由一道空间角的最值题引发的思考

空间角包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角.有关空间角的最值问题侧重于考查同学们的空间想象能力、图形的变换能力、推理论证能力、计算能力等.求解这类问题的常用方法是几何法和向量法，下面结合一道典型习题进行探讨.

例题：如图1，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中点，点F是AD上的一点，AB=AA1=2，BC=3，AF=1，动点P在上底面A1B1C1D1上，且三棱锥P-BEF的体积等于1，求直线CP与DD1所成角的正切值的最小值.

一、几何法

要求空间角的最值，首先要根据空间角的定义确定空间角的平面角；其次要结合平面角的位置关系，利用平面几何知识确定角的取值范围.这就需要充分利用简单空间几何体的几何性质，根据空间角的定义、线面垂直的性质和判定定理、面面垂直的性质和判定定理、勾股定理、正余弦定理等来解题.在确定空间角的平面角后，通常还需运用特殊位置法或极端位置法，通过探究动点的所在位置，如中点、垂足、端点等来找到临界情形，以求得平面角的最值.

解：在BC上取点F1，G，使BF1=F1G=GC=1，在 A1D1上取点Q，N，使A1Q=QN=QD1=1，在B1C1上取点M，使B1M=1，取BB1的中点E1，连接EE1、E1F1，如图1.

不难证明EF∥E1F1∥MC，FB∥B1Q∥MN.

因为MC[⋂]MN=M，所以平面CMN∥平面BEF.

因为[VC-EBF=VE-CBF=13SΔCBF⋅AE=1]，所以点P的运动轨迹为线段MN.

又直线CP与DD1所成的角就是直线CP与CC1的夹角[∠C1CP]，过点C1作C1P⊥MN，交MN于点P，此时C1P取得最小值，可得[C1P=455]，所以[tan∠C1CP]的最小值为[255].

运用几何法解题，不仅要仔细研究几何图形，明确各点、线、面的位置关系，通过添加辅助线，利用相关的几何知识找到空间角的平面角取得最值的情形，还要灵活运用平面几何知识来求得角的取值范围.

二、向量法

运用向量法求空间角的最值，首先要建立空间直角坐标系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题，利用夹角公式来求得空间角的余弦值及其取值范围.由于空间角最值问题中往往会涉及动点，所以空间角的余弦值中通常会含有多个参数，此时可以把空间角的余弦值视为函数式，利用函数的性质、基本不等式、导数法来求最值.

解：以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图2.设P（m，n，2）（0≤m≤3，0≤n≤2），可得[FB=（1，2，0），FE=（1，0，1），CP=（m，n-2，2），DD1=（0，0，2），]

设平面BFE的法向量为[a=x，y，z]，

则[a⋅FB=x+2y=0，a⋅FE=x+z=0，]

令x=2，则z=-2，y=-1，所以[a=2，-1，-2.]

因为[EP=（m-3，n，1）]，所以点P到平面BFE的距离[d=a⋅EPa=2m-8-n3].

易求等腰三角形[ΔBFE]的面积为[32].

因为[VP-BFE=13×SΔBFE×d=13×32×d=1]，

所以[d=2m-n-83=2]，

所以2m-n=2或2m-n=14 （舍去）.

设直线CP与DD1所成的角为[θ]，则[θ∈0，π2]，

所以[cosθ=CP⋅DD1CPDD1=25m-852+365≤53]，所以[tanθ]最小值为[255].

由于ABCD-A1B1C1D1为长方体，所以根据长方体的性质，可以直接以D为坐标原点、三条棱所在的直线为坐标轴来建立空间直角坐标系，这样便可以快速求得各个点的坐标，通过空间向量坐标运算轻松获得问题的答案.

相比较而言，对于方便建立空间直角坐标系的空间角最值问题，利用向量法求解较为便捷，且思路更加简便.但几何法是通用方法，且适用范围较广.无论运用哪种方法解题，都需灵活运用转化思想，即把空间几何问题转化为平面几何问题，把空间角转化为平面角来求解.