解析几何中定点定值问题的解题策略与技巧研究

【摘要】本文旨在深入研究解析几何中定点定值问题的解题策略与技巧.通过对定点定值问题的典型例题进行分析，探讨解题过程中的思维路径和关键步骤，同时详细阐述如何利用代数方法、几何方法以及数形结合思想有效解决定点定值问题.

【关键词】解析几何；定点定值；解题技巧

1 引言

解析几何作为数学的重要分支，其研究内容涵盖了平面几何与代数之间的紧密联系.在解析几何中，定点定值问题是一类常见且具有挑战性的问题.这类问题通常涉及曲线的性质、方程的建立与求解等方面，需要综合运用代数、几何以及数形结合的思想进行解决.因此，研究解析几何中定点定值问题的解题策略与技巧，对于提高解题能力、深化数学理解具有重要意义.

定点定值问题的精髓在于探寻在运动变化过程中始终保持稳定的元素，即不变性.因此，解决这类问题的关键在于深入剖析运动变化的内在机理，从而揭示这一变化是由哪些关键量的变动所主导的.为了实现这一目标，我们巧妙地引入参变量，并紧密结合题目描述，构建参变量与已知量之间的内在联系.在此过程中，我们致力于确保定点定值能够独立于参变量的变化而保持恒定，从而揭示出问题的核心并解决之.

2 定点问题

例1 已知经过椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一点（x0，y0）的切线方程为x0xa2+y0yb2=1；椭圆E：x26+y2=1，P为直线x=3上的动点，过点P作椭圆E的两条切线，切点分别为A，B，求证：直线AB过定点.

证明 设切点为A（x1，y2），B（x2，y2），

点P（3，t）.

由已知结论可得直线AP的方程：x1x6+y1y=1，直线BP的方程：x2x6+y2y=1，通过点P（3，t），

所以有x1·36+y1·t=1x2·36+y2·t=1，

所以点A，B满足方程：x2+ty=1，

所以直线AB恒过点：x2－1=0y=0，即直线AB恒过点（2，0）.

例2 已知椭圆C：x22+y2=1，设直线l：y=kx+m与椭圆C交于不同的两点M，N，点Q2，0，若直线MQ的斜率与直线NQ的斜率互为相反数，求证：直线l过定点.

证明 联立y=kx+m，x22+y2=1，

得2k2+1x2+4kmx+2m2－2=0.

设Mx1，y1，Nx2，y2，

可得x1+x2=－4km2k2+1，x1x2=2m2－22k2+1，

由题知kMQ+kNQ=0，

即y1x1－2+y2x2－2=kx1+mx1－2+kx2+mx2－2=2kx1x2+m－2kx1+x2－4mx1－2x2－2=0，

即2kx1x2+m－2kx1+x2－4m=0，

解得k=－m，

所以直线l的方程为y=kx－1，故直线l恒过定点1，0.

3 定值问题

例3 设点P是双曲线x24－y216=1右支上任意一点，过点P分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为E，F，则PE·PF的值为．

解析 渐近线方程为2x±y=0，

设Px0，y0，则x204－y2016=1，

所以4x20－y20=16．

由点到直线的距离公式有

PE=2x0+y05，PF=2x0－y05，

所以PE·PF=2x0+y05·2x0－y05=4x20－y205=165.

故答案为：165.

例4 如图1，已知椭圆x24+y23=1， 与坐标轴不垂直的直线l交于M，N两点，线段MN的中点为P，求证：kMN·kOP（O为坐标原点）为定值.

证明 由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+mk≠0，

联立y=kx+mx24+y23=1，

得3+4k2x2+8kmx+4m2－12=0.

Δ>0，即m2<4k2+3，

设Mx1，y1，Nx2，y2，

则x1+x2=－8km3+4k2，

y1+y2=kx1+x2+2m=6m3+4k2，

所以P－4km3+4k2，3m3+4k2，

所以kOP=3m3+4k2－4km3+4k2=－34k.

所以kMN·kOP=－34为定值.

解题策略 （1）设定合适的参数.参数的选择应根据题目的具体条件和要求，以及所研究的圆锥曲线的几何性质来进行.参数设定得恰当，可以大大简化后续的计算过程.（2）充分利用圆锥曲线的几何性质、已知条件、点在曲线上，联立直线和圆锥曲线的方程，利用点差法等帮助我们建立方程或方程组，从而更准确地描述问题的数学本质.同时，可以进一步约束参数的取值范围，使问题更加明确.（3）寻找不受参数影响的定量：①通过对方程进行变形或组合，可以发现某些项或表达式与参数无关.这通常涉及一些恒等式或等式性质的应用，如平方差公式、和差化积等.②圆锥曲线具有许多几何性质，如对称性、焦点性质等.这些性质可以帮助我们识别那些与参数无关的量.③通过对方程组进行设而不求、基本变换消元和整体构造代入操作，可以消去参数，从而得到只包含定点或定值坐标的方程.④利用题目的特殊条件：有时候，题目会给出一些特殊条件或提示，这些条件或提示可以帮助我们直接找到定点或定值.⑤通过举例或特殊值法验证.在找到可能的定点或定值后，可以通过举例或取特殊值的方法进行验证.

4 结语

本文通过系统的理论分析和案例实践，揭示了参数设定、方程构建、消参处理以及结果验证等关键步骤中的精妙之处.这些策略和技巧不仅有助于提高解题效率和准确性，更能培养读者的逻辑思维能力和空间想象力.期待广大读者能够从中受益，激发对解析几何的兴趣与热情，共同推动数学学科的发展与进步.

参考文献：

[1]黄玲玲.例谈圆锥曲线中定值、定点及定线问题的解题策略[J].数学通讯，2018（01）：21-25.

[2]王浩，潘静，陈次光.圆锥曲线中一类定值定点问题的解题策略及拓展[J].中学生数学，2024（07）：16-18.

[3]高玉荣.圆锥曲线中定点问题的解题策略[J].数理化解题研究，2024（09）：24-27.