关注知识联系突出融合关系发展核心素养

[摘 要] 关注数学联系，突出知识间的融合关系，可促使学生更好地理解教学内容，提升学习能力，发展数学核心素养. 文章以“抛物线的标准方程”教学设计为例，从“新旧联系，揭露主题”“多元联系，构建新知”“变式应用，巩固新知”“归纳总结，提炼升华”四个环节谈一谈设计理念与思考.

[关键词] 联系;融合;核心素养

辩证唯物主义认为事物之间具有普遍联系的特征. 数学学科与其他学科之间、数学与现实生活之间、数学知识与知识之间都有千丝万缕的联系. 关注知识联系，挖掘其中的融合关系是完善学生认知结构，发展学生数学学科核心素养的必经之路. 数学知识结构可视为与数学相关的各种联系所组成的蛛网结构，它由纵横交错的联系所组成，其中包含了并列、相似等层级结构[1].

教学设计

1. 新旧联系，揭露主题

问题1 在本节课之前，大家已经探索过一些曲线，还记得当时研究了它们的哪些内容吗？用了哪些研究方法或思路？

问题2 本节课将要研究抛物线这一类曲线，猜想需要研究它的哪些内容，可以用什么方法来研究？

上述两个问题成功激发了学生的兴趣. 经回忆，学生提出之前探索过的曲线有椭圆、双曲线等，着重从它们的概念、标准方程、几何性质与应用等方面展开了分析与探究，基本思路可分为如下几步：①抽象曲线的定义;②结合定义构建标准方程;③探索曲线的几何性质;④探寻直线与曲线之间的位置关系;⑤用曲线性质解决实际问题.

类比椭圆与双曲线的研究方法，学生认为抛物线的研究可从“定义、标准方程、几何性质与应用”四个方面展开. 教师顺势揭露本节课的教学主题为抛物线的标准方程.

设计意图 旧知研究方法的回忆为学生指明了新知研究方向，在师生积极的互动中，学生不仅明确了本节课的研究主题，还从宏观的角度认识了抛物线的研究思路. 此环节明确提出本节课教学的主要目的在于让学生明晰研究抛物线的思维策略.

研究解析几何不外乎两个方向：①结合已知条件建立曲线方程;②由方程分析曲线的几何性质. 不论是从代数还是几何的角度出发进行研究，都离不开数形结合思想的应用. 此环节的教学设计成功增强了前后知识、方法与思想的联系，为接下来的教学做铺垫.

2. 多元联系，构建新知

问题3 抛物线的定义是什么？如何验证该定义？抛物线的形状是怎样的？

如图1所示，教师借助信息技术手段（几何画板）动态演示抛物线的形成过程，并要求学生说一说每一条抛物线上的特殊点是什么.

追问：在我们生活实际中存在大量抛物线，请列举一些实例.

设计意图 明确抛物线的概念是建立抛物线标准方程的前提，从猜想到验证离不开学生积极的思考，由定义出发实施教学是最常见的教学策略. 此处，教师带领学生紧紧围绕抛物线的定义，从“三定”（定点、定直线、定距离）确定抛物线的标准方程，并借助几何画板引发学生认识线段KF的中点的特殊性. 列举生活实例，意在让学生感知生活与数学的联系，感悟研究抛物线的重要性.

问题4 抛物线的标准方程该如何推导？想一想椭圆的标准方程的推导方法.

在问题4的引导下，师生、生生积极互动，共同复习并总结椭圆的标准方程的推导过程，分别为：建系、设点、列式、代入与化简.

追问1：推导抛物线方程的第一步是建系，该怎么建系呢？为什么？

学生通过合作交流，最终获得三类建系方法（见图2）.

追问2：观察这三种建系方法，哪种更便利一些？说明理由.

要求各个小组选择其中一种建系方法，用来推导抛物线的方程，完成后各小组展示交流.

学生对这三种建系方法进行运算与推理后获得方程：①y2=2px-p2;②y2=2px;③y2=2px+p2. 其中p>0，p=KF.

新知建构1 根据上述结论，学生经交流后一致认为第二种建系方法最简洁、美观，由此确定y2=2px为抛物线的标准方程，

，0为焦点坐标，x=-为准线方程，这里涉及焦准距（用p表示）的概念，即焦点F到相应准线l的距离.

在问题的驱动下，学生类比椭圆的标准方程的推导过程，从真正意义上明晰抛物线方程的建立应遵循的步骤，并通过互动明确建系方法，在最简洁、最美原则的驱使下，确定最合理的建系方法. 由于曲线关于横轴对称，不关于纵轴对称，因此方程必然含y2项，不含x2项（但含x项）.

上述一系列的教学设计，对发展学生的思维能力、抽象能力、运算素养与直观想象素养等具有重要意义. 因此，突出知识间的融合关系是发展学生数学学科核心素养的关键.

问题5 是否还存在其他的建系方法？如调整抛物线的开口方向，又能获得哪些形式的抛物线的标准方程？

面对问题5，基于独立思考与合作交流，学生很快就提出了新的建系方法（见图3）.

鉴于学生对函数图象的对称变化比较熟悉，此处教师适当引导学生从对称变化的角度来猜想与论证方程，获得以下三类形式的标准方程：①y2=-2px;②x2=2py;③x2=-2py. 其中p>0.

