高中数学考试题与教材习题双向融通的实践与思考

[摘 要] 教师利用新教材中的例题和习题培养学生的解题能力，无疑是提高学生数学学科核心素养的有效途径. 研究者以本校月考中的立体几何考试题为例，阐述直观想象素养如何贯穿教材习题并“走”出教材，以及考试题与教材习题如何做到双向融通.

[关键词] 教材习题;考试题;立体几何;直观想象

高中数学课程应以学生发展为本，以立德树人为根本任务[1] 在此背景下，高中数学教材在内容和教学方法上做了一些调整和改变，高考命题参考教材内容，与教材思想高度契合，因此，教材的重要性不言而喻. 教材中的例题和习题作为教材的重要构成部分，是数学学习必不可少的重要资源，一线教师应该通研新教材，把握变化规律，将教材习题与考试题做到双向融通.

问题提出

高考数学命题遵循“题在书外，根在书内”的原则，教材中的定理或例题、习题经过加工、重组和发展等变身成试卷中的考题，“源于教材，且高于教材”不仅是教师平时考试命题的依据，也是高考命题的基础. 为此，在平时的期中、期末考试讲评课中，应当注重考试题与教材习题或定理之间的紧密联系，给每一道考试题都找到教材中的“源头”. 通过梳理教材习题与考试题之间的联系，引导学生重温教材，深化理解教材中关于数学学科核心素养的知识内容，感受数学学科核心素养是如何从教材中走出来的. 这样不仅能促使学生迁移知识，还能让学生的数学能力螺旋上升. 因此，广大一线教师要善用教材. 教材是领航灯，能给教师和学生指引正确的方向. 在复习课中，学生容易进入题海，反复刷题，而这只XghYe00OXdQ7iTPv52KFmw==会导致思维僵化，对数学知识的掌握和数学思维的提高没有任何作用. 只有在解题过程中引导学生掌握本源知识，才可能引来“活水”，提高学生的数学能力，培养学生的数学学科核心素养.

教学实践

1. 试卷讲评课模式的新探索

高中数学课堂教学的重要课型之一就是试卷讲评课，尤其在高三总复习阶段. 试卷讲评能有效实施的保证就是科学的试卷分析，常规来看，试卷分析与试卷讲评课之间的关系如图1所示. 试卷讲评备课，一般是分析试卷成绩和总结试卷典型答案，基本能保证讲评课有效进行. 但基于高考试题与教材习题双向融通的探索，在原有的备课流程下，加入“与教材习题的联系”和“教材习题的衍生”这两个环节，使得试卷讲评备课流程形成闭环（如图2所示）. 这样不仅使试卷讲评课发挥了反馈练习、纠正错误、提升解题能力的作用，还明确了试卷所考查的知识点在教材中的地位和难易程度，以及不同题型对核心素养和关键能力的考查要求，引导学生在数学学习过程中逐步形成正确的价值观、必备品格和关键能力.

数学是研究数与形的学科，数学六大核心素养之一的直观想象，不仅与“形”有关，而且与“数”和“形”之间的关系也有关！数学源于生活，应用于生活. 生活中的问题，通过数学抽象和数学建模转化成数学问题，而这个过程离不开直观想象，以及数学应用意识和能力.从图形的观察中，抽象出图形所隐藏的数量关系;从代数表达式的观察中，发现其所蕴含的图形表示;把复杂的问题化归为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未解决过的问题变动为解决过的问题，这些都需要脑力智力的深度参与，思维的深度调动. 在培养学生思维的深刻性和灵活性的同时，让直观想象慢慢生根.下面笔者以本校高一年级学生月考中的立体几何试题的讲评课为例，探索如何在试卷讲评课中培养学生的直观想象素养，以及如何实现高中数学考试题与教材习题双向融通.

2. 寻知识之源，识命题背景

例1 （试卷第6题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为矩形的棱台称为刍童.如图3所示的刍童ABCD-ABCD ， AB=AD=2，AB=AD=4，侧棱长均为2，则刍童ABCD-ABCD的体积为（ ）

A. 28 B.C. D.

分析 本题不仅考查学生的数学运算素养（四棱台的体积），还考查学生的直观想象素养. 在求棱台的高的时候，若能通过直观想象确定高的位置在对角线AC上，然后构造直角三角形求解其高，再将高代入公式V=h（s+s′+）得到结果，可使本题的难度降低很多. 根据题意，棱台上、下底面均为正方形，AH=OA-OH，OA=2，OH=.在Rt△AAH中，AH=，AA=2，所以AH==. 所以V=h（s+s′+）=××（4+16+）=.

