浅谈新高考背景下“以生为主”的复习课堂构建

[摘 要] 文章以齐次化教学实录为例说明如何在高三数学复习课中坚持“以生为主”，引导学生积极参与课堂、反复试错纠错、构建知识系统、课后独立反思，经历观察、试错、类比、归纳、总结的数学思维过程，以此缓解“听得懂、不会做”的窘境，提升复习课课堂效率.

[关键词] 以生为主;复习课;齐次化

问题提出

高考改革正如火如荼地开展，如何批判性地认识以往的备考经验，防止其在新高考背景下产生负迁移显得尤为重要. 传统高三复习课以教师为主导，将自己多年积累的高考经验“灌输”给学生，但外部经验难以不打折扣地内化为学生的知识结构，最终形成学生“听得懂、不会做”的窘境.

高考复习不仅仅是对前两年知识做简单梳理，还要在学生已有知识体系的基础上提炼“高阶”的思想方法. 限于高一、高二的课时压力与知识体系构建的完成度，许多高效的解题方法需要在高三复习时传授给学生，这也符合学生认知螺旋上升的特点. 以齐次化为例，它作为一种运算策略，早在高一处理正切的商数关系时就有渗透，那时叫它“1的妙用”. 2022年新高考Ⅰ卷的解析几何题更加凸显了齐次化的重要性，使得应不应教学“二级结论”“特殊方法”再次成为热议的焦点. 实际上，数学抽象素养的水平三明确要求“能够理解数学结论的一般性，能够感悟高度概括、有序多级的数学知识体系”;逻辑推理素养的水平三也明确要求“对于较复杂的数学问题，能够通过构建过渡性命题，探索论证的途径，解决问题”[1]. 齐次化就属于一般数学结论的高度概括，包含许多过渡性命题. 因此，齐次化作为课本外的“舶来品”绝非超纲知识，反而是贯穿高中数学的方法之一.

基于上述分析和思考，笔者借助齐次化在圆锥曲线中的应用实录，就提升高考复习质量谈几点认识.

教学过程回顾

1. 真题再现，课题引入

引例 （2022年新高考Ⅰ卷第21题节选）已知点A（2，1）在双曲线C：-=1（a>1）上，直线l交C与P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0. 求l的斜率.

师：相信大家对2022年全国新高考Ⅰ卷的难度有所耳闻，现在我们迎难而上. 这是试卷中的解析几何题，请大家谈谈自己的解题思路.

生1：斜率可先用定义表示出来，再相加起来，通过方程联立、韦达定理求解.

师：符合直觉回答，大部分题目都可以用这种方法来解决. 现在给大家展示一下参考答案. （用PPT展示）

由题可得-=1，解得a2=2，所以双曲线的方程为-y2=1.

根据题意可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+m.

联立y=kx+m，-y2=1，得（2k2-1）x2+4kmx+2m2+2=0，Δ=-16k2+8m2+8>0，即m2-2k2+1>0. 设P（x，y），Q（x，y），则x+x=

由题可知，k+k=+==0，即（y-1）（x-2）+（y-1）（x-2）=0，整理得2k2+（m+1）k+m-1=0，即（k+1）（2k+m-1）=0，得k=-1或2k+m-1=0.

当2k+m-1=0时，m=1-2k，则直线l的方程为y=kx+1-2k，整理得y-1=k（x-2），过定点（2，1），不符题意，舍去.

综上所述，直线l的斜率k=-1.

（看到参考答案后，学生惊呼，议论纷纷.）

师：大家为什么会觉得难？

生2：运算量太大了，考试时没有那么多时间算.

师：确实有相当大的运算量，而且仅仅是第一小题的运算过程. 大家分析过这么复杂的运算是如何产生的吗？

生3：将韦达定理的式子代入斜率相加的式子，变形化简的过程很复杂.

师：没错，y，y要用直线方程表示为关于x，x的式子，才能将斜率之和整理为可用韦达定理的形式，代入韦达定理的式子后，还要将结果进行因式分解，通过l不过点A求得斜率. 这个过程的本质是将k+k=0转化为关于xx与x+x的表达式，从而与韦达定理建立联系. 如果有种方法能够避免这个转化过程，就能很大程度上简化运算. 这节课学习的齐次化就能做到这一点，相信大家掌握后都能轻松地解决这道高考试题.

