概念教学中发展数学学科核心素养的实践与研究

[摘 要] 概念是数学的细胞，是学生思维的起点. 研究者以“数系的扩充和复数的概念”教学为例，从教学分析、教学实践与教学思考三个维度具体谈一谈设计理念与一些感悟. 教学实践主要从如下几方面展开：创设情境，引发认知冲突;合作探究，重温概念发展;借鉴史料，自主构建新知;应用概念，巩固提升理解;总结归纳，促进概念升华.

[关键词] 概念;核心素养;复数

数学是由概念、命题等经推理而形成的逻辑体系. 其中，概念反映了数学事物的特征与本质属性，体现的是现实世界的数量关系与空间形式，它在数学学科中占有重要地位. 但一些教师在实施概念教学时，常采用“一个定义和几个注意事项”去完成，导致学生应用概念时问题百出.

对于数学学科核心素养背景下的概念教学，究竟该如何实施呢？笔者对此进行了大量研究，现以“数系的扩充和复数的概念”教学为例，谈一谈设计理念与一些感悟.

教学分析

“数系的扩充与复数的概念”是高中阶段重要的基础知识之一. 其中数系的扩充看似简单，但对学生后续学习有着深远的影响. 有些教师在此处常常忽略其作用，直接将概念呈现给学生，导致学生无法感知数系的扩充源于生活实际需要，以及数学内部的矛盾，更无法借助概念的学习促进理性思维与数学学科核心素养的发展.

基于以上分析，笔者在执教本节课时进行了大量思考与研究，力求通过与学生的积极互动，以及数学史料的应用，拓宽学生的数学视野，让学生对数系的扩充产生别样的情感，为学生后续学习奠定基础.

教学实践

1. 创设情境，引发认知冲突

课堂伊始，教师借助多媒体展示意大利数学家卡尔丹的故事，让学生重温数学发展史，体验数学概念的发现是多么有趣且有意义，而且每一个发现并不神秘，数学家也是从生活中的一些小问题着手进行分析的.

问题1 有什么办法可以将10分为两部分，让这两部分的乘积恰巧为40？

设计意图 播放数学家的故事，意在激发学生的学习兴趣，让学生感知数学家严谨的科研精神，为课堂教学奠定良好的情感基础. 问题的提出，是为了引发学生认知冲突，让学生处于“愤、悱”的状态，对接下来的教学内容充满探究欲.

问题2 实数集中是否存在满足上一个问题的两个数？

设计意图 此问可打破学生的思维定式，让学生在一定的认知冲突下感知现有认知无法满足生活实际需要，一方面体现出新知学习的必要性，另一方面激发学生的创造意识，为接下来的深入探究奠定基础.

2. 合作探究，重温概念发展

问题3 大家说说数集的形成，经历了几次扩充？分别是在什么情况下发生的？

设计意图 学生在本节课前已经接触过整数、自然数、分数、有理数、无理数与实数等，要求学生回顾数集扩充过程，也就是让学生将数集的发展史捋一遍，即“自然数集—整数集—有理数集—实数集”. 通过梳理数集扩充历程，可发现学生的最近发展区，为本节课新知的教学奠定基础.

问题4 数集的每一次扩充都能解决一些问题，请大家以合作学习的方式来探讨每一次数集扩充所解决的问题都有哪些.

设计意图 引导学生通过小组合作学习的方式来回顾、思考、总结每一次数集扩充的情况，感知数集扩充的必要性，完善认知结构.

师生、生生积极互动后，将每一次数集扩充与所解决的问题板书（如图1所示）.

由此学生充分体验到每一个数集都是因为实际需求而产生的，而非无中生有. 此过程，也让学生体验到数集扩充源于数学内部矛盾与社会发展.

问题5 数集的几次扩充存在什么共同点？

设计意图 此问意在培养学生概括、表达与观察的能力. 通过梳理与整理四次数集扩充的情况，为再次数集扩充做铺垫，从中感知数集扩充的合理性与科学性，并尝试提炼一般性的原则.

