高中数学不等式解题的方法和技巧

【摘要】“不等式”是高中阶段数学教学的一个重要知识点，也是学科考试的一个必考知识点.因具有内容复杂繁多、变化灵活等特点，该知识点也是学科教学的一个难点，是考试中学生容易出错的题型.为帮助学生有效突破该重难点知识，提升学生解答此类题型的能力，避免其在此类题型上失分，本文先简要阐述高中阶段“不等式”问题的解题方法，然后结合典型例题对“分离常数”“整体代换”“辨析模式”“换元法”四种不等式解题技巧进行讲解，以供参考和学习.

【关键词】高中数学；不等式；解题技巧

“不等式”是高中数学考试的必考内容，因此，准确解答此类题型是高中学生必须具备的应试能力.作为高中数学教师，在实际教学中，应对“不等式”相关的题型进行分类、归纳，总结各类题型的形式特征和解题思路，在此基础上传授学生相关解题方法和技巧，以此完善学生的知识结构，全面提升其解答“不等式”问题的能力.

1 高中数学不等式解题的主要方法

1.1 比较法

此方法可细分为“作差比较”和“作商比较”两种形式.其中，前者的理论依据为：a＞ba-b＞0；a＜ba-b＜0.而后者的理论依据为：b＞0，ab＞1a＞b；b＜0，ab＞1a＜b.可见，“比较法”的实质是将两个式子或数字的大小判断问题转化为一个式子（或数字）与0（或1）的大小关系判断.

具体的解题思路为：通过作差或作商，将已知的两个式子或数字进行变形，然后判断所得变形式与“0”或“1”的大小关系，由此确定这两个式子或数字之间的大小关系.

例如 “比较（x+1）（x+2）和（x－3）（x+6）的大小”一题，便可运用作差比较法进行解答.即：因为x+1x+2-x－3x+6=（x2+3x+2）－（x2+3x－18）=20＞0，所以x+1x+2＞x－3x+6.

1.2 分析法与综合法

分析法指的是，以需要证明的结论为着手点，逐步分析、寻找能够使其成立的充分条件，直至找到的条件为已知条件或明显成立的客观事实（已证明的定理、性质或公理、定义），以此证明结论的正确性.其解题思路为“执果索因”.

综合法指的是，从已知条件出发，通过一系列基于客观事实（已证明的定理、性质或公理、定义）的变形和推断，得出欲证明的结论，从而证明命题成立，结论准确.其解题思路为“由因导果”.

通过上述定义不难看出，分析法和综合法之间具有紧密的内在联系，二者在逻辑思维上存在互逆性.实际解题过程中，通常将两种方法整合运用，先通过分析法寻找解题切入点，梳理证明思路，然后利用综合法进行证明过程的叙述和表达.

例如 以“求证：2+7＜3+6”一题为例.解题时，可先用分析法梳理思路：即欲证明该不等式成立，只需证2+72＜3+62，即证明9+214＜9+218，证明14＜18，证明14＜18.而“14＜18”是客观事实，由此推断出命题成立.基于“分析法”获得的解题思路，可通过“因为14＜18，所以14＜18，即9+214＜9+218，即2+72＜3+62，所以2+7＜3+6”数学语言完成解题.

1.3 缩放法

该方法指的是在证明不等式的过程中，将某些部分的值放大或缩小，以此使不等式得到简化，使式中的大小关系或逻辑关系得到凸显，从而完成命题的论证.此方法的应用要点在于分析证明式的形式特点，明确缩放思路.

例如 以“若a＞b＞c，求证1a-b+1b-c+4c-a≥0”一题为例.通过对证明式的观察分析，可以看出：不等式左边前两项均为正值，第三项为负值且没有“b”这一元.所以解题时可以“缩掉b”作为切入点.即：因为1a-b+1b-c≥21a－bb－c，a－bb－c≤a－b+b－c22=a-c22 ，所以1a-b+1b-c≥4a-c，故证明1a-b+1b-c+4c-a≥0.

2 高中数学不等式解题技巧

2.1 分离常数解决问题

在解答“求代数式最值”类题目时，若代数式中含有分式且分子的最高次数高于分母的最高次数，便可利用“分离常数”这一解题技巧快速解答.核心思路为：将分子转化为分母的倍数，通过转化变形，将代数式简化并分离出常数，使得代数式的积为定值，然后利用不等式的基本定理完成求解.

例如 以“若x＞0，y＞0，x+2y=4，求代数式x+12y+1xy的最小值”一题为例.可按照以下思路运用“分离常数”的技巧进行求解：因为x+2y=4；所以x+2y+1=5.故x+12y+1xy=2xy+x+2y+1xy=2xy+5xy=2+5xy.根据不等式基本定理“a+b≥2ab”可知：x+2y≥22xy，即4≥22xy，当且仅当x=2y=2时取等号.由此可知，0≤xy≤2，则5xy≥52，即x+12y+1xy≥2+52，由此得出代数式的最小值应为92.

2.2 整体代换解决问题

在解答不等式题目时，应细致审题，在仔细观察已知条件和代数式形式特征的基础上，分析、探寻二者之间的内在联系，以内在关系为切入点，将已知条件整体代入到题目中，替换掉某个常数或代数式，以此将题目简化变形为可以套用不等式基本定理的式子，从而完成题目的求解.通常题目中包含“a+λb=1”这类已知条件时，应优先尝试利用整体代换这一技巧进行解题.

例如 以“已知m+2n=1且m、n均为正数，求1m+1n的最小值”为例.看到题目中存在“a+λb=1”类型的已知条件，且求解代数式中也包含“1”，解题时便可利用“整体代换”的方式对1m+1n进行转化变形，即：1m+1n=m+2nm+m+2nn=1+2nm+mn+2=3+2nm+mn.根据不等式基本定理“a+b≥2ab”可知：2nm+mn≥22，则1m+1n≥3+22.当且仅当2nm=mn时取等号，故本题答案为3+22.

2.3 换元解决问题

在不等式解题过程中，换元法与整体代换方法均是“转化思维”的一种应用形式，但二者具有明显的区别.整体代换法通常是将已知条件整体代入到题目中，替换对象通常为某个常数，而换元法则是创造一个单一变量，利用其替代题目中的某个较为复杂的表达式.在经过对此变量的运算后，再将原表达式代入式子中进行计算求解，通过这种解题技巧能够快速找到题目中蕴含的逻辑关系，创造能够运用不等式基本定理的条件并简化运算，从而实现题目的快速、准确解答.（例题略）