跨学科视域下数学留白创造式教学的内涵与策略*

摘 要：跨学科背景下，数学教学应鼓励学生多角度发散性提出问题、分析问题和解决问题，指向学生创新意识的培养。研究结合数学教育中跨学科学习的学科意蕴，分析留白创造式教学的内涵。基于内涵分析，思考留白创造式教学的深化策略：以数学学科逻辑为基础，创设跨学科情境，在情境设计处留白，凸显学科性;整合教材中的阅读材料，在“问题—对话”处留白与布白;设计结构不良问题，在解决问题（方法运用）处留白;融合阶段性评价和过程性评价，在评价任务设计处留白，关注教学评一致性，以培育学生的创新意识为目标指向。

关 键 词：跨学科教学;创新意识;留白创造式教学;高中教学;探究式教学

引用格式：李亚琼，宁连华，黄贤明.跨学科视域下数学留白创造式教学的内涵与策略[J].教学与管理，2024（27）：83-87.

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称2020课标）中提到：高中数学课程以学生发展为本，落实立德树人根本任务，培育科学精神和创新意识，从而提升学科核心素养[1]。《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称2022课标）提出：创新意识是数学核心素养之一，创新意识主要指主动尝试从日常生活、自然现象或科学情境中发现和提出有意义的数学问题……勇于探索开放性的、非常规的实际问题与数学问题[2]。这里，“创新”是一种意识，表现为主动去探索、发现的心理倾向，一种积极的态度[3]。如何培养学生的创新意识，是数学教育研究的重要课题。

跨学科教学日益受到教育界的关注，2022课标要求各个学科开展不低于百分之十课时的跨学科学习，跨学科研究的价值不言而喻。本研究基于跨学科的学科意蕴，思考留白创造式教学的内涵、关键及深化策略，指向学生创新意识的培养。

一、数学教育中跨学科学习的学科意蕴

伴随着学科的分化，学科间呈现出一定的渗透性，其界限慢慢模糊并朝着综合化方向发展，跨学科的现象便应运而生。1926年，哥伦比亚大学心理学家伍德沃思（Woodworth）公开使用“跨学科”（interdisciplinary）一词。1986年，联合国教科文组织召开首次跨学科会议，“跨学科”作为一种思维方式在教育领域得到重视。2005年，美国发布《促进跨学科研究》报告，对跨学科概念、本质、评估等问题进行了分析[4]。自此，“跨学科”概念得到不断的丰富与发展。2022课标中“跨学科”的出现，也凸显数学教育对跨学科研究的积极回应，于是对数学教育中跨学科内涵的思考显得尤为重要。

1.数学知识观是跨学科的逻辑基础

从知识整合的视角提出跨学科学习是学习者创造性地联结多个学科知识，并基于学科本质进行多维整合的过程[5]。数学问题的探究中，教师应引导学生从发现与创造的视角看待数学知识，学生仅为数学知识的学习者和接受者，也是数学知识的发现者和创造者[6]。结合数学教育的特点，数学知识观强调数学知识科学性与人文性、建构性与开放性。所以，数学学习需要借助跨学科体验和探究去促进对数学知识的理解，需要从学生学习知识的心理特征入手，揣摩学生理解知识的认知过程。数智时代下的数学知识观，需要凸显数学的人文和科学的特点、数学知识的发现性与发明性特点及数学知识的开放性和模糊性等不确定特征，借助跨学科载体，引导学生形成跨学科思维和创新意识。

2.跨学科学习中的数学学科立场

跨学科学习是整合两种或者两种以上学科特点、学习方式或思维方式以解决问题，过程中借助学科融合、学科整合助推学科间相互影响。所以，跨学科不是解构原学科，而是借助学科间的相互借鉴与整合，促进本学科知识的深度理解。海蒂（Heidi）等人认为，跨学科必须要有扎实的学科导向[7]。跨学科学习需要基于学科视角，将知识置于不同情境下，同时又要借助其他学科对本学科进行批判性反思，从而得到对本学科知识的解构和建构。

