基于整体思考推进章节复习教学

[摘 要] 基于整体思考设计复习教学是落实新课标要求的途径之一. “函数的性质”是高中数学的重要基础内容，其复习教学，先基于整体视域分析现状，再从“口述解题方法，揭露关键因素”“整理思维导图，突破滞化思维”“加强练习训练，提炼数学思想”“注重建模感悟，发散数学思维”四个维度展开.

[关键词] 整体思考;函数的性质;复习教学

传统数学教学大多以课时为基本单位设计教学活动，这种模式导致学生难以构建完整的知识结构，遇到综合性问题时常捉襟见肘. 因此，单元整体教学、结构化教学等新教学模式备受大家关注. 它们主要从宏观角度组织复习素材、内容和资源，以推动复习教学整体发展. 此处的“整体”并不是说内容聚集得越多越好，而是根据新课标要求与素养目标迭代累计的有意义的思维体系[1].

基于整体思考现状

1. 一再出现相同的错误

当前不少高中复习课仍以“教师讲授，学生听讲与模仿”的模式为主. 这种模式下的复习教学，学生在课堂上依葫芦画瓢，看似听懂了，也能纠正原本存在的错误思维，会自主解决一些问题，但当问题发生变化后，学生依然会不由自主地运用根深蒂固的错误思维去解决问题[2]. 出现这种情况的根本原因在于教师无视学生的错误根源. 事实上，一味地灌输正确的解题方法，并不能让学生从根本上转变观念，致使同一个错误多次重复发生. 想要突破此现象，最佳措施是为学生提供溯源机会，让他们自主辨析、反思问题，找出错误根源，防止重蹈覆辙.

2. 解题时思维停滞不前

学生初学函数的性质知识时容易理解，但实际应用时却常遇困难，究其主要原因在于学生对知识重点与难点的认识不足，遇到挑战性综合问题时思维受阻，停滞不前. 基于整体角度思考，教师若将函数性质问题转化为教学活动，引导学生构建数学模型，实现知识融合，则能帮助学生突破思维障碍，解决更多复杂问题.

3. 无法理解问题本质

函数性质问题较抽象，对学生思维要求高. 若学生未理解问题本质，又缺乏解题经验与思想方法，解题时将遇到重大困难. 若从整体视角推进章节复习教学，则可促使学生基于“数”与“形”互相转化的维度理解知识本质，为解决问题夯实基础.

教学分析

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》关于“函数的概念与性质”的教学要求为：帮助学生通过学习理解概念，建构完整的知识结构;帮助学生学会用函数图象和代数运算的方法研究函数的性质;帮助学生通过学习建构函数模型;基于整体思考的维度发展数学学科核心素养. 复习教学旨在通过活动唤醒学生对函数性质的记忆，完善学生的知识体系，帮助学生形成结构化思维，并培养学生数学抽象、数学运算、数学建模和直观想象等素养.

教学过程设计

1. 口述解题方法，揭露关键因素

疑是思之始，学之端. 将心中的疑虑用语言表达出来，就是将思维暴露在大家面前的过程. 复习时，通过探寻解题依据，反思解题过程，学生不仅能自主获得解题思路，还能逐渐领略解题方法的科学合理性，同时由复习内容与原有认知结构的冲突，激发深入探索的动力，发展发现、提出、分析与解决问题的能力，有效避免同类错误的再次发生. 关于口述解题方法，揭露关键因素，可从如下两个方面着手.

（1）解题依据的探寻

解题错误激发学生质疑和思考，是生成“疑”的关键因素之一. 反思解题过程，深入探索，并以规范的数学语言进行描述，利于学生思维碰撞和交流，激发学生学习热情的同时，提升学生语言表达能力，促使学生更深层次地理解知识本质，提炼解题方法. 实践发现，基于“以生为本”的交流，可实现师生互补，教学相长.

例1 已知f（x）=2sin2x+，且x∈0，，该函数的最大值是多少？

从解题表面来看，学生出现错误源于对f（x）=Asin（ωx+φ）的相关知识的掌握不牢固. 但从整体角度来分析，学生出现错误的主要原因在于对函数的单调性的认识不充分，无法灵活运用此知识辅助解决函数最值问题. 为了突破学生思维障碍，教师引导如下：

师：请大家尝试在最短时间内绘制函数f（x）=2sin2x+，x∈0，的图象，同桌交流具体的画图过程.

一些学生应用代入端点法分析最值，但是对于具体的依据无法描述. 关于这一现象，教师引导如下：函数的最小值如何求？最大值呢？在这个问题的启发下，学生自主发现可从函数单调性的角度来分析最值问题.

学生通过分析与反思解题步骤，明确解题依据，确保每一步都有理有据，由此深刻理解知识，发展思维的严谨性与周密性，形成逻辑推理能力与数学抽象素养.

（2）错误根源的探寻

面对错题，教师鼓励学生描述错误原因. 描述时，教师要求学生将任务作为根本，通过交流的方式陈述心中所感、所想. 教师不要在学生出现错误时就立即指正，而应带领学生通过理解去探寻错误的根源，挖掘错误形成的核心因素，在追根溯源、辨析与反思的基础上纠错.

关于例1的解题过程，应用端点代入法解决问题的错误根源在于没有想到“用单调性求最值”的方法. 教学时，教师可根据这一错误根源引发学生思辨，鼓励学生自主阐述错误原因，并调整解题方法，建构用单调性求最值的基本模型.