溯源 （人教A版必修第二册教材第116页练习1）如图4所示，正六棱台的上、下底面边长分别是2 cm和6 cm，侧棱长是5 cm，求它的表面积.

这是教材原题，求出侧面小梯形的面积是题眼. 显然，如若学生掌握了本题的解题思路，应当能理解侧面小梯形的高与几何体的高的区别. 因此，这类题除了考查学生对公式的应用能力外，其命题本源还引导学生区分侧面的高和几何体的高，并正确求解. 而正六棱台的高的求解方法，需要学生运用直观想象素养，根据正六棱台的对称性等几何特征，直观得到其位置.

想要上好一堂课，当以教材为“金”，课标为“银”，以发展学生思维能力为目标，提高学生数学学科核心素养为导向. 但大多数学生却把高中数学教材当做“无用”之物，而把教辅资料当做“法宝”，刷题不亦乐乎，殊不知走了不少弯路. 溯源题目是教材第116页的练习1，在试卷讲解中，使学生发现考试题与教材习题之间竟有如此紧密的联系，一方面突出教材的主体地位，另一方面规范学生的数学学习方法，引领学生掌握正确的学习途径，强调直观想象素养在解题教学中的重要地位.

3. 寻方法之源，揭数学本质

例2 （试卷第17题）如图5所示，在长方体ABCD-ABCD中，AB=AA=2，AD=3，点E，F分别是AB，AA的中点，点E，F，C∈α，请画出截面α.

分析 对于简单的画截面的问题，常用相交线法和平行线法解决. 其中相交线法作图的关键在于确定截点，即借助图形直观，确定在多面体的同一表面上有两个截点可连成截线，画出截面.

解法1 （相交线法）如图6所示，作EF，BA的延长线，相交于点P;连接PC，与直线AD相交于点Q;连接FQ，则直线FQ即截面α与平面ADDA的交线. 同理延长直线BB，交直线EF于点R;连接CR，交直线BC于点T;连接ET，则直线ET，CT分别为截面α与平面ABCD和平面BCCB的交线. 连接CQ，则平面EFQC1T即截面α.

解法2 （平行线法）如图7所示，过点C作直线EF的平行线LK，连接FL交AD于点Q，连接EK交BC于点T，则平面EFQC1T即截面α.

培养直观想象素养不仅包含空间想象，还有大胆猜想，以及深入探索和研究.

溯源 （人教A版必修第二册教材第138页例3）如图8所示的一块木料中，棱BC平行于平面A′C′.

（1）要经过面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？

（2）所画的线与平面AC是什么位置关系？

分析 要经过面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开，实际上是经过BC及BC外一点P作截面，也就需要找出所作的截面与相关平面的交线. 我们可以依据直线与平面平行的性质定理、基本事实4和推论1画出所需要的线段.

数学概念的抽象，特别是一些具有本源地位的数学概念的抽象，在发展学生数学抽象素养中有特别重要的作用. 在立体几何的教学中，教师可以引导学生通过对图形认真细致的观察，来为直观想象素养的进一步发展提供契机;教师还可以通过特殊模型的科学引入，来为学生用图形语言解决问题的能力的科学培养提供支点，也可以进一步优化几何图形与代数知识的有机整合，在学生引用数学语言深入探究解题思路时，提升学生的直观想象素养.

“退”是一种策略，退到教材，退回起点，反而能看清问题的本质. 对于数学问题，有时回归教材，往往能引导学生识得题目所蕴含的知识点，掌握数学本质和数学定理.

4. 寻思想之源，悟理性思维

例3 （试卷第19题）如图9所示，正四棱锥S-ABCD中，SA=4，AB=2，E是SC的中点.

（1）求证：SA∥平面BDE;

（2）求三棱锥B-SDC的体积.

解析 （1）连接AC，交BD于点O，连接OE. 在△SAC中，O，E分别为AC，SC的中点，SA∥EO. 又OE∈平面BDE，SA⊄平面BDE，故SA∥平面BDE.

（2）V=V=hS△BDC=×2×=.

本题综合考查正四棱锥S-ABCD中的位置关系和数量关系（位置关系和数量关系是研究立体几何的重点），以及学生的直观想象素养. 对于线面平行的证明，相信学生已经历多次，但是否归纳过题型呢？是否回归过教材找寻题目应对的数学定理呢？有理走遍天下，无理寸步难行，懂其定理，才能举一反三，畅通思维. 针对上述例题，笔者引导学生归纳出如图10所示的证明线面平行的方法，以此培养学生严谨的数学思维.