跨学科视域下的数学学习，应是基于学科特点寻找不同学科思维的融合方式，在学科间交叠的范围内设计“情境—问题”;设计真实问题情境，消弱学科间的刚性边界，关注知识联结和迁移运用，实现数学和其他学科间的统整，旨向培养学生的问题解决能力;在数学学科知识主导其他学科知识辅助下，形成教育合力，丰富学生的学习资源，拓展学生的学科视野，关注跨学科思维的培养。

3.学科素养和创新意识是跨学科的育人指向

素养导向下的数学课程聚焦数学知识及数学本质的理解，指向批判性思维和创新意识的培养。因此，需要基于学生的学习进阶及差异化更新理解数学教学，加强数学与现实世界以及其它学科的联系，在数学学习结果之外能更多地注重数学思考的过程，从而更好地发展学生的学科素养，真正做到将“创新意识体现在数学教与学的过程之中”[8]。学生基于已掌握的学科知识结构，逐渐逼近学科本质，在进行跨学科问题解决时，才有可能实现本学科知识与跨学科知识的融合及知识的迁移，此时跨学科学习才会发生。基于学科立场的跨学科学习能够产生深层次的学习效果，从而指向培养学科素养和创新意识。

二、跨学科视域下数学留白创造式教学的内涵与关键

跨学科视域下，留白创造式教学在发展学生创新意识的道路上发挥着独特的作用与价值。研究性教学、探究式教学及留白创造式教学都指向学生创新意识及创造能力的培养。

1.从研究性教学、探究式教学到留白创造式教学

关于创新意识和创造能力培养的问题一直是基础教育关注的热点。数学教学中，学生在教师指导下，以类似科学研究的方式获取知识和应用知识的学习过程，便是研究性学习。研究性学习重视学习的过程性，其成果不一定是有“形”的、量化的（蕴含开放性、留白式），强调“创造”不仅仅是行为、能力和方法，更是一种意识、态度和观念[9]。数学教学中，需要借助数学体验和数学探究去理解数学知识，需要从学生学习知识的心理特征入手，揣摩学生理解知识的认知过程[10]。因此，数学探究式教学更重视学生自主探究与建构知识。教师通过创设一种包容的、支持性的“学习文化”来呵护学生的自主性，教师通过鼓励学生质疑以及亲自参与讨论来引发认知冲突从而促使知识内化，基于认知经验将学生的知识建构与观念一致起来[11]。所以研究性教学和探究式教学都强调学生的过程参与式体验，蕴含开放式的学习观和知识建构观。

汪晓勤教授基于数学史上的留白与创新进行研究[12]，以数学史为视角对“留白创造式”教学进行探索[13]。汪教授提及，课堂常见的留白形式有陈述之白、方法之白、论证之白、发现之白、问题之白、超越之白[14]。荷兰数学教育家弗赖登塔尔（H.Freudenthal）在《作为教育任务的数学》中指出，数学学习的过程是“再创造”的过程[15]，其强调学生在教师留白之后进行补白的过程。课堂教学中的留白，是指教师基于学生的学习进阶及教学目标，在教学过程中有意识地留出恰当的时间和空间，引发学生理解并运用、发现、创造知识的一种教学理念与教学策略。

所以，留白创造式教学是基于学生的学习进阶及育人目标，为学生学习留下充分的思维空间与探究机会，基于学生的认知起点引发认知冲突，使得学生主动参与体验，发现问题、提出问题、解决问题的过程[16]。基于此，留白创造式教学更需要关注学生的学习进阶，考虑学生学习的差异化，这本身是对数学学习的一种超越。留白创造式教学蕴含数学学习的进阶性，指向学生创造意识的培养。由此，从研究性教学、探究式教学到留白创造式教学均有共同的价值指向，即关注学生的学习进阶及认知起点，遵循数学知识的内部逻辑，引导学生主动参与数学探究的教学方式，最终指向学生创新意识及创造能力的培养。

