“矢量的合成与分解”学习进阶设计研究

摘 要：在学习进阶思想指导下，对矢量、矢量求和的方法、合力、分力等相关概念进行梳理，划分出最契合学生思维跨度的学习进阶层级，帮助学生更好地理解和掌握矢量的合成与分解。学会力的合成与分解的原则和实际操作步骤之后，可以进一步推广到其他矢量，比如“速度”“加速度”，以及在之后学习曲线运动时进行运动的合成与分解。矢量的合成与分解的概念涉及到曲线运动、匀强电场、匀强磁场等十分广阔的范围，具有内容占比大、应用广、难度高的特点。

关键词：学习进阶；矢量；合成与分解

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2024）8-0038-6

１ 问题提出

“矢量”是物理学科的重要概念之一，“矢量的合成与分解”贯穿于整个高中物理的学习过程中。学生在初中物理接触过“速度”“力”的概念，能模糊地认识到“力”既具有大小，又具有方向；在高一下学期又通过数学课接触了“向量”“平面向量”等概念，这为学习“矢量的合成与分解”打下了基础。比如，学习“力的合成”会经历一维共线—二维平面—三维空间的过程；对物体“运动轨迹”的了解也会经历相似的过程。再如，研究平抛运动时，我们需要根据受力特点，将运动分解成水平方向的匀速直线运动（水平方向不受力）和竖直方向的匀加速直线运动（只受重力）；求解自行车前进时气门芯的运动轨迹，需要将其分解为水平方向的直线运动和竖直面内的圆周运动；带电粒子在复合场中的运动也会涉及到分解。这些都建立在掌握“矢量的合成与分解”的基础上，并结合“牛顿第二定律”进行处理。

在高中物理中，“矢量的合成与分解”具有内容占比大、应用广、难度高的特点。以“学习进阶”为研究方法对“矢量的合成与分解”进行研究，摸清该概念的学习进阶路径，进行合理划分，可以帮助教师优化教学安排，有针对性地设计配套的习题，在实践中及时发现和解决问题，还可以在综合复习过程中为学生提供框架性、系统性的指引。

２ 学习进阶理论下“矢量的合成与分解”建构

学习进阶在科学教育领域被正式提出是在２００４年。学习进阶的可操作性定义为：学习进阶聚焦于基础性和生成性的核心概念或实践能力，通过确定学生的表现预期来设定进阶过程的“锚点”，进而明确学生在各个阶段应该学习的知识与能力，最后进行针对性教学干预［１］。

郭玉英基于对学习进阶的理解，建构了对科学概念理解的发展层级模型［２］。本文基于以上理论基础和《普通高中物理课程标准（２０１７年版）》［３］，以“矢量的合成与分解”为例进行物理概念的学习进阶研究。利用郭玉英等提出的学习进阶发展层级模型，划分“矢量的合成与分解”的学习进阶，使学生在一个长时间跨度内学习这一重要概念时，能够经历循序渐进、由浅入深的认知过程，经历由简单到复杂、由单一到综合的训练过程。便于教师能够通过该学习进阶的划分，明确学生在各阶段应该学习的知识与能力，合理地设置教学目标和选择教学策略，也便于教师基于学习进阶进行作业设计和教学评价，使评价与课程标准的要求更加一致，达到“教-学-评”一致性。

（１）矢量（ｖｅｃｔｏｒ）

向量最初应用于物理学中，被称为矢量。最先使用有向线段表示向量的是英国科学家牛顿［４］。在数学中，向量的表示包括代数表示、几何表示、坐标表示，我们主要看几何表示和平面坐标表示。

几何表示：具有方向和长度的有向线段，如图１所示。图中矢量的线段长度记作，叫作矢量的模，即为大小；箭头表示方向。若要说两个矢量相等，则需要大小和方向都相同。

图1 矢量的几何表示图

坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取x轴、y轴方向相同的两个单位矢量 和 作为一组基底。= 为平面直角坐标系中的任意矢量（图２）。有且只有一对实数（x，y），使得==x +y ，因此把实数（x，y）叫作矢量的坐标，即点Ｎ的坐标。和叫作矢量的分量。获得分量的过程叫作投影。

