定比点差法原理及其应用

［摘 要］定比点差法是直线参数方程的“变异”，核心思想是“设而不求”。运用定比点差法，能简化运算，优化解题过程，在解决解析几何问题中具有独特的优势。文章简述定比点差法的原理，举例分析定比点差法的具体应用，以提高学生的解题能力，发展学生的数学思维。

［关键词］定比点差法；解析几何；原理；应用

［中图分类号］ G633.6 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-6058（2024）26-0026-03

解析几何问题的题目条件中常出现类似“[AP=λPB]”的向量式，当[λ=1]时，点[P]是[AB]的中点，当[A]，[B]是动点时，点[P]的轨迹是中点弦，处理中点弦问题一般采用“点差法”。当[λ≠1]时为“非中点弦”问题，解决此类问题需根据线段的比值进行处理，所以该问题也称为定比分点问题，由此出现了“定比点差法”。定比点差法是点差法的一般推广。下面探究定比点差法的原理，及其在解析几何问题中的应用。

一、定比点差法的原理

（一）线段定比分点向量公式及坐标公式

已知[AP=λPB]（[λ≠-1]），则点[P]为有线段[AB]的定比分点，设[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]，[O]为平面上的任意一点，则[OP=OA+λOB1+λ]，[ Px1+λx21+λ，y1+λy21+λ]。

证明：设[P（x0，y0）]，则[AP=（x0-x1，y0-y1）]，[λPB=λ（x2-x0，y2-y0）]，因为[AP=λBP]，所以[x0=x1+λx21+λ]，[y0=y1+λy21+λ]，即[Px1+λx21+λ， y1+λy21+λ]，故[OP=OA+λOB1+λ]。

（二）定比点差法的由来

（1）若点[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]在椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]上，且点[P（x0，y0）]满足[AP=λPB]，则[x21a2+y21b2=1]，[x22a2+y22b2=1]，即[b2x21+a2y21=a2b2，b2x22+a2y22=a2b2，]于是有[（b2x21+a2y21）-λ2（b2x22+a2y22）=（1-λ2）a2b2]，整理得[b2（x1-λx2）·x1+λx21+λ+a2（y1-λy2）·y1+λy21+λ=（1-λ）a2b2]，即[x0·x1-λx21-λa2+y0·y1-λy21-λb2=1]①。

（2）若点[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]在双曲线[x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]上，且点[P（x0，y0）]满足[AP=λPB]，则[x21a2-y21b2=1]，[x22a2-y22b2=1]，即[b2x21-a2y21=a2b2，b2x22-a2y22=a2b2，]于是有[（b2x21-a2y21）-λ2（b2x22-a2y22）=（1-λ2）a2b2]，整理得[b2（x1-λx2）·x1+λx21+λ-a2（y1-λy2）·y1+λy21+λ=（1-λ）a2b2]，即[x0·x1-λx21-λa2-y0·y1-λy21-λb2=1]②。

（3）若点[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]在抛物线[y2=2px（p>0）]上，且点[P（x0，y0）]满足[AP=λPB]，则[y21=2px1，y22=2px2，]于是有[y21-λ2y22=2p（x1-λ2x2）]，两边同时除以[1-λ2]变形得[y1+λy21+λ·y1-λy21-λ=px1+λx21+λ+x1-λx21-λ]，即[y0·y1-λy21-λ=px0+x1-λx21-λ] ③。

通过上述三个表达式①②③的推导过程不难发现，定比点差法是点差法的一般推广。

二、定比点差法的初步应用

（一）应用定比点差法求直线方程

［例1］已知椭圆[C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]，[F1]，[F2]分别是椭圆[C]的左、右焦点，焦距为[2]，过点[F2]作一条直线，分别与椭圆[C]相交于[A ， B]两点，且[△ABF1]的周长为[42]。（1）求椭圆[C]的标准方程；（2）若[AB=4F2A]，求直线[AB]的方程。

解析：（1）椭圆[C]的标准方程为[x22+y2=1]，过程略。

（2）由[AB=4F2A]，得[AF2=13F2B]。设[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]，得[F23x1+x24，3y1+y24]，又[F2（1，0）]，∴[3x1+x2=4，3y1+y2=0。]由点[A]，[B]在椭圆上，得[9x21+18y21=18，x22+2y22=2，]两式作差得[（3x1+x2）（3x1-x2）+2（3y1+y2）（3y1-y2）=16]，∴[4（3x1-x2）=16 ]，∴[3x1-x2=4]，联立[3x1+x2=4]，解得[x1=43]，又[x212+y21=1]，解得[y1=±13]，∴[A43，±13]，∴[kAF2=±1]，∴直线[AB]的方程是[y=x+1]或[y=-x+1]。