2.跨学科视域下数学留白创造式教学的内涵

基于留白创造式教学的价值指向，梳理跨学科视域下留白创造式教学的内涵：以教学陌生化为前提;把握留白的“度”“时机性”和“开放性”。

（1）留白创造式教学的前提：教学陌生化

如何进行留白教学以至于能激发创造性，涵养出学生的创造意识，这其实对教师提出较高的要求。数字信息化时代，各种新教学方式的探索，首先需要考虑的是教师能否做到。怀特海（Alfred North Whitehead）在《教育的目的》中提及，教师要用充满想象力的方式来进行知识教授[17]。充满想象力的教学应指向培养学生的想象力和学习兴趣，这便蕴含“留白”。教学不是以一种博学者的姿态对眼中一无所知者的恩赐[18]，充满想象力的方式需要教师设计情境引导学生抽象出数学问题，当学生提出自己的想法时，教师也应重新思考自己原先的想法。教学中，教师与学生一起创造条件，让创新意识涌现出来，对现实进行批判性干预[19]，此时教师需要拥有一种“陌生化”的信念。从教学论的角度来看，“陌生化”需要教师调整教学中的经验思维、思维定式和认知局限等弊端，释放审美疲劳，试图激发学生的学习兴趣[20]。数学教学的创造性不仅仅是引导学生发现已有知识，更体现在对已有的知识提出质疑，解构到再构的过程。

（2）留白教学的创造性体现在：“度”“时机性”和“开放性”

留白教学指向培养学生的创新意识和学科素养，其创造性应体现在：留白与布白的度的把握;留白与补白的时机性;留白教学情境设置的开放性。课堂教学中的留白与布白是指教师留给学生思考的空间和余地，这个需要把握留白的程度（深浅度），教师应在知识发展的关键点处进行留白。真正的发现创造是在接受前人的经验基础之上的[21]，学生的学习不可能是不着边际的发现式学习，极端的“开放性学习”“自由式学习”并不能提高学习质量。留白蕴含引发学生主动地发现和揭秘，其通过巧妙地留白，期待学生去补白，同时也蕴涵新的留白。留白是设置冲突的过程，补白是走向和谐的过程，同时也暗藏新的留白，在冲突与和谐中，产生教学和学习价值，这便蕴含时机性。这个时机便是引导学生发现问题、提出问题、解决问题，从而建构知识的过程。这个时机应循着数学知识的学科逻辑和学生的学习进阶去把握。教学中的留白蕴含一种关系性存在，其需要通过开放性创设真实情境，引出问题，为留白创造合适的“场域”，才可以不断地激发学生的想象力和知识迁移能力。

3.跨学科视域下数学留白创造式教学的关键

跨学科视域下的留白教学需要关注，基于数学学科逻辑在跨学科情境设计处留白;在“问题—对话”处留白;在解决问题（方法运用）处留白;在评价任务设计处留白。

（1）在情境设计处留白

跨学科视域下，教师需要基于学生已有的学科或跨学科基础，设置跨学科情境，在能产生学生疑惑处设置留白，学生需要基于疑惑进行数学抽象，从而提出问题，这一过程便蕴含思考和创新。教师创造机会为学生留下“情境与问题表达之白”。比如，从数学的学科视角来看，中国古代的“三分损益法”与毕氏的“五度相生律”有什么异同。在音乐与数学的学科交叉处设计问题情境，引导学生深度思考：为什么要用十二平均律来构成音阶[22]。在恰当处引导学生用等比数列、连分数等知识来解释，也可以结合数学、音乐知识做进一步的融合思考，让学生借助音乐的情境加深对数学知识的再理解。据《史记·律书》中记载，中国古代对音阶的确定比毕达哥拉斯要早至少几百年。数学教学中，汲取跨学科思想素材，同时也可渗透数学传统文化，以此不仅培养学生的创新意识，还可以形塑学生的文化自信。

（2）在“问题—对话”处留白

数学教学中，基于学生的数学认知特点，将学习主体因素和问题情境因素纳入教学中设计对话和问题，教师通过提问（对话）引导学生经历个体经验，经历“感官—表象—抽象”，产生冲突和疑惑，继而提出问题、解决问题[23]。在问题导引下，经历跨学科探究的感悟体验。真正的思考，是基于学生的认知经验[24]。根据留白探究的层次和程度，教师设计“问题—对话”的问题链及引导语，这是需要关注的。在“问题—对话”中引导学生产生疑惑，激发学生的认知冲突，从而发现问题、提出问题。所以，具有留白性的“问题—对话”是培养批判性思维和创新意识的载体。教师需要基于学生的差异去设计对话，引起学生的好奇心和求知欲，激发学生产生疑惑尝试进行问题抽象，在解决问题的过程中探索知识，形成思考。“问题—对话”的作用是引导学生在情境（学习材料）和实践之间建立某种一致性，从而促进学生理解，形成理性思维自觉。

