解答三角函数周期问题常用的方法

周期性是三角函数的重要性质之一.三角函数周期问题侧重于考查正弦函数、余弦函数、正切函数的周期性.解答这类问题，需重点研究三角函数的解析式、图象、定义域.下面结合实例，探讨一下解答三角函数周期问题常用的几种方法.

一、定义法

定义法是指根据函数周期的定义来解答问题的方法.若函数[f（x）]的定义域为[D]，那么对于[∀x∈D]，有[f（x+T）=f（x）]，则[f（x）]为周期函数，[T]的最小正数为函数[f（x）]的最小正周期.运用定义法求三角函数的周期，关键是找到使[f（x+T）=f（x）]成立的[T].

例1.已知三角函数[y=sin2x]，则其最小正周期为（ ）.

[A. π] [B. π2] [C. 2π] [D. 3π2]

解：因为[y=sin2x]，设[sin2（x+T）-sin2x=0]，

则[4sin2x+T2cosT2⋅cos2x+T2sinT2=0]，

化简可得[sin（2x+T）=sinT]，

所以[sin（2x+T）=0]或[sinT=0]，

当[sin（2x+T）=0]时，[T=kπ-2x]，此时[T]不为常数，不能作为周期.

当[sinT=0]时，[sinT]的最小非零正周期为[T=π]，

所以函数[y=sin2x]的最小正周期为[T=π].

故正确答案为[A]项.

我们先设函数的周期为[T]，根据函数周期的定义得出[sin2（x+T）-sin2x=0]；再化简得[sin（2x+T）=sinT]，进而根据正弦函数的性质求得T的最小正数，即可解题.

二、公式法

正余弦函数的周期为[T=2πω]，正切函数的周期为[T=πω].在解答较为复杂的三角函数问题时，需先运用三角函数中的基本公式将函数式化为[y=Asin（ωx+ϕ）+h]、[y=Acos（ωx+ϕ）+h]、[y=Atan（ωx+ϕ）+h]等形式；然后根据正弦、余弦、正切函数的周期公式进行求解.运用公式法解题，需熟记正弦、余弦、正切函数的周期公式.

例2.函数[y=sin6x+cos6x]的最小正周期为（ ）.

[A. π] [B. π2] [C. 2π] [D. 3π2]

解：[y=sin6x+cos6x]

[=（sin2x+cos2x）（sin4x-sin2xcos2x+cos4x）]

[=（sin2x+cos2x）2-3sin2xcos2x][=1-34sin22x]

[=1-34⋅1-cos4x2][=38cos4x+58].

则函数[y=38cos4x+58]的最小正周期为[T=2πω=π2]，

所以函数[y=sin6x+cos6x]的最小正周期为[T=π2].

故正确答案为[B]项.

原函数较为复杂，需首先根据同角的三角函数关系式[sin2x+cos2x=1]，二倍角公式将函数式化为[y=38cos4x+58]；然后根据正弦函数的周期公式[T=2πω]求解.

三、图象法

图象法是解答三角函数问题的重要方法.通常需先根据函数的解析式画出函数的图象，研究函数的变化趋势，找出重复出现的一段曲线；然后确定这段曲线的起点、终点所对应的横坐标之差的绝对值，该值即为函数的最小正周期.运用图象法解题，需根据函数的解析式画出准确的函数图象，并通过研究图象确定重复出现的那一段曲线.

例3.已知函数[y=|sin2x|（x∈R）]，其最小正周期为（ ）.

[A. π] [B. π2] [C. 2π] [D. 3π2]

解：将函数[y=sin2x]的图象作翻折变换，即可得到函数[y=|sin2x|（x∈R）]的图象，如图所示.

观察函数的图象，可以看出[（0，π2）]上的图象重复出现，可知函数[y=|sin2x|（x∈R）]的最小正周期为[π2]，故正确答案为[B]项.

本题较为简单，可以首先画出函数[y=sin2x]的图象；然后将其翻折得到[y=|sin2x|（x∈R）]的图象，即可通过观察图象得出函数的周期.同学们需要熟练掌握三角函数[y=sinx]、[y=cosx]、[y=tanx]的图象以及周期.

四、最小公倍数法

若函数[y=f1（x）+f2（x）+f3（x）+⋅⋅⋅+fk（x）]，且[f1（x）、f2（x）、f3（x）、⋅⋅⋅⋅⋅⋅、fk（x）]都是周期函数，其最小正周期分别为[T1、T2、T3、⋅⋅⋅⋅⋅⋅]，若找到一个正整数[T]，使[T=n1T1=n2T2=⋅⋅⋅=nkTk]（[n1、n2、⋅⋅⋅⋅⋅⋅、nk]等均为正整数且互质），则[T]是[y=f1（x）+f2（x）+f3（x）+⋅⋅⋅+fk（x）]的最小正周期.运用最小公倍数法解题，需注意寻找各个系数[n1、n2、⋅⋅⋅⋅⋅⋅、nk]的最小公倍数.

例4.已知函数[f（x）=sinx+cos12x]，求函数[f（x）]的最小正周期.

解：由于函数[y=sinx]的最小正周期为[T1=2π]，

函数[y=cos12x]的最小正周期为[T2=4π]，

所以函数[f（x）]的周期[T=n1T1=n2T2=2πn1=4πn2]，

将[T1、T2]代入[2πn1=4πn2]，得[n1=2n2]，

因为[n1、n2]为正整数且互质，

所以[n1=2，n2=1]，

则函数[f（x）]的最小正周期[T=n1T1=2×2π=4π].

在本题中，函数[f（x）=sinx+cos12x]形如[y=f1（x）+f2（x）]，且[y=sinx]、[y=cos12x]均为周期函数，所以函数[f（x）]的周期[T=n1T1=n2T2=2πn1=4πn2]，求得[n1、n2]的最小公倍数，即可求得函数[f（x）]的最小正周期.

综上所述，定义法、公式法、图象法及最小公倍数法都是解答函数周期性问题的重要方法.同学们需要结合题目中所给出的函数解析式选择合适的解题方法，以快速解答问题.