进行三角恒等变换的三个技巧

在解答三角函数求值、化简、最值问题时，我们经常要先对三角函数式进行化简、变形，这就需要用到一些进行三角恒等变换的技巧.进行三角恒等变换，往往需灵活运用一些三角函数公式，如诱导公式、同角的三角函数关系式、辅助角公式、二倍角公式、两角的和差公式等.下面结合实例，介绍进行三角恒等变换的三个技巧.

一、换元

当遇到较为复杂的三角函数式时，我们通常要将其中的某一个式子用一个新元替换，这样便可将函数式简化.换元主要包括整体换元、三角换元、局部换元等.在换元时，要选取合适的式子进行换元，并且要确保换元前后的式子及其取值范围的等价性.

例1.求函数[y=sinx⋅cosx1+sinx+cosx（x∈（0，π2））]的值域.

解：设[sinx+cosx=t]，则[t=2sinx+π4]，

因为[0<x<π2，]所以[t∈（1，2]]，

因为[sin2x+cos2x=1]，所以[sinxcosx=t2-12]，

所以[y=sinx⋅cosx1+sinx+cosx=t2-121+t=t-12]，

由[t∈（1，2]]得[0<y≤2-12].

该函数式中含有[sinx+cosx]与[sinxcosx]，根据同角的三角函数关系式可以将这两式进行互化，即[sinx+cosx2=1+2sinxcosx].再令[t=sinx+cosx]，即可将函数式化为关于t的一次函数式，这样函数式就得以简化.

二、利用辅助角公式

对于同时含有正余弦函数名称的函数式，通常可以利用辅助角公式[asinx+bcosx=a2+b2sin（x+φ）]（其中[tanφ=ba]），将函数式化为只含有一个角、一种函数名称的式子，以达到化繁为简的目的.

例2.求函数[y=1+sinx3+cosx]的值域.

解：由[y=1+sinx3+cosx]得[3y+ycosx=1+sinx]，

所以[sinx-ycosx=3y-1]，

从而可得[1+y2sin（x+φ）=3y-1]，

其中[sinφ=-y1+y2]，[cosφ=11+y2].

由[sinx+φ=3y-11+y2≤1]得[0≤y≤34].

先将函数式变形为[sinx-ycosx=3y-1]，即可直接运用辅助角公式将其化简为[1+y2sin（x+φ）=3y-1].运用辅助角公式，可以将含有正余弦的函数式化为正弦函数式，也可以将含有正余弦的函数式化为余弦函数式，同学们可根据解题的需求进行变换.

三、运用万能公式

万能公式为：[sinx=2tanx21+tan2x2]、[cosx=1-tan2x21+tan2x2]、[cosx=2tanx21-tan2x2].利用万能公式，可以将正弦、余弦、正切函数式用其半角的正切函数式表示出来，这样就能化异为同，快速获得问题的答案.

例3.求函数[y=2xtanπ4+x2]的最值.

解：设[x=tant2-π<t<π]，

则[y=2x1+x2=2tant21+tan2t2=sint]，

当[t=π2]，即[x=tanπ4=1]时，[ymax=1]，

当[t=-π2]，即[x=tan（-π4）=-1]时，[ymin=-1].

由该函数式可想到万能公式，于是令[x=tant2-π<t<π]，即可根据万能公式[sinx=2tanx21+tan2x2]将函数式化为[y=sint]，从而使问题顺利获解.

总之，进行三角函数恒等变换，需注意：（1）明确函数式中函数名称、角、次数之间的差异；（2）建立角之间的关系，使其为和、差、倍、半关系；（3）选用合适的三角函数公式进行恒等变形.