寻找不等关系 求解取值范围

［摘 要］解析几何中的范围问题是一类常考题型，解答这类问题的关键是寻找题目中的不等关系，并将其转化为所求目标的取值范围。文章结合一些实例进行探讨，以帮助学生突破难点，发展学生思维，提升学生的解题能力。

［关键词］不等关系;取值范围；解析几何

［中图分类号］ G633.6 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-6058（2024）26-0029-03

解析几何中的范围问题一直是高考命题的热点，此类问题涉及的知识面广，综合性强，计算量大，常常令学生头疼。本文结合实例分析，探究此类问题的解题技巧，以发展学生的数学思维，提升他们的解题能力。

一、利用已知条件中几何量的不等关系建立不等式

如果题目的已知条件已经给出了一些不等关系，在求解时可直接将这些不等关系转化为不等式或目标函数的定义域，进而通过解不等式或利用函数值域求出取值范围。

［例1］设椭圆[C：x2a2+y2b2=1]（[a>b>0]）的右焦点为[F]，椭圆[C]上的两点[A]，[B]关于原点对称，且满足[FA·FB=0]，[FB≤FA≤3FB]，则椭圆[C]的离心率的取值范围是 。

解析：如图1，设椭圆的左焦点为[F]，由椭圆的对称性可知，四边形[AFBF]为平行四边形，又[FA·FB=0]，则[FA⊥FB]，所以平行四边形[AFBF]为矩形，故[AB=FF=2c]，设[AF=n]，[AF=m]，则[BF=n]，在Rt[△ABF]中，[m+n=2a]，[m2+n2=4c2]，所以[2mn=（m+n）2-（m2+n2）=4a2-4c2=4b2]，则[mn=2b2]，所以[mn+nm=m2+n2mn=2c2b2]。令[mn=t]，得[t+1t=2c2b2]，又由[FB≤FA≤3FB]，得[mn=t∈1，3]，因为对勾函数[y=t+1t]在[1，3]上单调递增，所以[2c2b2=t+1t∈2，103]，所以[c2b2∈1，53]，即[a2b2-1=a2-b2b2=c2b2∈1，53]，则[a2b2∈2，83]，故[b2a2∈38，12]，所以[e=ca=1-b2a2∈] [22，104]。

评注：求解本题的关键是先利用椭圆的对称性及向量数量积为0的结论证得四边形[AFBF]为矩形，再利用椭圆的定义与勾股定理，最后结合条件中的不等关系得到关于[a，b，c]的齐次不等式。

二、利用点、直线、曲线之间的位置关系建立不等式

如果题目的已知条件中给出点、直线、曲线之间的位置关系，可以根据这种隐含的不等关系建立不等式。

［例2］如图2，设椭圆[x2a2+y2b2=1]的左、右焦点分别为[F1]，[F2]，焦距为[2c]，点[Qc，a2]在椭圆的内部，椭圆上存在点[P]使得[PF1+PQ<32F1F2]成立，则椭圆的离心率的取值范围为 。

解析：由于点[Qc，a2]在椭圆的内部，则[c2a2+a24b2<1]，[a24b2<1-c2a2=b2a2]，[b4a4>14]，[b2a2>12]，[e=ca=c2a2=a2-b2a2=1-ba2<22]。因为[PF1+PQ=2a+PQ-PF2≥2a-QF2=3a2]，当[P]，[Q]，[F2]三点共线时等号成立，因为椭圆上存在点[P]使得[PF1+PQ<32F1F2]成立，所以[3a2<32F1F2=32×2c，ca>12]，综上所述，离心率的取值范围是[12，22]。

评注：求解点和椭圆位置关系问题时，如果点[P（s，t）]在椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]上，则[s2a2+t2b2=1]；在椭圆外，则[s2a2+t2b2>1]；在椭圆内，则[s2a2+t2b2<1]。当要确定椭圆的离心率的取值范围时，可以考虑根据椭圆的几何性质建立不等式直接求得[ca]的取值范围，也可以先求[ba]的取值范围，再转化为[ca]的取值范围。

