解答向量的数量积问题的三种路径

向量的数量积问题侧重于考查向量的运算法则、数量积公式以及其几何意义的应用.常见的命题形式有：（1）根据两个已知的向量，求两个向量的数量积的取值范围；（2）已知向量的大小和方向，求两个向量的数量积.求解向量的数量积问题主要有三种方法：定义法、利用数量积的几何意义、坐标法.现结合几道例题，谈一谈如何利用这三种方法解答向量的数量积问题.

一、运用定义法

向量[a]和[b]的数量积为：[a⋅b=|a|⋅|b|cosθ]，其中[θ]为向量[a]和[b]的夹角.根据向量数量积的定义可知，只需要知道两个向量的模的大小以及两个向量之间夹角的余弦值，就可以得到向量的数量积.

例1.如图1所示，在[ΔABC]中，点[M]是[BC]的中点，[AM=1]，点[P]在[AM]上，且满足[AP=2PM]，则[PA⋅（PB+PC）=]________.

解：因为点[M]是[BC]的中点，

[AM=1]，[AP=2PM]，

所以[PB+PC=2PM]，[|AP|=23]，

则[|PM|=12|AP|=13]，

所以[PA⋅（PB+PC）=][PA⋅2PM=PA⋅AP]

[=|PA|2⋅cos180°=-49].

在运用定义法解题时，需要结合图形判断出两个向量的方向，以确定两个向量的夹角是等于两个向量所在直线的夹角，还是等于其补角.

二、利用数量积的几何意义

向量数量积的几何意义是：向量[a]的模[a]与向量[b]在[a]上的投影[|b|cosθ]的乘积.若不易求出两个向量的夹角的余弦值，就可以通过画图的方法确定一个向量在另一个向量上的投影，利用向量数量积的几何意义来解题.

例2.如图2所示，点[P]是[ΔABC]的外心，且[|AC|=4，|AB|=2]，求[AP⋅（AC-AB）]的值.

解：延长[AP]，交圆[P]于点[D]，连接[BD，CD].

所以[AC⊥CD， AB⊥BD]，[AP=12AD]，则[AD]在[AC]上的投影为[AC]，[AP]在[AC]上的投影为[12|AC|]，

所以[AP⋅AC=12|AP|⋅|AC|=8]，

同理可知[AP]在[AB]上的投影为[12|AB|]，

所以[AP⋅AB=12|AB|⋅|AB|=2]，则[AP⋅（AC-AB）=8-2=6].

在利用数量积的几何意义解题时，要结合图形，作出合适的辅助线，灵活利用平面几何图形的性质来解题.

三、采用坐标法

运用坐标法，可以将向量的数量积问题转化为坐标运算问题来求解.先根据题目中的已知条件和几何图形的特点，建立合适的平面直角坐标系；然后设出或求得各个点的坐标；再利用平面向量的坐标运算法则进行运算，即可求得目标向量的数量积.

例3.如图3所示，在直角梯形[ABCD]中，[AB//CD， ] [AB⊥AD]，[CD=DE]，[AB=2CD=2AD=2]，[∠DCE=90°]，若[M，N]分别是线段[BC、CE]上的动点（包含端点），且[AM⋅AN=52]，则[MD⋅DN]的最小值是______.

解：以点[A]为原点，以[AB、AD]所在的直线为[x]轴、[y]轴，建立如图3所示的平面直角坐标系，所以[A（0，0），E（1，2），C（1，1），D（0，1）]，

设点[M（x，2-x）（1≤x≤2）]，

点[N（1，1+y）（0≤y≤1）]，

由[AM⋅AN=52]可得[x+（1+y）（2-x）=52]，[xy=2y-12]，

因为[y≠0]，所以[x=2-12y]，

则[MD⋅DN=-x+xy-y=12y+y-52≥2-52]，

当且仅当[2y2=1]，即[y=22，x=2-22]时取等号，

所以[MD⋅DN]的最小值为[2-52].

运用坐标法解题，需根据几何图形的特征寻找或构造两条相互垂直的直线，并使得更多的点落在直角坐标轴上，这样便可快速求得各个点的坐标，进行向量坐标运算.

以上三种方法是解答向量数量积问题的常用方法.其中定义法、坐标法比较常用，利用向量数量积的几何意义解题的过程比较简单.但无论运用哪种方法解题，都要熟练掌握并灵活运用向量数量积的定义，进行合理的向量运算.