联想导数运算法则 巧设可导函数解题

函数作为整个数学学科知识体系中的重要组成部分，反映了客观世界两个集合之间的对应关联。导数作为研究函数性质的有力工具，能够应用于函数单调性、最值、极值、切线等知识中。使用导数巧妙解答函数题目已成为考查同学们对函数与导数不等式相关知识点的常见题型，能够多层次全面地考查同学们对所学知识点的综合应用能力，锻炼同学们的数学逻辑推理思维，并培养大家的数学学科核心素养。

一、联想和、差函数的导数运算法则

例1 函数f（x），g（x）连续，且在区间（a，b）内可导，在f'（x）

A.f（x）>g（x）

B.f（x）<g（x）

C.f（x）+g（a）<g（x）+f（a）

D.f（x）+g（b）<g（x）+f（b）

解析：题中给出的已知条件f'（x）<g'（x），能够让我们在解题时自然地联想到差函数的导数运算法则[f（x）-g （x）]' =f'（x）-g'（x）。

所以可以根据题目构造函数h （x）=f（x）-g（x），则h'（x）=[f（x）-g（x）]'=f'（x）-g'（x）。

已知f'（x）<g'（x），因此h'（x）=[f（x）-g（x）]'=f'（x）-g'（x）<0，函数h（x）在区间[a，b]内单调递减。因此，当x∈（a，b）时，h（b）<h（x）<h（a），转换可得f（b）-g（b）<f（x）-g（x）<f（a）-g（a），通过移项整理可得f（x）+g（a）<g（x）+f（a），C 选项正确，而f （x ）+g （b）>g（x）+f（b），说明D选项错误。

例2 已知函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，假设任意x∈R，f'（x）>2恒成立，则f（x）>2x+4的解集为（ ）。

A.（-1，1） B.（-1，+∞）

C.（-∞，-1） D.（-∞，+∞）

解析：导数f'（x）的正负值，将与f（x）函数的单调性密切关联，那么题目中的f'（x）>2到底代表什么？ 结合题目给出的结论f（x）>2x+4，可以构造函数g（x）=f（x）-2x-4。

故不等式f（x）>2x+4⇔g（x）>0。由于题目已知条件f'（x）>2，可得g'（x）=f'（x）-2>0，g（x）函数在R 上单调递增。

再加上f（-1）=2，可得g （-1）=f（-1）+2-4=0。因此，f（x）>2x+4⇔g（x）>g（-1）⇔x>-1，B选项正确。

题干中给出条件f'（x）>2，和最终结论f（x）>2x+4之间呈结构特征密切关联，同学们求解时容易联想函数g（x）=f（x）-2x-4的单调性。

二、巧设“y=f（x）±g（x）”型可导函数

在数学题目所给出的条件内存在或经过变形呈现f'（x）±g'（x）的情况，可以逆用f'（x）±g'（x）=[f（x）±g（x）]'，构造可导函数h（x）=f（x）±g（x），并利用此函数性质解决函数问题。

例3 假设奇函数f（x）是定义域为R的可导函数，当x>0时，f'（x）+cos x<0，那么当x≤0时，（ ）。

A.f（x）+sin x≥f（0）

B.f（x）+sin x≤f（0）

C.f（x）-sin x≥f（0）

D.f（x）-sin x≤f（0）