实践发现，鼓励学生勇敢表达，暴露想法，可提高学生思维碰撞效果，使课堂充满活力和智慧，是从整体思考的维度推进复习教学的重要措施.

2. 整理思维导图，突破滞化思维

以整体思考推进复习教学，首先要对教学内容结构有一个明确认识. 本节课复习内容多、跨度大，学生只有厘清知识点间的上下位关系，明确知识结构，才能构建清晰的知识网络，为解题奠定基础. 学生通过自主整理、绘制思维导图将知识脉络呈现出来，能更好地厘清知识间的关系，此为突破思维障碍的重要方法，也是提高学习效率，发展数学思维的重要途径.

例2 已知函数f（x）=alnx+，a≠0，g（x）=（x-2）ex--x.

（1）f（x）的单调区间是什么？

（2）若a=1，且对任意x∈（0，1]，f（x）+g（x）<n恒成立，则n（n∈Z）的最小值是多少？

课堂上，教师可借助此例带领学生一起回顾求导法则与公式，引导学生从已有的认知结构出发，分析问题涉及的知识点，为准确罗列与整理知识体系夯实基础.

部分学生虽然能列出相应公式，但不会应用公式来解决实际问题，即解题时出现思维受阻的现象. 其原因在于这部分学生缺乏良好的推理能力，无法探寻解题方法. 想要解决这个问题，最好的办法就是引导他们用思维导图整理知识点，探寻各知识点之间的关系，为解题明确方向.

对于例2，部分学生因无法画出函数f（x）+g（x）=lnx-x+（x-2）ex的图象，导致解题失败. 即使从函数解析式着手，也无法通过变形将问题转化为学生所熟悉的内容. 基于此，部分学生选择了求导法，即令F（x）=lnx-x+（x-2）ex，求导得F′（x）=（x-2）ex+ex+-1，即F′（x）=（x-1）ex-，令F′（x）=0. 此时，部分学生思维卡壳在解方程ex=上（部分学生因求导过程复杂而选择放弃）.

既然已明确了问题根源，那么就有针对性地去突破. 师生通过互动与交流，绘制出如图1所示的思维导图，将问题涉及的知识点及其内在联系展示出来，为解题提供了明确依据.

显然，知识框架的搭建可启发学生思维，明确问题解决方向，对提升学生的逻辑推理和数学抽象能力具有重要价值.

3. 加强练习训练，提炼数学思想

思维导图的构建，让解题思路变得更加明朗. 在日常教学中，教师还可指导学生梳理函数的要素与性质，鼓励学生自主整理知识点，理清联系，从而提高学生识别函数结构的能力. 解题思路研究可从数学思想方法入手，如数形结合思想和转化思想，有效支撑学力提升.

例3 函数f（x）=的取值范围是什么？

部分学生对利用单调性求最值的方法不熟悉，导致解题受阻. 本题可通过换元法转化为学生所熟悉的内容，即令t=ex（t>0），则y=，即y==+1，通过等式结构的灵活转化实现解题.

纵然函数表达式多样，但学生一旦掌握了核心知识与基本思想方法，解题就毫无难度可言. 对于学生思维的障碍点，究竟该如何引导呢？探索发现，基于学生的最近发展区设计问题，可促使学生自主提炼数学思想方法，有效提升学生的数学思维能力，培养学生的数学学科核心素养.

4. 注重建模感悟，发散数学思维

纵观近些年的高考试题，基本能在经典例题中发现它们的身影. 因此，复习教学需要重视学生的“悟”，通过典型例题引导学生探索分析，拓展思维，提升举一反三的能力.

例4 若x，y满足2x+y-1=0（x，y为正数），则+的最小值是多少？

变式题：倘若x+2y-2=0，且x>;y>0，求+的最小值.

例4为经典例题，学生多能自行解决. 但探索变式题时，部分学生在构建基本不等式条件上遇到了困难. 此时可应用换元法，令m=x-y，n=5y+x，得x=，y=，x+2y=（m+n）=2，化简得m+n=4. 这样将变式题转化为同类例题，解题思路变得清晰明了.

变式题乃例题之拓展，两个问题的本质均为“积定和最小”. 本题探索旨在强化学生对该知识的理解，以便日后遇到同类问题时，能凭借解题经验从整体角度顺利求解.

实践感悟

基于整体思考推进章节复习教学，关键在于充分理解新课标的要求和学生的实际问题，并据此采取针对性的措施. 设计复习教学除考虑单元整体外，还要基于知识本质与结构体系展开，同时注重新课标的导向作用. 如本节课，从“数”与“形”两个维度引导学生领悟代数运算与函数图象的对应关系，为揭露函数性质服务. 同时，基于整体思考推进复习教学，数学思想方法至关重要，有助于学生积累学习经验，实现可持续发展.

总之，新课标下，复习教学需从单元整体出发进行设计，引导学生在课堂中领略知识本质，感知数学思想方法，构建完整的知识体系，形成结构化思维，发展数学学科核心素养.

参考文献：

[1] 刘徽. 大概念教学：素养导向的单元整体设计[M]. 北京：教育科学出版社，2022.

[2] 曹才翰，蔡金法.数学教育学概论[M]. 南京：江苏教育出版社，1989.

作者简介：文慧（1985—），硕士研究生，中学一级教师，从事高中数学教学工作.