巧用特殊法 速解选填题

［摘 要］数学选择题与填空题以其题目小巧、命题角度灵活、知识覆盖面广的特点，而成为各级考试的必考题型。由于这两类题型不用写解题过程，因此可以运用特殊法来解答，避免“小题大做”。文章通过几个例题，从五个方面探析了特殊法在选择题与填空题中的应用策略，旨在帮助学生在考试中规避烦琐的计算与推证过程，从而能够简便快捷地得出正确答案。

［关键词］特殊法；选择题，填空题

［中图分类号］ G633.6 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-6058（2024）26-0020-03

数学选择题与填空题以其题目小巧、命题角度灵活、知识覆盖面广的特点，而成为各级考试的必考题型。由于这两类题型不用写解答过程，因此可以运用特殊法来解答，避免“小题大做”。特殊法的解题原理体现在两个方面：如果一个命题在特殊情况下被证明是错误的，那么它在一般情况下必定错误；如果一个命题在一般情况下正确，那么在特殊情况下必正确。这种解法充分体现了“特殊”与“一般”的辩证关系。常用的特殊法包括取特殊点、取特殊线段、取特殊图形、取特殊值、取特殊位置、取特殊方法等。这些方法将问题的一般情形转化为特殊情形，从而探求解题途径，避免烦琐的计算与推证过程，达到简便快捷地得到答案的目的。

一、取特殊点

［例1］如图1，已知[△ABC]内接于半径为[r]的半圆内，直径[AB]为其一边，设[AC+BC=S]，则有（ ）。

A. [S2≤8r2]

B. [S2≥8r2]

C. [S2≤6r2]

D. [S2≥6r2]

分析：根据[△ABC]内接于半径为[r]的半圆，得点[C]是弧[AB]上的任一点，既然这样，点[C]可以是弧[AB]的三等分点或中点。当点[C]是弧[AB]的中点时，可以求得[AC]、[BC]的长，从而求得[S2]的值；当点[C]是弧[AB]的三等分点时，同样可以求得[AC]、[BC]的长，从而求得[S2]的值，进而确定本题答案。

解：当点[C]是弧[AB]右侧三等分点时，因为[AB]是直径，所以[∠ACB=90°]，[∠CAB=30°]，因为[AB=2r]，所以[AC=3r]，[BC=r]，因为[S=AC+BC]，所以[S=（1+3）r]，[S2=（1+3）r2=（4+23）r2<8r2]；当点[C]是弧[AB]的中点时，因为[AB]是直径，所以[∠ACB=90°]，[∠CAB=45°]，因为[AB=2r]，所以[AC=BC=2r]，因为[S=AC+BC]，所以[S=22r]，[S2=22r2=8r2]，故本题选A。

评注：本题在解答过程中取了两个特殊点，即点[C]是弧[AB]的三等分点或中点，只需根据含30度的直角三角形的性质与等腰直角三角形的性质，求得[AC]和[BC]的长，进行计算即可，大大降低了思维量。通过取特殊点，化不确定的量为确定的量，使得解题更有针对性。

二、取特殊线段

［例2］如图2，[△ABC]中，[AB=AC=2]，[BC]边上有100个不同点[P1NQzG7QWqIE7AR3vyQiEHYQ==]，[P2]，…，[P100]，记[mi=APi2+BPi×PiC]（[i=1]，2，3，…，100），则[m1+m2+…+m100=] 。

分析：根据点[P]是边[BC]上的任意点，线段[AP]是任意线段，所以可以取线段[AP]为三角形[ABC]底边上的高，这样可以利用等腰三角形的性质得到直角三角形[ABD]，从而利用勾股定理求解。

解：如图3，取[AP]为等腰三角形[ABC]的特殊线段，即底边上的高[AD]，由“等腰三角形三线合一”得[BP=BD=PC=DC]，因为[mi=APi2+BPi×PiC]，所以[mi=AD2+BD2]，因为[△ABD]是直角三角形，[AB=AC=2]，由勾股定理得[AD2+BD2=AB2=4]，所以[m1+m2+…+m100=100×4=400]。故答案为400。