评注：通过平面向量共线定理以及向量数乘的几何意义，不难得到[AF2=13F2B]，这属于“非中点弦”问题，故考虑用定比点差法求解。

（二）应用定比点差法求弦长

［例2］已知直线[l]与抛物线[y2=3x]的交于[A]，[B]两点，与[x]轴交于点[P]，直线[l]的斜率为[32]，若[AP=3PB]，求[AB]。

解析：设[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）][B（x2，y2）]，[P（x0，0）（x0>0）]，由[AP=3PB]，得[Px1+3x24，y1+3y24]，所以[x1+3x2=4x0，y1+3y2=0。]因为点[A]，[B]在抛物线上，则[y21=3x1，9y22=27x2，]两式相减可得[（y1+3y2）（y1-3y2）=3（x1-9x2）]，因[y1+3y2=0]，故[x1-9x2=0]，联立[x1+3x2=4x0]，得[x1=3x0]。又[y1x1-x0=32]，则[y1=3x0]，由[y21=3x1]，可知[9x20=9x0]，即[x0=1]，所以[AP=1+94x1-x0=13]，所以[AB=43AP=4313]。

评注：由已知条件[AP=3PB]不难发现，该问题可用定比点差法求解，由此得到点[A]的横坐标[x1=3x0]，再利用[kAP=32]，得到[y1=3x0]，利用抛物线方程得到[x0=1]，求出[AP]，最后由[AB=43AP]得出答案。

［变式］已知椭圆[C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]过点[P（2，1）]，离心率为[e=22]。（1）求椭圆[C]的方程；（2）当过点[M（4，1）]的动直线与椭圆[C]相交于不同的两点[A，B]时，在线段[AB]上取点[N]，满足[AM=-λMB]，[AN=λNB]，求线段[PN]长的最小值。

解析：（1）椭圆[C]的方程为[x24+y22=1]，过程略。

（2）设[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]，[N（x，y）]，

由[AM=-λMB]，[AN=λNB]，得[4=x1-λx21-λ，1=y1-λy21-λ，] [x=x1+λx21+λ，y=y1+λy21+λ，]∴[4x=x21-λ2x221-λ2]，[y=y21-λ2y221-λ2]，

又[x21+2y21=4]，[x22+2y22=4]，∴[4x+2y=4-4λ21-λ2=4]，∴点[N]在直线[2x+y-2=0]上，

∴[PN最小=22+1-222+1=22-15=210-55]。

评注：变式的第（2）问由定比分点公式化简得[N]点的轨迹方程，由点到直线的距离公式求解，大大减少了运算量，使原本复杂的问题变得简单，解题过程显得更简洁。

（三）应用定比点差法求椭圆方程

［例3］已知椭圆[C]：[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的右焦点为[F（1，0）]，点[A]，[B]是椭圆[C]上关于原点对称的两点，其中点[A]在第一象限内，射线[AF]，[BF]与椭圆[C]的交点分别为[M]，[N]。（1）若[AF=FM]，[BF=2FN]，求椭圆[C]的方程；（2）若直线[MN]的斜率是直线[AB]的斜率的2倍，求椭圆[C]的方程。

解析：（1）因为[AF=FM]，由椭圆的对称性知[AM⊥x]轴，[AM]过右焦点[F（1，0）]，故[A1，b2a]，[M1，-b2a]，[B-1，-b2a]，则[BF=2，b2a]，设[N（xN，yN）]，有[FN=（xN-1，yN）]，由[BF=2FN]，可得[2=2（xN-1），b2a=2yN，]解得[N2，b22a]，代入椭圆方程得[4a2+1b2·b44a2=1]，解得[b2+16=4a2]，所以[a2-1+16=4a2]，即[a2=5]，所以[b2=a2-c2=4]，故椭圆的方程为[x25+y24=1]。