3. 借鉴史料，自主构建新知

将数学史应用在课堂中可有效提高学生学习积极性，通过对数学史与现状的了解，学生会对当下学习产生浓厚的探究兴趣. 实践发现，数学史的应用对发展学生的数学精神，促进学生成人成长等具有重要价值与意义. 数学史是连接人文与数学的桥梁，是促进学生数学学科核心素养发展的重要载体.

本节课的教学，可借助五百多年前卡尔丹所面临的一个“怪东西”——-15的开平方问题为材料，带领学生感知的解决需要新知识. 在-15的开平方问题的牵引下，将学生的思维转移到找一个数的平方等于-1的问题上——板书：（？）2=-1.

设计意图 卡尔丹问题的再现，将学生的思维转移到找一个数的平方等于-1的问题上，板书的应用使学生对问题的理解更加明晰，这是留白艺术中的一种，为学生提供了更加充足的思考空间，以及为复数的引入做好了铺垫.

师：为什么我们要引入i这个字母呢？究竟是谁引入的呢？

生1：i为英文单词imaginary（虚幻）的首字母. 虽然这个数学矛盾是卡尔丹发现的，但引入i这个字母的是瑞士数学家欧拉，他被誉为“分析的化身”. 公元1777年，他将i这个字母引入“数”这个大家族. 纵观其发展过程，从16～18世纪，历史的车轮推进了两百多年，由此也能看出如今我们信手拈来的知识是多么来之不易，学科发展的每一步都充满了艰辛与创造性.

问题6 当我们引入字母i后，能解决卡尔丹发现的数学矛盾吗？

问题7 尝试写出其他含有i的数.

设计意图 引导学生借助新学的概念来解决卡尔丹发现的问题，这是促使学生掌握i的过程. 要求学生尝试写出其他含有i的数，意在培养学生对新知的应用意识，深化学生对复数的理解，也为构建复数的代数形式夯实基础.

问题8 尝试写一种形式，将你所写出来的数都包含到里面去.

设计意图 数学讲究符号化与形式化，复数的代数形式就将符号化与形式化完全包含在里面，这是本节课的教学重点与难点. 随着问题的逐渐深入而让学生感知从特殊到一般的数学思想，复数的代数形式也在此过程中自然生成，这对促进学生发展抽象能力具有重要意义.

问题9 思考a+bi（a，b∈R）是否一定为虚数.

设计意图 此问意在引发学生自主分类复数，深化学生对复数概念的认识，从根本上突破本节课的教学难点. 当学生给出相应结论后，可进一步要求学生说一说N，Z，Q，C，R这几个集合间的关系. 在完善学生认知结构的同时进一步提升学生的应用能力.

4. 应用概念，巩固提升理解

例1 写出下列复数的实部和虚部，分别指出相应的实数、虚数、纯虚数：2-3i，4，-+i，3i，2+3i，0.

变式题：说一说下列数中的虚数、实数与纯虚数，并指出复数的实部及虚部：0.618，0，i，i2，2-9i，i3，7+3i，2+.

例2 当实数m为何值时，复数z=m（m-1）+（m-1）i分别为实数、虚数与纯虚数？

变式题：当实数m为何值时，复数z=m2+m-3+（m2-1）i分别为实数、虚数与纯虚数？

问题10 什么情况下，复数z=a+bi（a，b∈R）与复数z=c+di（c，d∈R）相等？

例3 若（x+y）+（x-3y）i=（2x-5）+（3x+y）i，x，y∈R，求出x，y.

变式题：已知（2x2-3x-2）+（x2-5x+6）i=0，实数x的值是多少？

设计意图 前两个例题与变式题的应用，意在强化学生对复数分类标准的认识;问题10的设置，以及第三个例题与变式题的应用，主要是为了深化学生对复数相等的充要条件的理解，让学生灵活应用复数概念的内涵与外延实施解题.

5. 总结归纳，促进概念升华

师：请大家回顾本节课的学习，说说你的收获与感悟.

