导数思维在高中数学解题中的应用实践

【摘要】在高中教育体系中，数学占据重要地位，学科知识点涉及内容过多，难度相对较大，各个知识点之间有一定的关联性.为了加深学生对导数知识的理解，需要为学生打下坚实的导数学习基础.在新课程改革大背景下，导数概念运用于高中数学教学中，成为高考热门话题，导致导数和数学解题关系愈发密切.在高中数学解题中，应用导数思维，可降低学生的解题难度，提高学生的解题效率，使学生的数学学习能力不断提升.本文概括高中数学解题教学中导数思维的运用方法，希望为高中数学教师提供教学新思路，提高学生的解题效率.

【关键词】 导数思维；高中数学；解题应用

在高中数学教学中，知识点抽象复杂，且对学生正确解答问题的影响因素众多，为此教师要重视多元化教学方法的运用.导数知识是高考必考重点内容.培养学生导数思维，使其将导数知识灵活运用到解题当中，

能够提高学生的解题效率，提高数学学习能力，促进学生核心素养的发展.

1 导数思维在求解参数范围中的运用

在高中数学教育体系中，有关求解参数取值范围的习题属于常见类型，利用导数思维，解决此类问题，教师要培养学生认真审题的良好习惯，以便让学生进一步判定求解问题是恒成立[1]，还是存在性问题.此外，解答求解参数范围问题时，一般解题思路以分离参数为主，对于先分离参数，还是求导后分离参数的情况还要做到具体问题具体分析，以免学生形成思维定势，影响做题效率.值得注意的是，对于先求导后分离参数的习题，可从问题入手，找到问题的关键点，以此根据自身所掌握的知识，克服解题难点，提高解题准确率.

例1 假设曲线y=lnx+ɑx2，ɑ为常数，没有斜率为负的切线存在，请问实数ɑ的取值范围是（ ）

（A）－12，+∞.

（B）－12，+∞）.

（C）（0，+∞）.

（D）0，+∞）.

解析 对于高中学生而言，此类问题的解题难度比较低，侧重于考查学生对于切线知识的理解，教师指导学生深入分析问题，并从问题中的“没有斜率为负的切线存在”这一已知条件入手，将问题转变成：在x＜0的情况下，曲线导数y≥0恒成立.此时指导学生运用导数思维，对曲线方程求导，可得出y′=1x+2ax，把问题转变成x∈（0，+∞）情况下，1x+2ax≥0恒成立，通过分离参数，得出a≥－12x2，学生通过观察发现f（x）=－12x2在定义域内单调递减，同时因f（x）＜0，已知条件中a≥0，得出ɑ的取值范围是0，+∞），即（D）.

2 导数思维在比较数值大小中的运用

在高中数学解题教学中，导数思维运用相对普遍，其中比较数值大小非标准习题，运用导数思维，便可将复杂多变的习题化繁为简[2]，得出准确的结果，提高学生的解题有效性.但是部分问题还需要二次求导，对原函数单调性进行判定，使学生理清二次求导解题思路，找到解决问题的关键点，克服解题难点，强化学生的解题能力.高中数学教师在解题教学中，运用导数思维，要重视例题的筛选与讲授环节，使学生在比较数值大小时，找到解题的规律，提高学生的解题正确率.

例2 假设函数f（x）=sinxx，0＜x1＜x2＜π，如若a=f（x1），b=f（x2），请问ɑ与b的大小关系是（ ）

（A）ɑ＞b.（B）ɑ＜b.

（C）ɑ=b.（D）不确定.

解析 由于这一问题涉及函数知识点，对学生来讲4Wbi3YUPEU1/xnwGCfFZOQ==解题难度比较大，难以判定其单调性，要对其进行求导，运用导数思维，对导数进行分析，明确其单调性，如若无法判定，还要进行二次求导.因f（x）=sinxx，运用导数思维，求导得出f'（x）=xcosx－sinxx2，随后教师要让学生进一步判定f'（x）在给定区间的正负性质.假设g（x）=xcosx-sinx，学生经过分析，无法对其正负进行判定，学生还要继续求导，g′（x）=-xsinx+cosx-cosx=-xsinx，发现位于（0，π）中，g′（x）＜0，说明g（x）属于减函数，也就是g（x）＜g（0）=0，转变成f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，在已知条件中，0＜x1＜x2＜π，说明f（x1）>f（x2），表示ɑ＞b，选择正确选项（A）.

3 导数思维在函数图象判定中的应用

在高中解题教学中，利用导数分析函数图象，属于最基本的运用方法，解决此类问题，需要学生深入理解导数和函数的内在关联性[3]，运用导数思维，依照导函数的取值正负范围，对原函数单调性进行准确判定.同时，依照导函数变化特点，对原函数斜率变化进行判定，以此画出原函数图象.为让学生运用导数思维解决函数图象判定问题[4]，教师要发挥引导促进作用，帮助学生建立完整的导数学习体系，使学生掌握有关解题方法，以此克服学习难点，提高学生的数学学习能力.

例3 观察图1，属于函数y=f（x），y=g（x）的导函数图象，请问y=f（x），y=g（x）的图象可能是以下哪个选项？

（A） （B）

（C） （D）

解析 学生想要解决此类问题，教师要指导学生依照导函数对原函数图象加以判定，这属于导数灵活运用的问题.利用导数思维，准确判定导数图象与原函数的内在关系.学生对图一进行观察发现，y=f（x）的导函数会随着x值升高而下降，说明原函数随着x的升高是斜率下降，图象呈上凸特点.y=g（x）函数随着x的升高而变大，说明原函数随着x的增大斜率增加，图象呈下凹特点.观察以上四个选项，可以直接将选项（A）与选项（C）排除，进一步分析题意，发现x=x0处于两个导函数相交，也就是拐点处原函数有大小相一致的斜率，进一步分析选项（B）与选项（D），发现正确答案为（D）.

4 结语

综上所述，在高中数学教学中，导数知识点占据重要地位，也是解决函数问题的有效手段.为了强化学生的导数解题能力，高中数学教师要注重培养学生的导数思维，使学生根据相应的问题，深入分析解题过程，形成良好的导数思想，让学生快速找到解决问题的关键点，提高学生的问题解决效率.与此同时，高中数学教师还要让学生多训练、多反思、多总结，加深自身对导数知识的理解，达到举一反三、融会贯通，有效解决实际问题，强化学生的问题解决能力.

参考文献：

[1]张跃骜.思维导图在高中数学解题中的应用实践与反思[J].数学教学通讯，2023（21）：53-55.

[2]邓家利.高中数学解题中导数的应用分析——以“导数求解函数”为例[J].数学之友，2022，36（24）：34-36.

[3]王学建.高中数学“学科育人”的五个维度——以“导数在函数单调性中的应用”教学为例[J].中学教学参考，2022（20）：5-720.

[4]陈姗姗.数学解题中理解“符号表征“的策略探究——以一节“导数习题课”的教学为例[J].中小学数学（高中版），2022（05）：3-5.