（3）在探究方法运用处留白

留白探究过程中，教师需要关注非预设的解决策略的出现，在教学可控范围内，允许学生自由发挥对问题的解决策略的呈现，尽量避免“滑过现象”的发生。探究过程是一个动态发展的过程，其具有不确定性、开放性和延伸性，教师需要尊重探究过程的“自组织性”[25]。解决问题的方法也蕴含创新性，所以方法运用处留白也是留白创造式教学的重要形式。对于同一个问题，不同时空的数学家会采用不同的方法去论证或验证。比如，勾股定理有多种证明方法，赵爽弦图法、梯形证明法、欧几里得证明法等，也可以利用Mamikon定理去证明。虽然知识（定理的内容）是客观存在的，但对知识的再验证（方法）具有创造性和研究价值。

（4）在评价任务设计处留白

基于教学评的一致性，评价任务的设计及评价方式的运用也应具有开放性。教学设计中，将评价任务以一个或多个开放性的问题呈现，以激起学生的认知冲突，“迫使”学生以研究者的姿态参与、猜测和探索，亲身经历数学发现的过程，这便是条件开放、结论不限定的“留白自由式”探究，这样的过程便会培养学生的发散性思维、批判性思维、创造性思维等，当然，设计系统而又科学的具有探究价值的留白式评价任务是教学的关键。特别地，探究出什么样的结论不是最重要的，学习者在一定程度上的过程参与体验是留白式教学的创造性体现。

三、跨学科视域下数学留白创造式教学的深化策略

创新意识的培养关键在于提高学生应对真实情境下“实践—感悟—反思”的过程，以跨学科为视角，鼓励学生多角度发散性提出问题、解决问题，课堂留白是创新意识培养的良好载体。

1.创设跨学科情境，凸显数学学科性

跨学科视域下，数学课程与教学不应囿于学科边界，需要重视学科内部知识、外部情境或知识交叉融合。通过跨界整合知识，设置情境留白，实现学科思维上的融通，引导学生从多元视角分析问题。例如，以化学知识为背景设计情境，英国科学家克罗托、美国科学家斯莫利和柯尔于1985年发现了足球烯，足球烯的分子具有60个顶点，即碳60（C60），基于这样的情境可以开放性提出一些可探

讨的问题，可以基于数学方法解决相关化学问题;

化学学科中，常用pH表示溶液的酸碱性，而pH是

由c（H+）（即溶液中的H+的浓度）决定的，pH=7和pH=8的两种溶液，它们的c（H+）有什么关系？以这样的问题情境设置留白，引导学生思考：这个与什么知识有关？（对数，还有呢？）基于化学知识的理解抽象出数学问题，有助于培养学生的跨学科思维以及创新意识。

2.整合教材中的阅读材料，预设留白与布白

中学数学教学中，要注意结合学生的认知规律慢慢渗透数学与其他学科之间的交叉，勇于打破传统的学科限制，转变学生的学习观念，注意加强数学与其他学科的联系，通过不同学科的相互作用形成知识的整合。教师可以整合教材中的阅读材料，基于跨学科视角，预设留白与布白。

例如，北师大版选择性必修第一册高中数学教材中关于“圆锥曲线的光学性质”，材料中预设生活中抛物面的一些应用，如手电筒、探照灯等，基于此抽象出抛物面的光学性质：根据物理中光的镜面反射性质提炼椭圆和双曲线独特的光学性质，由此思考圆锥曲线有一个共同的光学性质——焦点。结合物理学科的光学概念理解，加深对圆锥曲线的性质理解，由此继续思考如何利用圆锥曲线的光学性质进行设计应用等。

