多措并举，解答一道向量最值问题

向量最值问题通常会综合考查对向量的定义、运算法则、数量积、模的公式等知识的应用.这类问题的命题形式多种多样，因而解答这类问题的方法也很多.下面结合一道向量最值问题，谈一谈此类问题的解法.

例题：在矩形[ABCD]中，[AB=1，AD=2]，动点[P]在以点[C]为圆心且与[BD]相切的圆上.若[AP=λAB+μAD]，则[λ+μ]的最大值为（ ）.

[A. 3] [B. 22] [C. 5] [D. 2]

方法一：采用特殊值法

对于选择题，我们通常可以采用特殊值法来求解.这样可以简化运算，有效地提升解题的效率.我们可以根据题意和图形选取合适的特殊点、位置，将其代入题设中建立相应的关系式，即可快速获得问题的答案.

解：设圆[C]与[BD]相切于点[E]，连接[CE]，则[CE⊥BD].

由三角形的面积公式可得圆的半径[CE=CB⋅CDBD=255].

以A为原点，AB、AD为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系，延长[DC]交圆[C]于点[F]，则[AF=（2，1+255）].

[AP=λAB+μAD=λ（0，1）+μ（2，0）=（2μ，λ）]，

当动点[P]为点[F]时，[2μ=2，λ=1+255]，

于是[λ+μ=2+255>22]，

所以选项B、C、D均不正确，所以本题选A项.

点F满足题意，于是通过讨论P点在F点处的情形，求得[λ+μ]的取值范围，从而获得问题的答案.一般地，可通过画图来寻找取得最值的特殊情形；也可以对可能出现的每一个特殊情形进行讨论，从而排除掉某些选项或者直接得到答案.

方法二：利用三角函数的性质

向量的方向往往可以用角表示.因此在求解向量最值问题时，可以将向量用某个角的三角函数表示出来，从而将问题转化为三角函数最值问题.再利用三角函数的有界性和单调性来求最值.

解：设[P（x，y）]，则[AP=（x，y）]，

因为[AP=λAB+μAD=（2μ，λ）]，

则[μ=12x，λ=y]，于是[λ+μ=12x+y].

因为点[P]在以点[C（2，1）]为圆心，半径为[255]的圆上，

设[x=2+255cosθ]，[y=1+255sinθ]，

所以[λ+μ=255sinθ+55cosθ+2]

[=（255）2+（55）2sinθ+ϕ+2≤3].

所以本题选A项.

根据圆的参数方程，设[x=2+255cosθ]，[y=1+255sinθ]，便可将目标式用角[θ]的三角函数表示出来，这样就能直接根据正弦函数的有界性来求得目标式的最值.

方法三：利用直线与圆的位置关系

对于与圆有关的向量最值问题，我们通常可以将某个向量视为一条直线，利用圆的性质，根据直线与圆的位置关系来解题.可直接根据圆心到直线的距离与半径之间的关系来判断直线与圆的位置关系.一般地，在直线与圆相切处，取得最值.

解：由上述解法可得[λ+μ=12x+y].

设[z=λ+μ=12x+y]，则[x+2y-2z=0]，此方程可表示过点[P]的动直线.

因为点[P]在以点[C（2，1）]为圆心，半径为[255]的圆上，

所以直线和圆[C]有公共点，那么圆心到直线的距离小于或者等于半径，

即[|4-2z|5≤25]，即[|z-2|≤1]，

解得[1≤z≤3]，所以本题选A项.

此方法的适用范围较小，但较为便捷.

可见，解答这道向量最值问题有多种方法，解题的关键在于写出目标式，并能够利用题目的已知条件找到能够取到最值的情形.在平时的练习中，同学们要多总结，发现不同类型向量最值问题的共性，并能够熟练运用各种方法来应对问题.