三、利用图形的几何性质建立不等式

在几何图形的性质中存在着不等关系，如三角形的三边关系；直角三角形的斜边大于直角边；直线与圆相交时，圆心距小于圆的半径等。解题时可以利用这些不等关系建立不等式。

［例3］已知点[M（a，b）]是椭圆[x24+y2=1]外一点，过点[M]作椭圆的两条切线，且两条切线恰好互相垂直，[A（1，-4）]，[B（0，-1）]，则[MAMB]的取值范围为 。

解析：设过[M（a，b）]的一条椭圆切线[l1]的方程为[y-b=k（x-a）]，即[y=kx-ak+b]，

联立[y-b=k（x-a），x24+y2=1，]令[-ak+b=m]，得到切线[l1]的方程为[y=kx+m]，整理得到[（1+4k2）x2+8mkx+4m2-4=0]，因为直线[l1]为椭圆的切线，联立得到的一元二次方程的判别式等于零，所以[Δ=（8mk）2-4×（1+4k2）（4m2-4）=16（-m2+4k2+1）=0]，即[m2=4k2+1]，把[-ak+b=m]再代入上式，得[4k2+1=（-ak+b）2]，整理得[（4-a2）k2+2abk+1-b2=0]，因为两条切线均过[M（a，b）]且相互垂直，则[k1k2=-1]，由韦达定理可知[k1k2=1-b24-a2=-1]，所以[a2+b2=5]，则点[M]的轨迹方程为[a2+b2=5]；又[MAMB=（a-1）2+（b+4）2a2+（b+1）2=22-2a+8b6+2b]，设[t=22-2a+8b6+2b]，则[2a+（2t-8）b+6t-22=0]，所以原问题等价于直线[AB]与圆[a2+b2=5]有两个交点，所以圆心到直线[2a+（2t-8）b+6t-22=0]的距离小于半径，则[6t-224+（2t-8）2<5]，解得[2<t<92]。

评注：本题先确定点[M]的轨迹方程为[a2+b2=5]，再设[t=22-2a+8b6+2b]，利用“直线与圆相交时，圆心到这条直线的距离小于半径”这一几何特征，建立不等式。

四、利用直线与圆锥曲线位置确定的判别式建立不等式

当直线与圆锥曲线有公共点时，将直线方程与圆锥曲线联立并消元，得到一个存在实数根的一元二次方程，它的判别式大于等于零，据此可以建立不等式。

［例4］已知抛物线的方程为[y2=8x]，若过点[O（-2，0）]的直线[l]与抛物线有公共点，则直线[l]的斜率的取值范围是 。

解析：依题意可知直线[l]的斜率存在，设斜率为[k]，直线[l]的方程为[y=k（x+2）]。由[y=k（x+2），y2=8x，]消去[y]并整理得[k2x2+（4k2-8）x+4k2=0]①，当[k=0]时，①可化为[x=0]，此时[y=0]，即直线[l]与抛物线相交于（0，0）。当[k≠0]时，由于直线[l]与抛物线有公共点，所以①有解，于是[Δ=（4k2-8）2-16k4=-64k2+64≥0]，即[k2-1=（k+1）（k-1）≤0]，解得[-1≤k≤1]且[k≠0]。综上所述，直线[l]的斜率的取值范围是[-1，1]。

评注：本题设出直线[l]的方程，并与抛物线方程联立，讨论[k]的取值并结合判别式求解。

五、利用圆锥曲线的几何性质和坐标特征建立不等式

圆锥曲线具有一些独特的几何性质和坐标特征，如椭圆[C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的焦半径[PF∈a-c，a+c]；若[P（x0，y0）]是椭圆上的任一点，则[-a≤x0≤a]，[-b≤y0≤b]，解题时也可以用这些性质来建立不等式。

［例5］如图3，已知[A]是圆[C：x2+y2=9]上一点，过点[A]作垂直于[x]轴的直线，垂足为[B]，点[P]满足[AB=3AP]。若点[F1（-5，0）]，[F2（5，0）]，则[1PF1+1PF2]的取值范围是 。