追问1：上述三类形式的标准方程有哪些异同点？

追问2：函数y=x2-2x+3的图象确定为抛物线，我们能否确定它是抛物线的标准方程？

追问3：若y2=x和y=x2的图象均为抛物线，这两者是否均为抛物线的标准方程？是否都能表述为“y是x的函数”？

设计意图 此环节通过几种建系方法的类比，使学生感知其中的共同点为：这些都是二元二次方程，零点为原点，焦点均位于坐标轴上;差异点为：方程中的符号、一次项、平方项不同，抛物线的开口方向与焦点位置不同. 综上可知，一次项的变量决定焦点位于的坐标轴，一次项的正负决定焦点所在的位置.

上述设计的目的在于让学生明确“焦点看字母，开口看符号”的规律，深化学生对函数的概念，以及抛物线的标准方程的认识.

新知建构2 填表分析：

设计意图 设计该表格的意图在于突出抛物线的标准方程与其他知识之间的联系：第一点，让学生感知概念的基础性作用;第二点，借助图象、焦点坐标、开口方向、准线方程等，表征抛物线的标准方程，让学生从多维度理解抛物线的标准方程，从真正意义上实现知识的互相转化与融合;第三点，类比二次函数，凸显方程与函数之间的联系，促使学生重新审视自身的认知结构，为形成批判性思维奠定基础.

3. 变式应用，巩固新知

例1 已知y2=4x为抛物线的标准方程，那么该抛物线的焦点坐标、准线方程分别是什么？

变式题1：已知y=4x2为抛物线的方程，那么该抛物线的焦点坐标、准线方程分别是什么？

变式题2：已知（-2，0）为抛物线的焦点坐标，那么该抛物线的标准方程是什么？

变式题3：已知y=-1为抛物线的准线方程，那么该抛物线的标准方程是什么？

例2 若抛物线过点P（-2，4），写出该抛物线的标准方程.

变式题：如果抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的某一点P与焦点F之间的距离恰巧是4，y轴与点P之间的距离为1，那么该抛物线的标准方式是什么？

设计意图 对数学事物进行准确表征是学生获得长时记忆的重要方法，究竟该如何从多维度准确表征同一个数学对象，是值得每一个学生思考的问题，灵活转化与理解表征方式是学生从真正意义上掌握新知的关键[2]. 此环节，教师借助例题和变式题，带领学生对具体的抛物线的标准方程、准线方程、焦点坐标、图象等进行拓展，促使学生从真正意义上掌握教学内容，在理解的基础上触类旁通，稳固认知结构.

4. 归纳总结，提炼升华

问题6 本节课所研究的与抛物线相关的内容有哪些？应用了哪些数学思想方法？

问题7 根据抛物线标准方程的基本研究思路来看，后续咱们研究的内容有什么？

设计意图 本节课教学的目的并不仅仅在于传授知识与技能，更重要的是优化学生的思维，促使学生自主探寻知识间的联系，为发展学生的数学学科核心素养服务. 总结环节的设计一方面促使学生纵观整节课的教学过程，从宏观的角度来分析研究过程、思路与方法，提炼数学思想，积累学习经验，发展数学能力;另一方面为接下来的教学奠定基础.

几点思考

1. 关注类比，触类旁通

开普勒曾经说过：类比是最值得信赖的老师，它能有效揭示数学的奥秘，因此我珍视类比胜过一切. 类比是将两个在某些方面相似或相同的对象放在一起比较，推导出它们在其他方面相似或相同的一种推理形式，它是揭露数学规律，以及数学对象之间的联系的重要方法[3].

在教学中，新旧知识的类比可将原有知识作为新知的“生长点”，使学生从中发现新知的特征与规律，实现知识的触类旁通. 本节课的双曲线、椭圆的研究思路与抛物线的研究一脉相承，因此类比它们，可促进学生认知顺应与同化，成功构建新知.

2. 关注联系，融会贯通

将各个知识有机地融合在一起，形成完整的知识体系可深化学生理解. 事实证明，数学知识间，大到学科，小到知识点，都存在一定联系. 关注知识间的联系，并从整体性与逻辑性的角度认识、理解、应用这些联系，可掌握知识本质，实现知识的融会贯通，这也是发展学生数学学科核心素养不可或缺的一关.

3. 紧扣本质，一通百通

在教学中，若将目光锁定在“部分”上，则学生无法从真正意义上理解知识间的联系;只有紧扣知识本质，促进知识“部分”与“整体”的融通，才能让学生从真正意义上理解教学内容. 本节课的本质为“建系”，因此教师在授课时紧扣这个本质，引导学生从真正意义上实现对知识的一通百通，能有效促进学生数学学科核心素养的发展.

参考文献：

[1] 约翰·杜威. 我们如何思维[M]. 北京：新华出版社，2010.

[2] 李庾南. （数学）自学·议论·引导（教学法）[M]. 北京：人民教育出版社，2004.

[3] G.波利亚. 数学与猜想：数学中的归纳和类比[M]. 李心灿，王日爽，李志尧，译. 北京：科学出版社，2001.

作者简介：沈佳瑶（1999—），本科学历，中学二级教师，从事高中数学教学工作.