[摘 要] 涉及双变元或多变元代数式的最值问题,一直是各类考试的热点问题之一. 研究者剖析一道多变元代数式最值模拟试题的内涵,利用基本不等式、函数、导数、方程思想等,研究寻求并归纳总结该类试题的一般破解之法,帮助学生打开求解思维.
[关键词] 多变元;基本不等式;代数式;通性通法
因函数的基础性、抽象性、逻辑严谨性等特征,故常与其他知识交叉考查[1]. 双变元或多变元的代数式最值问题或取值范围问题是函数与不等式融合较高的一类问题,常在高考、各级竞赛、强基计划考试中出现[2]. 此类问题往往难度较大,思维角度多变,方法多样. 在解完题之后,要不断反思总结,多角度切入,寻找通性通法,从而达到触类旁通的效果. 下面结合一道多变元代数式最值模拟试题进行说明.
试题呈现
(2022年天津滨海新区塘沽第一中学校一模)已知a,b,c∈R+,且ab+2ac=4,则++的最小值是______.
问题剖析
本题是一道已知多变元代数式定值条件求解最值的问题,通过提取公因式,将“和”转化为“积”,即将ab+2ac=4转化为a(b+2c)=4,巧妙地把变形后的代数式有机地融合到对应的代数式中,从而确定多变元代数式的最小值. 破解问题的关键在于,在已知条件下,认真审题,多角度切入思考. 可以通过代入、常值代换、消元等方法,借助基本不等式求最小值,也可以借助方程思想[3],利用“根的判别式”去求解,还可以通过构造函数模型,利用求导及函数单调性知识解得最小值.
解法探究
思路1 灵用“通分”.
解法1 由a,b,c∈R+,ab+2ac=4,得a(b+2c)=4. 通分后结合基本不等式,得++=+≥2=4,当且仅当=,即a+b+2c=4时等号成立. 故所求代数式的最小值为4.
评注 观察到所求代数式的前两项通分后的分子为第三项的分母,分母则为已知代数式,因此通分后结合基本不等式求解.
思路2 敏借“常值”.
解法2 由a,b,c∈R+,ab+2ac=4,得·a·(b+2c)=2. 结合基本不等式,得++=++=(a+b+2c)+≥2=4,当且仅当=,即a+b+2c=4时等号成立. 故所求代数式的最小值为4.
评注 观察到已知式子与所求代数式的前两项的分子存在关系,于是将常数代换为字母,最后化为熟悉的基本不等式模型求解.
思路3 统一“变量”.
解法3 由a,b,c∈R+,ab+2ac=4,得b+2c=.结合基本不等式,得++=++=+≥2=4,当且仅当=,即a=2,b+2c=2时等号成立. 故所求代数式的最小值为4.
评注 利用已知条件将另两个变量用同一个变量表示,将所求代数式转化为只含有一个变量的代数式,然后通过简单的通分变形,转化为基本不等式模型. 这种解法的关键在于用含一元的简单代数式表示含两元(多元)的复杂代数式.
总评 上述3种解法通过观察已知条件与所求代数式之间的联系,利用直接转化、常数代换或消元(统一变量)的思路,将所求代数式转化为熟悉的基本不等式模型. 选取合适的方法配凑出基本不等式模型是关键.
思路4 巧用“导数”.
解法4 由a,b,c∈R+,ab+2ac=4,得b+2c=,则++=++. 构造函数f(a)=++,求导可得f′(a)=+.当a>0,b>0,c>0时,由f′(a)=0得a=2,由f′(a)<0得0<a<2,由f′(a)>0得a>2. 所以,f(a)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增. 因此,当a=2时,f(a)=f(2)=4. 故所求代数式的最小值是4.
评注 对已知条件进行变形,利用消元思想统一变量,建立函数模型,结合函数求导方法,确定导函数的零点,进而求出其最小值. 将多元问题转化为一元问题,借导数知识求最值,是处理该类问题的重要方法之一. 这种解法目标明确,思路简单,但是其计算量较大.
思路5 妙使“Δ”.
解法5 设++=t(t>0),在该式两边同时乘a(b+2c)·(a+b+2c),可得2(b+2c)(a+b+2c)+2a(a+b+2c)+8a(b+2c)=ta(b+2c)(a+b+2c).
结合a(b+2c)=4,整理得2(a+b+2c)2-4t(a+b+2c)+32=0. 关于(a+b+2c)的二次方程有实根,所以Δ=16t2-256≥0,解得t≥4. 故所求代数式的最小值为4.
评注 根据题目条件,设所求代数式的值为t(t>0),然后乘分母的最小公倍数,变形得到关于参数(a+b+2c)的二次方程,利用方程有实数解的条件,结合根的判别式确定t的取值范围求解. 该方法需要将化简后的式子根据题目已知条件做变形处理.
<D:\DW\数学教学通讯(下旬)\2023年\2023数学教学通讯中旬(02期)\aa-2.tif> 变式拓展
探究 保留原问题的基本条件,通过参数引入,将原问题推广到一般问题,并为学生提供该类问题的通性通法.
分析 上述问题是关于a,b,c三元的代数式最值问题,可以对已知等式中左边的代数式提取公因式(一元代数式)变成积的形式,而所求代数式是以公因式、另一因式、公因式加另一因式为分母的分式(分子为常数)之和. 因此引入参数λ,μ(λ>0,μ>0)表示所求代数式中的分式的常数分子,k(k>0)表示已知代数式的常数值,A表示关于a的单项式,B表示关于b的单项式,C表示关于c的单项式.
变式 已知a,b,c∈R+,λ,μ,k(λ>0,μ>0,k>0)为常数,A为关于a的单项式,B为关于b的单项式,C为关于c的单项式,且AB+AC=k,则++的最小值是_____.
解析 由a,b,c∈R+,λ>0,μ>0,k>0,且AB+AC=k,结合基本不等式,得++=+≥2=2,当且仅当=,即A+B+C=时等号成立. 故所求代数式的最小值为2.
评注 从多角度切入,寻找一道多变元代数式最值模拟试题的多种解法,挖掘其内涵,引入参数,建立该类试题的基本模型,并得到相应结论. 对该模型及结论,可继续深入研究和推广.
破解多变元代数式最值或取值问题,最基本的方法是通过消元、代换,将多变元代数式转化为基本不等式模型. 函数与方程思想、求导知识也是解决该类问题的重要方法. 引导学生用多种方法求解,不仅培养学生举一反三、触类旁通的能力,还促进学生形成良好的思维习惯,掌握基本的思想方法与解题技巧. 在此基础上,引导学生探究深层次的变式模型,总结出变式模型的通性通法及结论,可提高学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力,落实数学学科核心素养.
参考文献:
[1] 潘贤冲. 一道双变元代数式试题的探究[J]. 中学数学教学参考,2022(36):39-40.
[2] 栾功. 一道2022年清华大学新领军试题的解法探究[J]. 中学生数学,2023(5):30-31.
[3] 郭树军. 一道双变元最值试题的多解探究[J]. 中学数学教学参考,2022(12):33-34.
基金项目:云南省教育厅科学研究基金项目“初中生数学问题提出能力测评模型的构建”(2023Y1015).
作者简介:肖跃(1998—),全日制研究生在读,主要从事数学教育研究工作.
通信作者:王彭德(1966—),教授,硕士生导师,大理大学数学与应用数学专业负责人,云南省数学教育学会副秘书长,云南省应用统计学会理事,主要研究方向为统计评价与数学教育.