设计意图 本节课以高考试题为引例，通过参考答案的展示，让学生感受到常规方法的复杂运算，顺理成章地引出能够简化运算的齐次化，从内部激发学生学习新知识的驱动力. 最后点明导致运算复杂的根源是将k+k=0转化为关于xx与x+x的表达式，而齐次化可以避免这种转化，为学生理解它的本质做好了铺垫.

师：我们先通过一道例题来掌握齐次化的运算原理与书写格式.

例题：已知直线l与抛物线C：y2=4x相交于P，Q两点，O为坐标原点. 若直线OP与OQ的斜率之和为4，求证直线l过定点.

师：设P（x，y），Q（x，y），如果我们能得到一个关于斜率k的二次方程，而不是关于x的，就能避免复杂的转化. 如何才能实现这点呢？

（经过短暂的思考）

生4：k=，若y2=4x的两边同除以x2，可得k2=.

生5：不对，不能同除以x2，同除以x得到yk=4也不行.

师：没错，由于y2=4x中y与x的次数不同，处理成k2=，yk=4都有双变量，还不能达到斜率k的二次方程的变形目的. 因此，我们的首要目标是使y与x“齐次”. 关注到P，Q是交点，我们往往通过方程联立来求交点. 同学们能否通过方程联立使之齐次并得到关于斜率k的二次方程？

（经过一段时间的思考与讨论，用希沃白板投影学生的解答过程.）

师：我选了两位解答写得比较清楚的同学，请他们来讲讲思路.

生6：为了使y与x的次数相同，我将直线方程与抛物线方程相乘，这样y，x都是二次了.

生7：我和他的想法一样，不过生6直接将两方程相乘，等号就不成立了. 为了使等号成立要乘上1，即先把直线方程变成1=的形式再乘上去，每项都有了二次，两边再同除以x2就可得到关于斜率k的二次方程，最后用韦达定理便可以解决了.

师：两位同学的想法都很好，联立的关键就是将一次项转化为二次项以保证各项次数相同，因此称之为齐次化. 接下来请大家分析我的解答过程. （用PPT投影解答过程）

设直线l：mx+ny=1，P（x，y），Q（x，y）.

联立mx+ny=1，

y2=4x，得y2=4x（mx+ny）⇒y2-4nxy-4mx2=0①.

①式两边同除以x2得

-4n-4m=0.

k+k=+=4n=4⇒n=1.

即l：mx+y=1，过定点（0，1）.

生8：直线方程的设立和以前的不一样，设成mx+ny=1可以直接相乘，不需要变形.

师：非常好，这次联立过程时使用了一种全新的直线方程，加上此前常用的两种设法，我们现在有了三种直线方程的设法. 谁能总结它们的使用条件？

生9：y=kx+b在消y方便的时候使用，但不能表示斜率不存在的直线;x=my+n在消x方便的时候使用，但不能表示斜率为0的直线;mx+ny=1在齐次化的时候使用，没有限制条件.

设计意图 经历知识的生长而不是强行灌输，能有效避免书写格式的机械记忆，把握齐次化的本质.展示三个不同的解答过程意在使学生经历观察、试错、类比、归纳、总结的数学思维过程，让学生参与新知识的诞生和发展，积累数学思考的基本经验.

师：总结得很准确，根据题目设合适的直线方程能简化运算. 齐次式通过作商得到关于斜率k的二次方程减少了运算，实际上这种方法我们早已接触过.

（学生沉默思考）

师：比如三角函数的“1的妙用”，通过齐次式找到“切与弦”的转化关系，如1+sin2α⇒⇒，还有其他的吗？

（学生惊叹，全新的知识原来早就掌握了.）

生10：比如计算圆锥曲线的离心率时，在a2+ac+c2=0齐次的情况下，两边同除以a2就能得到关于e的二次方程.