在人教B版高中数学选择性必修第二册中，关于“人工智能中的贝叶斯公式”的拓展阅读引导学生认识到人工智能作为交叉学科，融合了信息技术、数学、哲学、生物学等领域的知识，特别地，数学在其中起到很重要的作用，比如，贝叶斯公式就被广泛运用于人工智能的分类算法中。贝叶斯公式是如何被运用的？在垃圾邮件过滤、图像识别等人工智能应用场景中，贝叶斯公式也能发挥重要作用，还有条件概率的知识在语音识别、机器学习中也是不可缺少的。学生在此处充满期待，也对数学知识产生敬畏和兴趣，这样的留白会激起学生感受数学知识的兴趣。

3.设计结构不良问题，在探究关键处留白

弗莱雷认为尊重学生当前的知识，是要把这一尊重延伸到产生这些经验知识的文化背景中，因为正是这种文化造就了不同的个体[26]。留白的作用是引导学生在问题和实践之间建立某种联系，从而促进学生理解，形成理性思维自觉。所以，教师需要基于学生的差异去设计留白，引起学生的好奇心和求知欲，激发学生产生疑惑尝试进行问题抽象，在解决问题的过程中探索知识形成思考，其中结构不良问题，便是一个很好的载体。

例如，在生物学中，人有单眼皮与双眼皮之分，这是由对应的基因决定的。显性基因记为B，隐性基因记为b，其总是成对出现（如BB，Bb，bB，bb）。人的卷舌与平舌同人的单双眼一样，也是由遗传父母的基因决定的，查找相关资料并提出问题，请你的同伴一起来回答。原问题也预设学生会出现求概率，若学生写出样本空间为{BB，Bb，bb}，此时需要引导学生思考：有的学生写出的样本空间为{BB，Bb，bB，bb}，也有学生写出的样本空间为{BB，Bb，bb}，哪个更合适？因为古典概型的前提是“基本事件是等可能的”，而这样的留白会引发认知冲突，在学生思考关键处设计留白，有助于学生深度学习，形成对数学知识隐藏信息的理解，有助于知识的迁移和学科素养的形成。

4.设计评价任务，关注“教—学—评”一致

2020课标关注学生“四基”的落实和“四能”的培养，以促进学生学科素养的形成和发展。所以跨学科视域下，数学教学应基于学生的学习进程，关注评价的调节作用，优化结果评价、渗透过程评价、融合增值评价，以形成“教—学”“教—评”“学—评”的闭环。

例如在学习二项式定理时，可以设计通过查阅资料或网络查找有关数学史材料，了解贾宪用“杨辉三角”进行高次开方的方法，并给出实例进行说明，将有关材料整理成小论文，然后与其他同学进行交流。在借助美术学科进行跨界融合时，利用建筑外形中的悬链线，可以引导有能力的学生运用微积分推导悬链线的数学表达式，从而关注相关知识的变式与推广。这些过程可以拓展学生的学习眼界，培养学生的数学思考和跨学科学习能力。基于数学学科逻辑，以拓展学生的学习视角为阶段性目标。基于阶段性评价和留白式评价以培育学生的创新意识为最终指向，这些留白式评价任务贯穿数学教学中，能促进教学评的一致性。

当然，数字信息化时代，也需要借助信息技术助推留白教学的创造性实现，找准信息技术与教学内容的切入点，设计探究性的学习活动，体现数学学习的本质。例如技术赋能在跨学科融合中也具有重要的价值，学生使用高级计算语言可进行算法开发、数学建模、仿真等，应用数据可视化进行通用的图象处理功能，学生运用软件作图，可以沉浸于文化的渗透及获得个性化体验，从动态和体验的视角促进学生跨学科思维和创造性思维的发展。

总之，跨学科视域下的留白创造式教学不仅强调知识建构，更强调学科素养与创新意识的相融共生;不仅关注跨学科领域的融合，更关注跨学科思维方式的养成。其尊重学生的思想自由，提升师生的生命智慧[27]。跨学科视域下，对留白创造式教学的再思考，有助于探索课堂创新教学模式，有助于挖掘学生潜能，指向培养学生的高阶思维能力。

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[作者：李亚琼（1983-），女，安徽巢湖人，江苏第二师范学院数学科学学院，副教授，硕士生导师，博士;宁连华（1966-），男，江苏丰县人，南京师范大学数学科学学院，教授，博士生导师;黄贤明（1999-），男，江苏苏州人，苏州高新区景山实验初级中学校，中学二级教师。]

【责任编辑 王泽华】