求解三角函数最值问题的两种途径

三角函数最值问题比较常见.这类问题对同学们的分析、运算能力有较高的要求.对于简单的三角函数最值问题，可直接通过观察三角函数的图象找出最大值、最小值.而对于一些较为复杂的三角函数问题，需灵活运用一些方法、技巧，才能使问题顺利获解.下面主要介绍求解三角函数最值问题的两种途径.

一、利用二次函数的性质

对于偶次三角函数最值问题，通常可将函数式视为关于某个三角函数式的二次函数式，通过配方，将函数式化为y=a（x+b）2+c的形式.再根据定义域与对称轴的位置来判断出函数的单调性，便可直接根据二次函数的有界性和单调性来求得函数的最值.

例1.函数[y=-sin2x-3cosx+3]的最小值为（ ）.

[A. 2] [B. 0] [C. -14] [D. 6]

解：因为[sin2x=1-cos2x]，所以[y=cos2x-3cosx+2]，

令[cosx=t]，则[-1≤t≤1]，

则[y=cos2x-3cosx+2=t2-3t+2=t-322-14]，

当[-1≤t≤1]时，该函数单调递减，

所以当[t=1]，即[cosx=1]时，[ymin=0]，故本题选[B].

该函数式中的最高次数为二次，于是先用诱导公式将函数式化为只含有余弦函数式的式子；然后令[cosx=t]，即可将函数式化为关于t的二次函数式；再对其配方，即可根据函数在[-1≤t≤1]上的单调性求得函数的最值.

例2.求函数[y=5sinx+cos2x]的最值.

解：[y=5sinx+（1-2sin2x）=-2sin2x+5sinx+1]，

令[sinx=t]，则[-1≤t≤1]，

则[y=-2t2+5t+1=-2（t-54）2+338]，

当[-1≤t≤1]时，该函数单调递增，

所以当[t=sinx=-1，即x=2kπ-π2，k∈Z]时y取得最小值[ymin=-2×8116+338=-6]；当[t=sinx=1，即x=2kπ+π2，k∈Z]时y取得最大值[ymax=-2×116+338=4.]

将函数式化为关于t的二次函数式，并进行配方，即可判断出[-1≤t≤1]在对称轴的左侧，由此可以判断函数在[-1≤t≤1]时单调递增，进而根据二次函数的单调性求得函数的最值.

例3.求函数[y=sinx+cosx+sinxcosx]的最大值.

解：因为[（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx]，

令[sinx+cosx=t]，则[sinxcosx=t2-12t∈[-2，2]，]

则[y=sinx+cosx+sinxcosx=t2-12+t=12t+12-1]，其中[t∈[-2，2]]，

当[t∈[-2，-1]]时函数单调递减，当[t∈-1，2]时函数单调递增，

所以当[t=2，即sin（x+π4）=1]时y取最大值[ymax=12+2.]

由于函数式中同时含有[sinx±cosx]与[sinxcosx]，于是利用同角的三角函数关系式将二者关联起来：[（sinx±cosx）2=1±2sinxcosx]；再令[sinx+cosx=t]，便可将函数式化为关于t的二次函数，就能直接根据二次函数的单调性求得最值.在运用二次函数的单调性求最值时，要关注t的取值范围.因为t的取值范围是由三角函数的有界性和单调性来确定的.

二、利用三角函数的性质

在解答三角函数最值问题时，通常需运用诱导公式、两角的和差公式、辅助角公式、二倍角公式等将函数化为只含一种三角函数名称、一个角的式子，这样便可直接运用正弦函数y=sinx、余弦函数y=cosx、正切函数y=tanx的单调性和有界性来求得函数式的最值.

例4.已知函数[y=12cos2x+32sinxcosx+1（x∈R）]，求函数的最大值.

解：[y=12cos2x+32sinxcosx+1=12⋅1+cos2x2+32⋅sin2x2+1=14cos2x+34sin2x+54=12（12cos2x+]

[32sin2x）+54=12sin（2x+π6）+54.]

所以当[2x+π6=π2+2kπ，即x=π6+kπ（k∈Z）]时y取得最大值[ymax=74.]

我们需先运用二倍角公式、辅助角公式将函数式化为最简形式：[12sin（2x+π6）+54]；然后根据正弦函数y=sinx的有界性：当[x∈R时，sinx≤1]，来求函数的最大值.

例5.求函数[y=2cosx+12cosx-1]的值域.

解法1.[y=2cosx+12cosx-1=1+22cosx-1]，

因为[|cosx|≤1]，所以[y≥3]或[y≤13.]

解法2.由[y=2cosx+12cosx-1]可得[cosx=y+12（y-1）]，

因为[|cosx|≤1]，所以[y+12（y-1）≤1]，解得[y≥3]或[y≤13.]

解法1是通过分离常数，将函数式化为[1+22cosx-1]，再根据余弦函数的有界性[|cosx|≤1]来求得函数式的最值.解法2是用y表示cosx，再根据余弦函数的有界性[|cosx|≤1]来约束[y+12（y-1）]，通过解不等式求得y的最值.

例6.已知函数[f（x）=2sinx（sinx+cosx）]，求函数[f（x）]的最小正周期和最大值.

解： [f（x）=2sin2x+2sinxcosx=1-cos2x+sin2x]

[=1+2sin（2x-π4）]，

故[f（x）]的最小正周期为[π]，最大值为[1+2].

我们用二倍角公式和辅助角公式将函数式化为只含有正弦函数式的式子，就可以直接根据x的取值范围和正弦函数的有界性来函数的最值.运用三角函数的有界性和单调性求最值，往往需熟记正弦函数y=sinx、余弦函数y=cosx、正切函数y=tanx的图象，这样就能快速判断出三角函数的有界性和单调性.

求解三角函数最值问题的途径还有很多，如利用基本不等式、导数法、数形结合法等.同学们在解题时需学会总结解题规律，归纳解题的方法、技巧，熟练掌握一些基本的、常用的解题途径，这样便能在面对复杂的问题时，快速找到最佳的解题途径和方案，提升解题的效率.

本文系江西省教育信息技术研究“十四五”规划2022年度课题《GeoGebra支持下高中三角函数教学应用研究》（课题批准号：2022–G-1-8214）的研究成果.