（2）设[A（x0，y0）]，[B（-x0，-y0）]，令[FM=λAF=λ（1-x0，-y0）]，则[M（1+λ-λx0，-λy0）]，

代入椭圆方程得[（1+λ-λx0）2a2+（-λy0）2b2=1]，即[（1+λ）2-2λ（1+λ）x0+λ2x20a2+λ2y20b2=1]，

又[x02a2+y02b2=1]，所以[（1+λ）2-2λ（1+λ）x0a2+λ2=1]，化简得[（1+λ）-2λx0=a2（1-λ）] ①，同理，令[FN=μBF]，解得[N（1+μ+μx0]，[μy0]），代入椭圆方程得[（1+μ）+2μx0=a2（1-μ）] ②，由题知[yM-yNxM-xN=（-λy0）-（μy0）（1+λ-λx0）-（1+μ+μx0）=2·y0x0]，解得[x0（λ+μ）=2（λ-μ）]③，①[-]②得[（λ-μ）-2x0（λ+μ）=a2（μ-λ）]，将③式代入得[（λ-μ）-4（λ-μ）=a2（μ-λ）]，故[a2=3]，所以椭圆的方程为[x23+y22=1]。

评注：本题考查向量在椭圆中的应用以及直线与椭圆的位置关系，解答本题第（2）问的关键是设[FM=λAF]，得出[M（1+λ-λx0，-λy0）]，将其代入椭圆方程可得[（1+λ）-2λx0=a2（1-λ）]，同理设[FN=μBF]，可得[（1+μ）+2μx0=a2（1-μ）]，由直线[MN]的斜率是直线[AB]的斜率的2倍可得[x0（λ+μ）=2（λ-μ）]，联立可得解。

（四）应用定比点差法求离心率

［例4］已知椭圆[E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]内有一点[M（2，1）]，过[M]的两条直线[l1]，[l2]分别与椭圆[E]交于[A，C]和[B，D]两点，且满足[AM=λMC]，[BM=λMD]（其中[λ>0]且[λ≠1]），若[λ]变化时直线[AB]的斜率总为[-12]，则椭圆[E]的离心率为 。

解析：设[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]，[C（x3，y3）]，[D（x4，y4）]，由[AM=λMC]可得，[（2-x1，1-y1）=λ（x3-2，y3-1）]，所以[x1+λx3=2+2λ，y1+λy3=1+λ，]同理可得：[x2+λx4=2+2λ，y2+λy4=1+λ，]于是[x1+x2+λ（x3+x4）=4（1+λ），y1+y2+λ（y3+y4）=2（1+λ），]将点[A]，[B]的坐标代入椭圆方程做差可得[y1-y2x1-x2=-b2a2×x1+x2y1+y2]，即[-12=-b2a2×x1+x2y1+y2]，整理可得[a2（y1+y2）=2b2（x1+x2）]，同理可得，[a2（y3+y4）=2b2（x3+x4）]，两式相加可得[a2（y1+y2）+（y3+y4）=2b2（x1+x2）+（x3+x4）]，故[2（y1+y2）+λ（y3+y4）=1（x1+x2）+λ（x3+x4）]，据此可得[a22=2b21]，由[b2=a2-c2]得[a22=2（a2-c2）]，所以椭圆离心率[e=32]。

评注：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，利用定比点差法可以得到一个关于[a，b，c]的齐次式，进而结合[b2=a2-c2]转化为[a]，[c]的齐次式，然后分别除以[a2]转化为关于[e]的方程，解方程求得离心率[e]。

［变式］已知椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]，过其左焦点[F]且斜率为[3]的直线与椭圆交于[A ， B]两点，若[AF=2FB]，求椭圆的离心率。

解析：设[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]，由[AF=2FB]得[Fx1+2x23， y1+2y23]，由[F（-c，0）]得[x1+2x2=-3c，y1+2y2=0。]由点[A]，[B]在椭圆上，则[b2x21+a2y21=a2b2，4b2x22+4a2y22=4a2b2，]两式作差得[b2（x1+2x2）（x1-2x2）+a2（y1+2y2）（y1-2y2）=-3a2b2]，所以[-3b2c（x1-2x2）=-3a2b2]，[x1-2x2=a2c]，联立[x1+2x2=-3c]，得[x1=a2-3c22c]，又[y1x1+c=3]，所以[y1=3b22c]，于是有[b2a2-3c22c2+a23b22c2=a2b2]，整理得[4a4-13a2c2+9c4=0]，两边都除以[a4]，得[9e4-13e2+4=0]，解得[e=23]或[e=1]，又[0<e<1]，所以[e=23]。

评注：不难发现，处理焦点弦问题时，与联立直线与曲线方程法相比，定比点差法运算量小、过程更简洁。

综上，定比点差法是利用圆锥曲线上两点坐标之间的联系与差异，通过代点、扩乘、作差来解决相应的解析几何问题，特别当题设出现定点、线段成比例等条件时，定比点差法能简化运算、优化解题过程，具有独特的优势。

（责任编辑 梁桂广）