抓住数列的特点，探寻求数列前n项和的思路

数列是高考数学科目的必考内容.其中，求数列的前[n]项和问题比较常见，且命题的形式多种多样.对此，我们需熟练掌握一些解答数列前[n]项和问题的方法和技巧，才能从容应对高考.下面重点介绍三种求数列前[n]项和的方法.

一、错位相减法

错位相减法是解答数列求和问题的重要方法.当数列的各项为等差数列与等比数列的对应项的乘积时，就可以采用错位相减法来求和.首先根据通项公式列出数列的前[n]项和式，然后将前[n]项和式乘以等比数列的公比，再将两式错位相减，最后进行化简、求和.在将两和式相减的过程中，要将幂相同的项一一对齐作差，通过合并同类项来化简和式.

例1.已知数列[an]的前[n]项和为[Sn（n∈N*）]，且[Sn=2n-1]，若[bn=n+14an]，求数列[bn]的前[n]项和[Tn].

解：当[n=1]时，[a1=S1=1]，

当[n≥2]时，[an=Sn-Sn-1=2n-1-（2n-1-1）=2n-1]，

可得[an=2n-1]，

则[bn=n+14an=n+14×2n-1=n+12n+1]，

[Tn=222+323+424+⋅⋅⋅+n2n+n+12n+1]，①

[12Tn=223+324+425+⋅⋅⋅+n2n+1+n+12n+2]，②

将①-②得[12Tn=222+（123+124+⋅⋅⋅+12n+1）-n+12n+2]

[=12+123×（1-12n-1）1-12-n+12n+2][=34-n+32n+2]，

故[Tn=32-n+32n+1].

要求数列[bn]的前[n]项和，需首先求出[an]的通项公式.由[an=2n-1]可得[bn=（n+1）⋅12n+1]，可将该数列的各项看作等差数列[n+1]和等比数列[12n+1]的对应项的乘积，于是利用错位相减法解题.列出[Tn]及[12Tn]的表达式，通过错位相减求得[Tn].

二、裂项相消法

裂项相消法是解答数列求和问题常用的方法.在解题时，需将数列的每一项裂为两项之差的形式，如[1n+n+1=n+1-n]、[1n+n+k=1k（n+k-n）（k≠0）]、[1n（n+k）=1k（1n-1n+k）（k≠0）]、[1n（n+1）=1n-1n+1]、[1（2n-1）（2n+1）=12（12n-1-12n+1）]等.这样在求和时，相邻的几项便可通过正负相消得以简化，通过简单的运算，即可求得数列的和.

例2.已知正项等差数列[an]的首项[a1=1]，前[n]项的和为[Sn]，且[a3]是[a1]和[S5]的等比中项.

（1）求数列[an]的通项公式；

（2）求数列[1anan+1]的前[n]项和[Tn].

解：（1）数列[an]的通项公式为[an=2n-1]；（略）

（2）由（1）知，[an=2n-1]，

所以[an+1=2（n+1）-1=2n+1]，

所以[1anan+1=1（2n-1）（2n+1）=12（12n-1-12n+1）]，

所以[Tn][=12（1-13+13-15+⋅⋅⋅+12n-1-12n+1）]

[=12（1-12n+1）=n2n+1.]

数列[an]的通项公式为[an=2n-1]，则[1anan+1=1（2n-1）（2n+1）]，可将其裂项为[1anan+1=12（12n-1-12n+1）]，即可运用裂项相消法快速求得数列的前n项和.运用裂项相消法解题，同学们需仔细观察数列的通项公式，对其进行合理的裂项.

三、分组求和法

分组求和法是指将数列中的各项进行分组，再分组进行求和，从而求得数列的前n项和.在解题时，要仔细观察数列的通项公式，将其进行合理的拆分、重组，使其中的一些项构成等差、等比或常数列，这样便可直接运用等差、等比数列的前n项和公式，顺利求得数列的前n项和.

例3.若数列[an]的前[n]项和为[Sn]，[4an=3Sn+1].

（1）求数列[an]的通项公式；

（2）设[bn-an]是等差数列，且[b1=2，b2=6]，求[bn]的前[n]项和[Tn].

解：（1）数列[an]的通项公式为[an=4n-1]；

（2）设等差数列[bn-an]的公差为[d]，

因为[b1-a1=2-1=1，b2-a2=6-4=2]，

所以[d=2-1=1]，

即[bn-an=1+（n-1）×1=n]，

所以数列[bn]的通项公式为[bn=n+4n-1]，

所以数列[bn]的前[n]项和[Tn=1+40+2+41+3+42+…+（n-1）+4n-2+n+4n-1]

[=[1+2+3+…+（n-1）+n]+40+41+42+…+4n-2+4n-1]

[=n（n+1）2+1-4n1-4=n2+n2-1-4n3].

数列[bn]的通项公式为[bn=n+4n-1]，可将该数列分为两组，一组为等差数列[n]，另一组为等比数列[4n-1]，分别运用等比数列和等比数列的前n项和公式对前后两部分进行求和，再将所得的结果相加，便能得到数列[bn]的前[n]项和[Tn].

综上所述，错位相减法、裂项相消法和分组求和法的特点和适用情形都不相同，同学们需对其进行深入的研究，以掌握这三类题目的通性通法，这样在考试时就能信手拈来，高效解题.