解析：根据题意设[P（x，y）]，所以[B（x，0）]，因为[AB=3AP]，所以[Ax，32y]。将点[Ax，32y]代入圆[C：x2+y2=9]，则点[P]满足椭圆[E：x29+y24=1]的方程，所以[1PF1+1PF2=PF1+PF2PF1PF2=2aPF12a-PF1=] [6PF16-PF1=6-PF12+6PF1=6-PF1-32+9]，又[a-c≤PF1≤a+c]，即[3-5≤PF1≤3+5]，

当[PF1=3]时，[-PF1-32+9]最大，[1PF1+1PF2]最小且为[23]；当[PF1=3-5]或[3+5]时，[-PF1-32+9]最小，[1PF1+1PF2]最大且为[32]，即[23≤6-PF1-32+9≤32]，即[23≤1PF1+1PF2≤32]，所以[1PF1+1PF2]的取值范围为[23，32]。故答案为[23，32]。

评注：本题先求出点[P]的轨迹方程，得知它的轨迹为以点[F1（-5，0）]，[F2（5，0）]为焦点的椭圆，再由椭圆的定义将[1PF1+1PF2]化简为[6-PF1-32+9]，最后结合焦半径的取值范围建立不等关系求解。

六、利用已知条件中参数取值范围建立不等式

解答“利用已知条件中参数的取值范围，求新的参数的取值范围”类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系，再利用函数思想求解。

［例6］如图4，已知抛物线[y2=2px（p>0）]，圆[x-p22+y2=1]与[y]轴相切，直线[l]过抛物线的焦点与抛物线交于[A]，[D]两点，与圆交于[B]，[C]两点（[A]，[B]两点在[x]轴的同一侧），若[AB=λCD]，[λ∈1， 4]，则弦长[AD]的取值范围为 。

解析：抛物线[y2=2px（p>0）]的焦点为[p2，0]，圆[x-p22+y2=1]的圆心为[p2，0]，半径为[1]，由于圆[x-p22+y2=1]与[y]轴相切，所以[p2=1]，[p=2]。抛物线的方程为[y2=4x]，圆[（x-1）2+y2=1]，设直线[l]的方程为[x=my+1]，由[x=my+1，y2=4x，]消去[x]并化简得[y2-4my-4=0]。

设[A（x1，y1）]，[D（x2，y2）]，不妨设[A]在第四象限，[D]在第一象限，则[y1+y2=4m]，[y1·y2=-4]，[x1+x2=m（y1+y2）+2=4m2+2]，[x1·x2=y214·y224=1]，由于[AB=λCD]，所以[AB=λCD]，则[AF-1=λDF-1]，[x1+1-1=λ（x2+1-1）]，即[x1=λx2]，则[λx22=1]，[x2=1λ]，[x1=λ]，所以[x1+x2=λ+1λ=4m2+2]，[m2=14λ+1λ-2]，函数[λ∈1，2]，根据对勾函数的性质可知，函数[y=λ+1λ]在[1，4]上单调递增，所以[λ+1λ∈2，52]，[λ+1λ-2∈0，12]，[14λ+1λ-2∈0，18]，即[m2]的取值范围是[0，18]，所以[AD=x1+x2+2=4m2+4∈4，92]。故答案为[4，92]。

评注：本题先由圆与[y]轴相切求得[p]，并设直线[l]的方程为[x=my+1]，然后根据[λ]的取值范围求得[m2]的取值范围，再利用弦长公式求得弦长[AD]的取值范围。在抛物线中，求解过焦点的弦长问题，可设出直线方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数的关系，然后利用弦长公式[d=x1+x2+p]求解。

综上，本文从六个方面探讨了解析几何中的不等关系，以此探究求解解析几何中的取值范围问题的方法路径。不难发现，无论采取哪种策略，归根到底都是几何法与代数法的应用，即若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑通过几何定义性质和相关结论来解决；若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可优先建立目标函数，再求这个函数的最值或取值范围。

（责任编辑 梁桂广）