妙用函数的单调性解答三类问题

单调性即增减性，是函数独有的性质.利用函数的单调性，可以快速比较出函数值的大小、求得函数的最值.函数的单调性应用十分广泛，在解答方程问题、不等式问题、数列问题时，灵活运用可以达到事半功倍的效果.

一、解答方程问题

对于一些复杂的方程问题，我们可以先将方程左右两边的式子化为同构式，根据同构式的特征构造出函数式，或将等号的一侧化为0，将另一侧的式子视为函数式；然后根据函数单调性的定义、导函数与函数单调性之间的关系来判断出函数的单调性，即可利用函数的单调性来确定方程的解的个数，并求得方程的解.

例1.求方程[log4（1+x）=log3x]的解.

解：令[t=log3x]，则[x=3t]，

所以原方程变形为[log4（1+3t）=t，]

化简得[1+3t=4t]，即[（14）t+（34）t=1，]

显然当[t=1]时方程成立.

设[ft=（14）t， gt=（34）t，]

由于[f（t）]和[g（t）]在[R]上是减函数，因此[ft+g（t）]在[R]上是减函数.

当[t>1]时，[ft+gt=（14）t+（34）t<14+34=1，]

当[t<1]时，[ft+gt=（14）t+（34）t>14+34=1.]

所以方程[（14）t+（34）t=1]只有一个解，

又因为[t=log3x]，故原方程的解为[x=9.]

利用函数的单调性解方程，难点在于对方程进行变形，并根据变形后的方程构造函数.对于本题，我们通过观察方程，构造出函数[ft=（14）t，gt=（34）t]，并根据函数的单调性讨论方程的根的情况，从而得解.

二、解答不等式问题

在解答不等式问题时，我们可以将不等式一侧或两侧的式子构造成函数，再判断出函数的单调性，就可以直接利用函数的单调性求得函数的最值，找到使不等式恒成立的新不等式.

例2.已知函数[f（x）]是定义在[（-3，3）]上的奇函数，若[a、b∈-3，3]，[a+b≠0]，且[fa+fba+b>0]，解不等式[：fx-3+f（x2-3）<0].

解：任取[x1、x2∈（-3，3）]，且[x1<x2]，

因为[f（x）]为奇函数，

所以[fx2-fx1=fx2+f-x1]

[=fx2+f-x1x2-x1x2-x1，]

而[x2-x1>0]，则[fx2+f-x1x2+（-x1）>0]，

所以[fx2-fx1>0]，因此函数[f（x）]在[（-3，3）]上是增函数.

由[fx-3+f（x2-3）<0]可得[fx-3<-fx2-3=f（3-x2]），

则[x-3<3-x2]，解得[-3<x<2]，

而[-3<x-3<3，-3<x2-3<3，解得0<x<6，-6<x<6，]

即[0<x<6，]所以[x]的取值范围为[{x|0<x<2}].

我们首先要根据函数单调性的定义，判断出函数[f（x）]在[（-3，3）]上的单调性然后便可以根据函数的单调性去掉函数符号“[f] ”，将不等式转为关于x的简单不等式，从而使问题得解.

三、解答数列问题

数列是一类特殊的函数，其自变量为自然数.在解答复杂的数列不等式问题、数列最值问题时，我们可以将目标式视为关于n的函数式.然后判断出函数的单调性，利用函数的单调性来比较数列两项之间的大小关系，求得目标式的最值.

例3.已知数列[an]的通项公式为[an=9n（n+1）10n]，求数列的最大项.

解：[an+1-an=9n+1n+210n+1-9nn+110n=9n10n∙8-n10，]

当[n<8]时，[an+1-an>0]，则[an+1>an]，

当[n=8]时，[an+1-an=0]，则[an+1=an]，

当[n>8]时，[an+1-an<0]，则[an+1<an]，

所以[a1<a2<a3<…<a8，a8=a9，a9>a10>a11>…]，

故数列[an]的最大项为第8项和第9项，且[a8=a9=99108.]

我们将数列的通项公式视为关于n的函数式，然后根据函数单调性的定义，将数列的第n+1项和第n项作差，比较出这两项的大小，从而判断出数列的单调性，即可根据其单调性找到数列的最大项.

总之，针对一些复杂的方程、不等式、数列问题，我们可以通过构造函数，将问题转化为函数单调性问题来求解，这样有利于提升解题的效率.而利用函数的单调性解题的关键在于构造出合适的函数模型，并确定函数的定义域.