评注：本题将[AP]取为特殊线段，利用勾股定理求得了结果。当命题在一般情况下成立时，在特殊情况下也成立，所以根据特殊情况求得的结果也是正确的。如果不取特殊线段，那么根据勾股定理得[AP2i=AD2+DP2i=AD2+（BD-BPi）2=AD2+BD2-2BD·BPi+BP2i]，又∵[PiB·PiC=PiB·（BC-PiB）=2BD·BPi-BP2i]，∴[mi=AD2+BD2=AB2=4]，∴[m1+m2+…+m100=4×100=400]。但这样的解题过程不易理解。

三、取特殊图形

［例3］如图4，过[△ABC]内任一点[P]，作[DE]∥[BC]，[GF]∥[AC]，[KH]∥[AB]，则[DEBC+GFAC+KHAB=]（ ）。

A. 1

B. [43]

C. 2

D. [83]

分析：既然[△ABC]是任意三角形，那么可以取等边三角形这一特殊图形，既然点[P]是三角形[ABC]内任一点，那么可以取点[P]是三角形[ABC]的中心，等边三角形的中心就是它的重心，根据三角形重心的性质可以分别求得[DEBC，GFAC，KHAB]的值，从而求得它们的和。

解：如图5，取[△ABC]为等边三角形，取点[P]为等边三角形[ABC]的中心，过点[P]作射线[AP]交[BC]于点[M]，则[AM]是[△ABC]的中线，因为点[P]是三角形[ABC]的中心，所以[AP]∶[AM] = 2∶3，因为[DE]∥[BC]，所以[AD]∶[AB] = [AP]∶[AM] = 2∶3，所以[DE]∶[BC] = [AD]∶[AB] = 2∶3，因为[GF]∥[AC]，[KH]∥[AB]，同理可得[GF]∶[AC] = 2∶3，[HK]∶[AB] = 2∶3，所以[DEBC+GFAC+KHAB=23+23+23=2]。故本题选C。

评注：本题取等边三角形这一特殊图形，利用三角形重心的性质分别求得三个比的值。如果不取特殊图形，只利用三组平行线解答问题，则不能求得三个比的值，需要利用相似三角形和平行四边形的性质与判定，进行比例与线段的转化，将三个比转化为同分母分式才能相加得到结果。

四、取特殊值

［例4］下列关于二次函数[y=ax2-2ax+1]（[a>1]）的图象与[x]轴交点的判断，正确的是（ ）。

A.没有交点

B.只有一个交点，且它位于[y]轴右侧

C.有两个交点，且它们均位于[y]轴左侧

D.有两个交点，且它们均位于[y]轴右侧

分析：二次函数的表达式里有一个参数[a]，不易确定根的判别式[b2-4ac]的正负号，也不易确定与[x]轴交点的横坐标的符号，此时可以根据[a]的取值范围[a>1]，选取一个确定的[a]值，然后分别计算根的判别式的值及图象与[x]轴的交点坐标，从而确定正确选项。

解：因为[a>1]，我们取[a=2]，则二次函数为[y=2x2-4x+1]，因为[Δ=（-4）2-4×2×1=8>0]，所以二次函数的图象与[x]轴有两个交点，当[y=0]时，[2x2-4x+1=0]，[x=4±84=2±22]，所以二次函数的图象与[x]轴的两个交点坐标为[2+22，0]和[2-22，0]，因为[x1=2+22>0]，[x2=2-22>0]，所以二次函数的图象与[x]轴的两个交点均在[y]轴右侧，故选D。

评注：本题如果不取特殊值，用参数[a]代入计算，那么[Δ=4a2-4a]，[x=2a±4a2-4a2a]，不易看出正负号。而取特殊值，通过计算可以直观地看出根的判别式的符号以及与[x]轴交点的横坐标的符号，方便快捷。

五、取特殊位置

［例5］如图6，在[△ABC]中，[AB=AC=5]，[BC=2]。在[BC]边上有100个不同的点[P1]，[P2]，[P3]，…，[P100]，过这100个点分别作[△ABC]的内接矩形[P1E1F1G1]，[P2E2F2G2]，…，[P100E100F100G100]，设每个矩形的周长分别为[L1]，[L2]，…，[L100]，则[L1+L2+…+L100=] 。

