多知识点融合考查的趋势

【摘要】2024年高考试题发生了很多的变化，特别是新课标卷，其中非常明显的是题量的减少.题量在由原来的22道减少到19道的情况下，而考查的知识点和知识范围并没有减少，这就必然出现一题考查多个知识点的情况，如新课标Ⅱ卷16题和19题.本文以2024年新课标Ⅱ卷16题为基础，分析思考新高考多知识点融合趋势，并进一步提出应对相关复习的策略.

【关键词】新课标；高中数学；解题技巧

今年高考已过，但余温未了，纵观几年高考，年年都有变化，今年变化也特别大，尤其是有新的省份加入使用的新课标卷，其中印象深刻的是题量的变化，多选题、填空题和解答题在原来基础上各减少一道题.题目数量减少了，但考查知识点未减少，所以很多题目均出现一题考查多个知识点的情况，或者一问考查多个知识点形式，如新课标Ⅱ卷16题的第二问，考查了函数求导、求函数极值和利用导数解不等式等知识点，而19题则直接将数列融入圆锥曲线当中进行考查.本文就多知识点融合考查的问题，以2024年新课标Ⅱ卷的16题为例进行分析思考，并提出相关复习策略.

1 真题分析及思考

例1（节选） 已知函数fx=ex－ax－a3.若fx有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围.

解析 由已知，函数fx的定义域为R.对函数求导得f′x=ex－a，令f ′x>0，即ex－a>0.

①当a≤0时，函数fx在R上单调递增，则无极值；

②当a>0时，由ex－a>0解得x>lna，则函数fx在lna，+∞上单调递增，在（－∞，lna）上单调递减，所以此时函数fx在x=lna处取得极小值，为flna=a－alna－a3.

由已知，当a>0时，要求不等式flna=a－alna－a3<0的解.因为a>0，则可设函数ga=1－lna－a2a>0，对函数ga求导得g ′a=－1a－2a，因为a>0，则g ′a=－1a－2a<0，所以函数ga在0，+∞上单调递减.又因为g1=1－ln1－12=0，所以ga=1－lna－a2<0时，其解为1，+∞.故当函数fx=ex－ax－a3的极小值小于0时，a的取值范围为1，+∞.

评注 该题是在函数知识情境下，具体考查函数求导、函数极值、函数单调性和不等式的解法.本题一般的解答思想步骤是：一是求出函数的定义域；二是对函数求导，并由导函数的符号判断单调性；三是结合函数的单调性求出函数的极值；四是根据函数的单调性解不等式.从往年的高考情况来看，多知识点的融合考查也有，但一般出现在小题中，像今年一样出现在大题的情况很少，该题把函数的单调性、极值和解不等式有机融合考查实属少见，究其原因，其实非常明显，要想在19个题量的前提下，尽可能的考查到所有的知识，则必须进行多个知识点的融合.在未来的新课程、新高考和新课标下，多知识点融合考查将会是一种发展趋势，不光是学科内同一知识点融合考查，还有多知识点的融合考查，以及数学知识点与物理、化学的跨学科融合，更甚至是跨学段知识点的融合考查等情况.

2 高考备考复习策略

根据前面的分析与思考，发现未来高考会出现多知识点融合考查，即同一知识点的融合考查、多知识点的融合考查、数学知识点与物理或化学的跨学科融合考查和高中知识与大学的跨学段知识点的融合考查等情况，这将会是一种发展趋势.所以在备考复习中，应注意：一是巩固基础，对所学知识进行熟练掌握，才能灵活应用知识，才能处理好多知识点融合问题；二是提升解决数学问题的基本技能，基本技能是处理知识的手段，掌握的基本技能越多，处理问题就越熟练；三是清楚高中数学六大核心素养以及落实形式，每一道题均必需落实考查数学核心素养；四是明确题目情境模式，“无情境不命题”，情境是题目存在的依据.下面具体看看多知识点融合的题型的分析及解答.

例2 已知一元二次不等式x2－4x+c<0的解集为x|n<x<2m0<n<2m，求18m+4n的最小值.

解析 已知一元二次不等式x2－4x+c<0的解集为x|n<x<2m0<n<2m，

所以2m和n是一元二次方程x2－4x+c=0的两根，则有2m+n=4.

因为2m>0，n>0，则有m2+n4=1，

所以18m+4n=18m+4n×1=18m+4n×m2+n4=10+9n2m+2mn≥10+29n2m·2mn=10+6=16.

当9n2m=2mn，即m=32n时，取得等号.又m2+n4=1，解得m=32，n=1.

所以当一元二次不等式x2－4x+c<0的解集为x|n<x<2m0<n<2m时，18m+4n的最小值为16，此时m=32，n=1.

评注 该题是在一元二次不等式知识情境下，具体考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系和基本不等式的应用，同时考查了数学抽象、数学运算和直观想象等数学核心素养.题目解题思路为：先理解一元二次不等式的解集，解集的端点即为对应一元二次方程的根；其次根据一元二次方程的根与系数的关系得到2m+n=4；然后就是纯粹解决基本不等式应用问题.题目将数学学科中的一元二次不等式、一元二次方程与基本不等式等多个知识点进行融合考查，解题时既要清楚一元二次不等式的解法，又要明白一元二次方程的相关知识，更要能具有利用基本不等式求最值的基本技能.

3 结语

今年高考给我们带来了很多的变化，如新课标Ⅱ卷16题第二问融合了函数单调性、函数极值和解不等式，19题则把数列问题融入到了圆锥曲线问题当中，均让人眼前一亮.在以往的解答题的考查当中，出现这样的融合情况很少，基本上是单一知识点的考查，如立体几何第一问基本上就是证明平行或者垂直.根据今年新课标Ⅱ卷的情况分析，结合实际情况，可以确定今后这样的高考命题将会是一种趋势变化.本文根据这些实际情况从2024年新课标Ⅱ卷16题出发，对其进行分析解答，由此产生思考发现知识点融合可能为：学科内部知识点融合、跨学科知识点融合和跨学段知识点融合，本文从学科内部知识点融合进行举例分析，阐述解题思想方法，以一概全.最后延伸到复习备考中，并提出几点小建议.

参考文献：

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