师：很好，大家要理解齐次化的本质是一种计算手段，它用于构造一个以比值为变量的二次方程以简化运算.

设计意图 将新概念与学生已有的知识储备和认知经验相连接，挖掘齐次式与二次方程的内在联系，引导学生从三角函数的“1的妙用”、圆锥曲线的离心率的计算中，类比理解齐次化的算理，促使学生知其然且知其所以然.

2. 变式教学，强化理解

变式题1：已知直线l与抛物线C：y2=4x相交于P，Q两点，O为坐标原点.若直线OP与OQ的斜率之积为4，求证：直线l过定点.

师：将斜率之和改为斜率之积，过程会怎么变呢？

生11：联立得到的齐次式不变，利用韦达定理得kk=-4m=4⇒m=-1，直线l：-x+ny=1，过定点（-1，0）.

师：很好，遇到斜率之积或斜率之和为定值的条件，我们就可以尝试使用齐次化解题. 继续变式——将原点O改为A，过程又会如何变化？

变式题2：已知直线l与抛物线C：y2=4x相交于P，Q两点，A（4，4）. 若直线AP与AQ的斜率之和为0，求直线l的斜率.

生12：斜率变为k=，k=，不再是齐次式

-4n-4m=0的根. 斜率之和为定值的类似问题就不能再用韦达定理解决了.

师：没错，齐次式是关于的二次方程，两点中有一个是原点才能使关于的方程与关于斜率的方程等价. 如何才能使变式题2化归为例题呢？

生13：只要把点A平移到原点就可以.

师：很好，但为了保持斜率的关系不变，平移点A的同时也要平移点P，Q. 平移这三个点，其实就是平移坐标系. 为了与xOy坐标系有所区别，可使用XAY来表示以A为原点的新坐标系，它与xOy坐标系的关系是X=x-4，

Y=y-4，即将xOy坐标系内的A（4，4）代入XAY坐标系得X=0，

Y=0，使A成为原点. 在XAY坐标系中，变式题2化归为例题. 书写按照如下格式. （用PPT投影展示）

设以A为原点的坐标系为XAY，则X=x-4，

Y=y-4，即x=X+4，

y=Y+4①，直线l：mX+nY=1.

将①式代入C：y2=4x，得Y2+8Y-4X=0.

联立Y2+8Y-4X=0，

mX+nY=1，得Y2+8Y（mX+nY）-4X（mX+nY）=0，即（1+8n）Y2+（8m-4n）XY-4mX2=0.

两边同除以X2，得（1+8n）+（8m-4n）-4m=0，所以k+k= -=0⇒2m=n. 故k=-=-.

设计意图 通过变式设置理解阶梯，引导学生由浅入深地分步掌握不同形式的齐次化技巧与书写格式.规范的书写格式是应试中的重要一环，实践中发现将平移后的坐标系设为XAY（A为平移后的原点）更能被学生接受. 变式题1的设置让学生理解齐次化的使用条件;变式题2的设置让学生通过化归思想，将一般问题转化为以原点为起点的特殊问题.

3. 错解辨析，主动归因

师：接下来请大家依照此格式完成引例的第一问.

（经过一段时间的思考与讨论，用希沃白板投影学生的解答过程.）

师：我发现大家通过刚才的示范已经能够顺利得到答案了，并且总体框架、解题步骤、符号运用等都是比较规范的，但细节上还存在差异. 我挑选了两位同学的解答过程，大家比较一下.

生16：生15的坐标轴平移错了，把点A代入得到的坐标是（4，2）而不是原点，但后面怎么算着算着就对了？生14才是对的.

生17：生14也是错的，她把x-2，y-1代入双曲线的方程-y2=1了，应该把X+2，Y+1代进去. 生15的坐标系写错了，代入也错了，错上加错反而答案写对了.

（学生笑，课堂气氛活跃.）

生15：说不定我这样写也对呢？我答案都算出来了.

师：为什么过程明明是错的，但最终结果却是对的呢？谁能为大家解惑呢？

（生15的回答出乎意料，笔者顺势抛出问题，引导学生关注易错点——坐标转化.）

生18：我好像知道了，因为我自己写的是对的. 我把他们写的斜率之和的式子与我的比较了一下，相差一个正负号. 但这题的条件刚好是斜率之和为0，所以最终结果是m=n，得到斜率是-1.