分析：虽然[△ABC]的内接矩形[P1E1F1G1]，[P2E2F2G2]，…，[P100E100F100G100]分别是不同的矩形，但是它们是任意内接矩形，所以可以设定点[E1]、[F1]处于特殊位置，即设定它们分别是[AB]、[AC]的中点，然后让其他矩形与这个特殊位置的矩形无限接近，直至重合，这样它们的周长就相等，从而求得它们的周长和。

解：取点[E1]、[F1]分别是[AB]、[AC]的中点，过点[A]作[AH⊥BC]于点[H]，所以[E1F1]是[△ABC]的中位线，所以[E1F1=12BC=12×2=1]。因为[E1F1G1P1]是[△ABC]的内接矩形，所以[E1P1]∥[AH]，所以[P1]是[BH]的中点，所以[E1P1=12AH]。因为[AB=AC=5]，[BC=2]，所以[BH=1]。在Rt[△ABH]中，由勾股定理得[AH=（5）2-12=2]，所以[E1P1=1]，所以矩形[E1F1G1P1]的周长[=2×（1+1）=4]，当其他99个内接矩形与矩形[E1F1G1P1]无限接近直至重合时，这99个矩形的周长也等于4，所以这100个内接矩形的周长和为[400]。

评注：本题利用特殊位置求得其中一个矩形的周长，同时让其他矩形与它重合，从而求得它们的周长和，这就是特殊法给解决问题带来的便捷：化不确定为确定，化无限为有限，让数据看得清清楚楚。

六、取特殊方法

［例6］如图7，在Rt[△ABC]中，[∠ACB=90°]，[AC=3]，[BC=4]，[CD⊥AB]，垂足为[D]，[E]为[BC]的中点，[AE]与[CD]交于点[F]，则[DF]的长为 。

分析：点[F]显然是直线[CD]与直线[AE]的交点，将直角三角形[ABC]放入平面直角坐标系中，可以求得两条直线的表达式，解方程组可求得交点[F]的坐标，从而求得[CF]的长，[CD]的长可应用三角形面积公式求得，从而求得[FD]的长。

解：如图8，以点[C]为原点，以[AC]所在的直线为[x]轴建立平面直角坐标系，因为[AC=3]，[BC=4]，所以点[A]的坐标为（3，0），因为点[E]是[BC]的中点，所以点[E]的坐标为（0，2），设直线[AE]的表达式为[y=ax+b]，则[3a+b=0，b=2，]解得[a=-23]，[b=2]，所以直线[AE]的表达式为[y=-23x+2]，因为[∠DCA+∠BCD=90°]，[∠ABC+∠BCD=90°]，所以[∠DCA=∠ABC]，所以[tan∠DCA=tan∠ABC=34]，所以直线[CD]的表达式为[y=34x]，联立直线[AE]、[CD]的表达式，得[y=-23x+2，y=34x，]解得[x=2417]，[y=1817]，所以[CF=24172+18172=3017]，由[CD·AB=BC·AC]得[CD=125]，所以[FD=125-3017=5485]。

评注：建立直角坐标系用于解决数学问题，常见于在处理直角三角形、矩形或正方形中的线段问题，所涉及的知识点包括：当两直线平行时，它们的比例系数[k]相等；当两直线互相垂直时，它们的比例系数[k]的乘积为-1；使用两点距离公式；中点坐标公式；根据直线与[x]轴夹角的正切值求直线表达式。

综上，在运用特殊法解决问题时，我们需要注意所选取的数值、图形或位置等必须符合条件，且这些特例应易于计算。一般而言，特例取得越简单、越特殊，越能高效解决问题。用特殊法解决问题，体现了“特殊”与“一般”之间的辩证关系。因此，它的正确性毋庸置疑，同时它的方便快捷性也需要大家在应用过程中慢慢体会。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 陈丽.巧用特殊法，速解选择题[J].语数外学习（初中版），2022（2）：32-33.

[2] 王静.另辟蹊径解答数学选择题[J].中学数学教学参考，2022（3）：77-78.

[3] 徐旭侃.巧用尝试检验 妙解填空选择[J].中小学数学（初中版），2021（5）：29-30.

[4] 王晖.巧用特殊法 妙解选择题[J].中学数学杂志，2016（5）：49-51.

（责任编辑 黄春香）