图2 矢量的坐标表示图

关于向量投影的两个定理：

定理 １：向量的投影等于其模乘以投影轴的正方向与此向量方向所成夹角的余弦。

定理 ２：向量的投影和等于各向量在同轴上投影的代数和。

（２）矢量的运算

①几何法求矢量和

求任意两个矢量和的和，可以将两个矢量首尾相连，将所得折线段的起点和终点连接，即矢量就是这两个矢量的和（图３），表示为=+。以和为邻边作平行四边形，对角线所对应的矢量即为矢量和。以此类推，也可得到矢量求和的多边形法则（图４），=+++。

图3 双矢量求和的示意图

图4 多矢量求和的多边形法则示意图

②建立坐标系法求矢量和

如图５建立平面直角坐标系，将矢量和置于坐标系中，将其投影到坐标轴上，分别得到x轴和y轴的分矢量，再进行一维运算，得到x轴上矢量和＋＝，y轴上矢量和＋＝。由=＋得到＋＝。

图5 建立坐标系法求矢量和的示意图

（３）“力是矢量”

皮亚杰说：“物理现实与用来描述这种现实的数学工具之间有永恒的一致性”，数学中的抽象关系是现实的某些具体原型提供的，经过模型化后又普遍适用于一类物理系统［５］。将物理现实与数学抽象进行转译的过程具有相当大的思维跨度，对初学的学生来说是有难度的。

在日常生活中，“力”这个概念往往与我们的肌肉所施加的“推”“拉”“提”等动作联系起来。我们能够感性地感受到“力”有不同的大小和方向，这是我们自然拥有的感觉。但是，“力”又是看不见、摸不着的，我们只能从物体的运动状态变化或者形状的改变中窥见真容。为了更容易理解，我们建立了“力的图示”来表征力，借用数学中的“向量”来转译“力”这一概念，将力学系统中的具体关系转译为数学系统中的抽象矢量运算。因此，可以这样定义“矢量”：那些既有大小又有方向，可以用有向线段表示，可以按平行四边形法则相加的物理量。比如，速度、位移、加速度、力。也可以定义“标量”：那些只有大小没有方向，不能用有向线段表示、按算术法则相加的物理量。比如，质量、温度、路程、电流等。

（４）“合力”与“分力”

人教版教材对“合力”和“分力”的定义如下：假设一个力单独作用的效果跟某几个力作用效果相同，这个力就叫作那几个力的“合力”（ｒｅｓｕｌｔａｎｔ ｆｏｒｃｅｓ）。假设几个力共同作用的效果跟某个力单独作用的效果相同，这几个力就叫作那个力的“分力”（ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｆｏｒｃｅｓ）［６］。图６中的等于和的合力，图７中的和可以看成的分力。

在教材的这一表述中，混淆了“合力”与“分力”是真实存在的力（具有施力物体）还是数学抽象运算的结果——合矢量与分矢量。不厘清这一区别，会导致学生找不准分解的对象，在受力分析中容易出现多力或者少力的情况。在后续“运动的合成与分解”中，“选不准分解对象”这一问题还会进一步放大。

在物理领域中，可以通过实验对物体受到的多个力及其共同作用效果进行测量，从而在此过程中认识到力既具有数量性，又具有方向性，力的合成存在某种规则。如果另一个相同的物体在只受到一个外力作用的情况下产生了相同的效果，那么单独作用的这个力可以等效替代“多个力”作用，称之互为“等效力”。两种情境中涉及的力均为有施力物体的真实存在的力。

在数学领域中，“有向线段”叫作向量，可以在坐标系里被分解或者被合成，合成就是向量的加法运算。如图８所示，向量是向量和的合向量，向量和是向量的分向量。它是一个抽象的数学运算结果，并不是一个真实存在的力。

