怎样解答三角函数问题

通过研究2023年全国各地的高考数学试题，可以发现三角函数问题的命题形式多样、难度适中，注重考查三角函数的基本公式、图象、性质的应用.常见的题目有：化简三角函数式、求三角函数的值、三角函数的图象与性质问题、三角函数的实际应用问题等.下面主要谈一谈三类三角函数问题的解法.

一、化简与求值问题

有关三角函数的化简与求值问题的难度不大.在解题的过程中，首先要灵活运用同角的三角函数关系式、诱导公式、和差公式、二倍角公式等进行三角恒等变换，通过运用弦切互化、和积转换、“1”的变换、换元、升幂、降幂等技巧，将函数式化为最简形式.

例1.（2023年新高考Ⅰ卷）已知[sin（α-β）=13]，[cosαsinβ=16]，则[cos2α+2β=]（ ）.

A. [79] B. [19] C. [-19] D. [-79]

解：因为[sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=13]，所以[sinαcosβ=12]，所以[sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=23]，[cos2α+2β=1-2sin2α+β=19].故选B.

我们需先将已知关系式与目标式关联起来，比较角、函数名称的异同，并建立联系；然后运用两角差的正弦公式求得[sinαcosβ]的值；再根据两角和的正弦公式和二倍角公式求解.在进行三角恒等变换时，要注意变换角、函数名称及函数式的形式.

二、图象与性质问题

三角函数具有单调性、有界性、奇偶性，其图象具有周期性、对称性.三角函数的图象与性质问题比较常见.在解题时，通常要灵活运用三角函数的图象来研究函数的性质，根据三角函数的性质来画出三角函数的图象，通过数形结合求得问题的答案.

例2.（2023年新高考Ⅱ卷）已知函数[f（x）=sin（ωx+ϕ）]，如图1，A、B是直线[y=12]与曲线[y=f（x）]的两个交点，若[AB=π6]，则[f（π）=]______.

解：设[A（x1，12）]，[B（x2，12）]，由[AB=π6]可得[x2-x1=π6].由[sinx=12]得[x=π6+2kπ]或[x=5π6+2kπ]，[k∈Z].由图可知，[ωx2+ϕ-ωx1+ϕ=2π3]，即[ω（x2-x1）=2π3]，所以[ω=4].因为[f（2π3）=0]，所以[8π3+ϕ=kπ]，[k∈Z]，所以[f（x）=sin（4x-8π3+kπ）=sin（4x-2π3+kπ）]，所以[f（x）=sin（4x-2π3）]或[f（x）=-sin（4x-2π3）]（舍去），所以[f（π）=sin（4π-2π3）=-32].

要求[f（π）]，需先求得三角函数的解析式，就要结合函数图象的特征，抓住关键点A、B，根据函数的奇偶性、周期性、对称轴，利用待定系数法求出函数的周期；再由零点求出[ϕ].

三、实际应用问题

三角函数的实际应用问题对同学们的阅读理解能力、知识迁移及应用能力、创新能力都有较高的要求.在解题时，我们要先准确地提取有用的信息，将实际问题转化为数学问题；然后建立三角函数模型；最后利用三角函数的图象、性质来解题.

例3.图2是一处架空线入地的矩形地块ABCD，AB=30m，AD=15m，为保护D处的一棵古树，有关部门划定以 D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区.若空线入线口为AB边上的点E，出线口为CD边上的点F，施工要求EF与封闭区边界相切，将EF右侧的四边形地块BCFE作为绿地保生态护区.若∠ADE=20°，求EF的长.

解：作DH⊥EF，垂足为H，因为DH=DA=15，DA⊥AE，DH⊥HE，所以Rt∆DHE≌Rt∆DAE，所以∠HDE=∠ADE=20°，∠HDF=50°，所以EF=EH+HF=[15tan20°+15tan50°≈23.3 ]m.

我们需先通过作辅助线，构造出全等三角形；再根据正切函数的定义求出EF.解题的关键在于仔细读懂题意，构造出几何模型，将实际问题转化为三角函数问题来求解.

从以上的分析可以看出，解答三角函数问题，不仅需熟练掌握并灵活运用三角函数基础知识，还需学会运用数形结合思想，这样才能在高考中应对自如，轻松求出问题的答案.