列富有探究性的问题，以有效引导学生自主、积极地投入探究与合作学习中。教师要不断启发学生，促使他们将新知识与已有的知识经验建立联系，形成知识的融会贯通；引导学生亲身经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题以及反思归纳的过程，深入了解数学知识的产生与发展过程，进而构建稳固的知识框架。这一系列活动，不仅有助于学生形成良好的自我意识，更重要的是能够真正促进学生数学思维品质的发展。

培养学生的核心素养是一个循序渐进、日积月累的过程。教师需将提升学生的核心素养作为教学的核心目标，并将其贯穿于日常教学的每一个环节中。教师应设计具有探究性的问题，引导学生积极参与观察、实验、猜想、验证等数学活动，从而实现从习题到问题、从问题到思维、从思维到素养的深层次转变。在这一过程中，学生将逐渐养成数学的思维习惯，掌握数学的思想方法，最终促进数学学科核心素养的有效落地。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准：2011年版[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2] 李继选.解二元一次方程组教学要突出消元思想[J].中小学数学（初中版），2015（9）：44-46.

[3] 邢介鹏.融入核心素养的初中数学课堂教学策略[J].中学数学，2020（10）：92-93.

[4] 罗绵景.渗透数学思想，提升核心素养：基于核心素养的初中数学教学设计[J].中学数学，2018（2）：56-57.

（责任编辑 黄春香）