设计意图 学生在解题实践中的典型错误是最好的纠错素材，让学生通过独立思考完成自我纠错，充分暴露思维过程. 同时能让未犯错的学生汲取教训，避免常见错误的发生，完善个体认知体系.

师：原来如此，答案对但过程不一定对. 生14、生15已经把两种经典的错误展示了出来，我们要注重坐标转化与书写格式来避免错误的发生. 我们完成了课前的目标，使用齐次化高效地解决了高考试题，现在谁能总结一下这种方法？

生19：看到斜率之积或斜率之和为定值时就可以使用齐次化这种方法.

生20：计算斜率的两个点中有一个为原点，否则需要平移坐标系.

生21：将直线方程设为mx+ny=1最有利于计算.

师：很好，大家从“使用条件”“一般情况与特殊情况的转化”“直线的设立”三个方面深度理解了齐次化的使用模型与书写格式.最后留给大家一道思考题，请在课后独立完成.

思考题：请用流程框图的形式展示你所掌握的齐次化解题过程.

设计意图 将总结的任务交给学生，使其对本节课有整体认识，思维得到升华.思考题让学生用流程框图重现齐次化的解题步骤，使其反思自身的解题逻辑是否周密，从而完善学生的知识网络，巩固课堂学习成果.（在此展示一份学生的流程框图，如图5所示.）

教学思考

1. 激发兴趣，积极参与课堂

“若教师不能在学生对学习产生高昂和振奋的心理状态下就急于授课，此时传授的知识只会让学生处于冷漠状态”.学习新解法的兴趣主要源于常规解法的局限性和新方法的高效性. 本节课选取高考试题为问题主线，让学生在实战中意识到原有方法的局限性，充分激发他们掌握新方法的热情，为学生学习奠定“主人翁”精神基础.

2. 试错纠错，认知螺旋上升

复习过程中出错在所难免，通过反复试错纠错完成认知的螺旋hdLRc4R8LXAECtkP67LAVw==上升才能在高考中少犯错. 本节课通过信息技术展示典型错误，引导全班参与试错纠错过程. 一方面让犯错的学生在自我纠错的过程中完善自我，避免一错再错;另一方面让未犯错的学生汲取教训，避免犯同样的错. 教师在纠错过程中既要给学生充分的空间进行独立思考，又要扮演好“引导者”的角色[2]，要让学生成为纠错主体.

3. 链接旧知，建构系统知识

复习课需要建立在学生已有的认知结构上，将已有知识作为养料，生长新的思想方法. 本节课建立在学生已知的韦达联立的知识基础上，类比三角函数的“1的妙用”、圆锥曲线的离心率的计算中的齐次化处理技巧，提炼齐次化与韦达定理相联的应用，引导学生掌握新方法的同时完善知识结构.

4. 总结巩固，独立课后反思

在新高考背景下，更应改变“满堂灌”的旧模式，预留一定时间让学生进行自我反思与总结. 通过学生的自我审视，对解题过程、方法等内容进行再认识、再学习[3]. 本节课将总结的任务交给学生，通过大家的相互补充，使学生更加完整地认识到齐次化. 课后要求学生通过流程框图反思自身的解题逻辑是否周密，从而巩固课堂学习成果.

教育变革如此激烈的当下，我们要在复习过程中打开格局，渗透齐次化等高阶思维方法，同时要避免掉入只记形式不懂原理的陷阱. 通过创设开放、平等、以生为主的课堂环境，使学生经历观察、试错、类比、归纳、总结的数学思维过程，最终形成生动又高效的复习课堂.

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2] 曾勤. 谈“以生为主”的纠错教学的设计与思考[J]. 数学教学通讯，2022 （24）：68-70.

[3] 吴春林. 高中数学教学中反思性教学的研究[J]. 数学教学通讯，2022（24）：52-54.

作者简介：卢象鹏（1996—），教育硕士，中学二级教师，从事数学教育研究工作.