谈谈函数最值的几种求法

函数最值问题通常要求在特定范围内找到函数的最大值和最小值.对于这类问题，往往需灵活运用基本初等函数的图象、定义、性质来解题.常见的求解方法有：利用函数的单调性、数形结合法、配方法.下面结合实例作详细的介绍.

一、利用函数的单调性

若目标函数式中含有基本初等函数，如二次函数、指数函数、对数函数等，则可以利用函数的单调性来求函数的最值.利用函数的单调性求函数的最值，需先根据基本初等函数的单调性，函数单调性的定义、复合函数的单调性判断法则、导函数与函数单调性之间的关系来判断出目标函数的单调性，并确定函数的定义域；然后讨论函数在单调区间内的最值；最后将所得的最值与定义域端点处的函数值相比较.

例1.已知函数[f（x）=x+2x]，求函数[f（x）]在[[2，8]]上的最大值.

解：设[0<x1<x2]，

则[fx1-fx2=1+2x1-1+2x2=2x1-2x2=2x2-x1x1x2，]

又[0<x1<x2]，所以[x1x2>0，x2-x1>0]，

所以[f（x1）-f（x2）>0]，即[f（x1）>f（x2）]，

所以函数[f（x）]在[（0，+∞）]上为单调递减函数，

因此在[x∈[2，8]]上， [f（x）]的最大值为[f（2）=2].

我们根据函数单调性的定义，设[0<x1<x2]，将[fx1与fx2]作差，判断出[f（x1）>f（x2）]，即可判断出函数的单调性，就可以直接根据增函数的性质：y随着x的增大而增大，求得函数的最大值.

二、数形结合法

在求解函数的最值问题时，往往可以根据函数的解析式作出函数的图象，再结合函数的图象来寻找函数的最值，通过数形结合求得问题的答案.在作图时，需根据函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性来画出准确的图象，以快速确定最高点、最低点.

例2.若[a，b∈R]，记[max{a，b}=a，a≥b，b，a<b，]求函数[f（x）=max{|x+1|，|x-2|}（x∈R）]的最小值.

解：由[|x+1|≥|x-2|]，

得[（x+1）2≥（x-2）2]，所以[x≥12]，

因此[f（x）=|x+1|， x≥12，|x-2|， x<12，]

其图象如图所示.

由图可知，当[x=12]时，函数取得最小值，

所以[f（x）min=f（12）=12+1=32].

我们需先根据题意求得[f（x）]的解析式，并根据函数的解析式画出函数的图象；再在图象中寻找最低点，即可快速确定函数的最小值.运用数形结合法解题，比较直观、便捷.

三、配方法

对于偶次函数最值问题，通常可以采用配方法来求解.先根据完全平方式，将函数式配凑为[y=k（x-a）2+b]的形式；然后根据二次函数的性质，确定函数的最低点和最高点，就能轻松求得最值.在利用二次函数的性质求最值时，要特别注意自变量的取值范围，以及对称轴与定义域的相对位置.

例3.求[y=（ex-a）2+（e-x-a）2（a∈R，a≠0）]的最小值.

解：[y=（ex-a）2+（e-x-a）2]

[=（ex+e-x）2-2a（ex+e-x）+2a2-2]，

令[t=ex+e-x， t≥2，]

因此[f（t）=t2-2at+2a2-2=（t-a）2+a2-2]，

其对称轴是[t=a]，

当[a≤2]且[a≠0]时，[ymin=f（2）=2（a-1）2]；

当[a>2]时，[ymin=f（a）=a2-2].

将函数式进行变形、配方，并换元，即可将其化为[f（t）=（t-a）2+a2-2]，便可直接根据二次函数的性质求最值.本题中函数的对称轴为[t=a]，因此需分[a≤2]和[a>2]两种情况进行讨论.

相比较而言，第一种方法比较常用，第二种方法较为简单，第三种方法的适用范围较窄.这三种方法的特点、适用情形均不相同，同学们在解题时，可根据解题需求进行合理的选择.