溯源 （人教A版必修第二册教材第138页练习2）如图11所示，在正方体ABCD-ABCD中，E是DD的中点，判断BD与平面AEC的位置关系，并说明理由.

这是教材原题，证明线面平行可通过线线平行或面面平行的性质定理完成. 在归纳线面平行的证明方法后，学生能形成思维体系，掌握思考问题的策略. 本题证明有两种方法：一是利用EO∥BD，从而证明BD∥平面ACE（如图12所示）;二是取AA的中点M，取CC的中点N，证明平面BMDN∥平面ACE，通过面面平行的性质定理，证明BD∥平面ACE（如图13所示）.

新课标强调在本部分要借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律，由此空间几何体的位置关系和数量关系是本部分的研究重点，教学者也应当多思考如何在空间几何体的教学中让直观想象素养落地，如何更好地发展学生的转化思想、方程思想和函数思想，真正落实“五育并举”，培养有专业数学素养的人才.

几点思考

1. 回归教材“活”水来

教材是教学的根，是数学教学的灵魂. 数学问题灵活多变，归其根本是对数学相关概念、定理和定义的考查，以及对数学相关概念、定理和定义等知识来龙去脉（知识生成过程的再现）的灵活变通的应用. 在教学中，要善于运用教材、挖掘教材，特别是在试卷讲评课中，要对试题作分析与反思，在教材中寻找知识“源头”，将数学知识、数学方法和数学思想串联起来，学生才能融会贯通、举一反三.如上述例2，学生若掌握了过P和棱BC将木料锯开所依据的数学原理（基本事实4和推论1），就能够理解其知识本质，由此顺利解决月考试题. 数学问题不是无土之木，无根之水，而是源于教材，衍生于教材. 若高中数学一味地采取题海战术，则会导致学生思维僵化，而只有回归数学知识、回归教材，学生思维才能得以拓展，引得“活水来”[2].

2. 思维导图“畅”思路

波利亚曾说，“教师的首要职业之一不是给学生一种错觉：数学题目之间很少有联系，和任何其他事务则完全没有任何联系”. 数学问题不是凭空产生的，既然如此，研究数学问题就有必然的途径，如何寻找解决一类数学问题的途径呢？思维导图可堪当大任. 借助思维导图可将知识结构和知识脉络联系起来，形成知识网络，这也是教材所提倡的（在每一个章末总结编写者提供了本章知识结构）. 思维导图能将碎片化的知识网络化、整体化、单元化，能给学生一种“手中握无限，刹那成永恒”的满足感和富有感，学生思路自然也就畅通了. 如针对例2绘制思维导图，将线面平行的证明方法形成脉络图，当遇到问题时，脑中提取其五种证明方法，便有了正确快速解题的思路与底气.

3. 逆向思维“引”思考

学会思考是学生数学学习的命脉，独立思考、学会思考是学生的终极课题，因此教思考，教会思考，教学生学会思考是数学课堂的灵魂. 其中逆向补偿是一种比较好的途径，它指引学生“知其然”，也“知其所以然”. 浅层来看数学定义、数学公式和数学定理等的正向应用和逆向应用，正向思维一贯比较简单，但逆用思维却很难;深层来看，逆向思维能指引学生在课堂中深度思考，如提出一个问题，大部分学生会顺着教师的思路解决下去，只有少部分学生会想为什么这么做，为什么要这样应用已知条件，为何这样思考成功率会更高. 这部分学生的思维在课堂上真实且深刻地发生了. “教之道在于度，学之道在于悟”，“度”与“悟”都离不开思考，因此教师应当备好一节精彩的课，引导学生深度纵向思考.

总之，只会解答教材例题、习题是远远不够的，教师还要通过习题的分析讲解培养学生数学学科核心素养，例题和习题所蕴含的思想方法是学生更应该关注的点，只有抓住思想方法才能抓住解决问题的核心. 通过考试题溯源，促使学生更加重视教材中的例题和习题，养成主动思考并总结问题的习惯，潜移默化地培养数学抽象、直观想象等核心素养.

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2] 花奎，张晓飞. 解题反思孕“念头” 回归教材寻“源头”：高三解题教学中回归教材的几则案例及思考[J]. 数学通报，2021，60（8）：30-34+38.

作者简介：王一棋（1984—），本科学历，中学一级教师，厦门市学科带头人培养对象，厦门市骨干教师，厦门市数学中心指导组成员. 曾获厦门市第六届课堂创新大赛一等奖，厦门市第三届教学技能大赛二等奖，厦门市数字资源评选一等奖;《第四章 4.1 圆的方程》在第三届“一师一优课、一课一名师”活动中被评为部级优质课.