学生在回顾环节中提出：卡尔丹提出了问题，欧拉引入i而解决了问题. 由此可见，发现问题与解决问题是推动数学发展的原动力. 卡尔丹发现问题为欧拉解决问题提供了基础，说明发现问题比解决问题更重要. 在交流过程中，不少学生还提出：是否存在复数之外的数呢？教师趁机渗透“学无止境”“科学严谨”等理念：若将数学比喻成一片无边无际的大海，那么我们每一个人都是海洋上漂浮的一叶扁舟，需要在广阔的海洋中永无止境地不断探索.

设计意图 师生共同总结，不仅是对知识、方法与思想等的梳理与提炼，更是引导学生体会数集扩充过程中所蕴含的实践能力与创新精神，促使学生深切感知人类理性思维的伟大，以激发学生的数学情怀，提升学生的数学学科核心素养.

教学思考

1. 情境揭露教学规律

恰当的教学情境能有效激活学生的思维，将学生带入探究状态. 对概念教学情境的创设，教师首先要对学生的“情境需要”有一个宏观的认识，这里所说的“情境需要”包含真实情境、科学情境、历史情境与数学情境等.

本节课，教师基于学生已有认知结构，将著名数学家卡尔丹所发现的数学问题作为情境，一方面让学生感知数学家也会遇到解不开的问题，另一方面让学生充分体验与数学家一起发现问题、思考问题与解决问题的过程. 这个情境告诉我们，数学问题的发现源于生活，而解决数学问题则需要一定的创造意识.

2. 问题突破教学难点

问题是数学的心脏，是学生思维的源泉，“学贵有疑”的理念同样离不开问题的支撑. 事实证明，一些重要的数学概念、定理、公式与应用等都是在解决问题中逐渐形成的. 《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》强调提高学生发现问题、提出问题、分析问题与解决问题的能力（简称“四能”）.

纵观本节课，教师以问题驱动的方式启发学生思维. 学生在问题链的引导下追溯数的发展史，通过前几次数集扩充的分析与整理，形成了课堂中的“火热思考”与知识的“再创造”，并从中抽象出数集扩充需要遵循的基本原则与方法，成功突破了本节课的教学重点和难点.

3. 合作拓展教学深度

合作探究是抽象数学概念最主要的方式. 从数学学科核心素养的角度来看，抽象素养处于首要位置，其具体表现形式为数学概念、规则、命题与思想方法等的形成. 概念教学的关键点是引导学生依靠抽象思维与积极互动对数学事物进行归纳、分析、类比，概括事物本质，实现思维从感性到理性的转变.

本节课，关于数系的发展与复数的引入等，都由学生的合作探究而来，教师只是在适当的时候给予引导. 尤其是虚数的形成史告诉我们：哪怕是数学家，对数的认识也是由浅入深、从无到有的过程. 课堂中，学生亲历数系的发展过程，不仅切身感知数学家的认知发展，还真切体会数学精神和数学魅力.

4. 史料渗透数学文化

数学文化是数学史不可分割的一部分，它可以充分体现“真、善、美”三重维度，培养学生数学学科核心素养和社会主义核心价值观. 数学史渗透数学文化可促进学生更好地体验数学概念、数学语言、数学方法等的发展历程，深化学生对它们的理解.

复数的形成与发展经历了艰辛的过程，是数学家们辛勤耕耘的结果，是一项伟大的创新. 课堂上，教师带领学生感知复数的形成历程，从真正意义上理解它的来龙去脉，发现虚数属于一种发明、创造，从中感知它的力量、精神与文化.

总之，概念教学促进学生数学学科核心素养的发展，值得我们深入思考与研究. 教师不仅要对教材所呈现的知识了如指掌，还要对其来龙去脉有所了解，只有知道了它的“前世今生”，才能带领学生从真正意义上理解教学内容，发展学生的数学学科核心素养，实现教学相长.

作者简介：梁荣花（1984—），本科学历，中学一级教师，从事高中数学教学工作.