我们把力学系统和数学系统进行类比和转译之后，就完成了力学系统中的“等效替代”关系与数学系统中的“矢量合成”关系的映射。等效力的存在是对矢量运算结果的验证，给“合力”这个概念赋予了经验的意义。“合力”是基于研究对象所受到的真实存在的力进行数学运算的结果，表征多个力的复合作用。“合力”是一种数学运算的结果，它不是与“多个力”同时真实存在于同一个物体上的“力”［７］。

同样的道理，在力的分解中用来作为分解的“力矢量”是真实存在的力，但分解后得到的“分力”不是与“单独的一个力”同时存在于同一个物体上的力，它只是数学运算得到的结果。

（５）相关概念在现行教材中的呈现顺序

物理领域：人教版初中物理八年级下册第七章《力》介绍了“力”的定义和力的图示及示意图；第八章《运动和力》介绍了“二力平衡”。学生初步了解“力”是一个有大小、有方向的矢量，只涉及同一直线上两个力的求和运算。人教版高中物理必修一第一章《运动的描述》涉及了“位移”“速度”“加速度”这三个矢量，在定义加速度的过程中，需要对速度矢量进行减法运算得到“速度的改变量Δ”，它也是一个矢量。第三章《相互作用——力》第4节“力的合成和分解”涉及同一平面上不共线的“力矢量”的求和运算。人教版高中物理必修二第五章《抛体运动》第2节“运动的合成与分解”涉及“速度”“位移”“加速度”的合成与分解。

数学领域：人教版高中数学必修二第六章《平面向量及其应用》第３节“平面向量基本定理及坐标表示”涉及向量求和的平行四边形法则以及向量的正交分解。但教材中是通过位移和力的合成引入的。

（６）“矢量的合成与分解”学习进阶层级划分及相应能力要求

综上分析，数学中相关内容的学习都是出现在相关物理内容之后，因此在我们的教学安排和备课中必须充分考虑到这个现实情况。结合学习进阶理论，现将“矢量的合成与分解”学习进阶层级进行划分（表１）。

本文对“矢量的合成与分解”学习进阶的划分，旨在帮助学生建立更小的思维难度跨越阶梯，为解决复杂问题提供切入口和抓手。在学会力的合成与分解的原则和实际操作步骤之后，可以进一步推广到其他矢量，比如“速度”“加速度”，为之后学习曲线运动提供抓手。矢量的合成与分解的适用范围包括曲线运动、匀强电场、匀强磁场等十分广泛的范围。

３ 小 结

学习进阶的划分不是本研究的终点，最终要以教学设计和课堂实施的形式进行检验，在实践中修正和完善。研究“矢量的合成与分解”这一概念的学习进阶划分的过程本身也是为物理概念教学、作业设计与评价提供研究方法。可以用这种方法继续做其他重要物理概念的研究，有助于提高教师备课的精确度。这一方法也可以指导学生进行综合复习，帮助学生将庞杂的物理情境整合进几个重要的核心概念中，提升学生知识的系统性。

参考文献：

［１］刘杨，杜雯，任媛媛．国外学习进阶研究的知识图谱分析［Ｊ］．生物学通报，２０２３，５８（５）：６－１０．

［２］郭玉英，姚建欣．基于核心素养学习进阶的科学教学设计［Ｊ］．课程·教材·教法，２０１６，３６（１１）：６４－７０．

［３］廖伯琴．以学生发展为本改进普通高中物理课程——《普通高中物理课程标准（２０１７年版）》解读［Ｊ］．人民教育，２０１８（１０）：４３－４６．

［４］人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心．普通高中教科书数学必修第二册［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０１９：６．

［５］皮亚杰．发生认识论原理［Ｍ］．王宪钿，译.北京：商务印书馆，１９８５：８６－９６．

［６］人民教育出版社，课程教材研究所，物理课程教材研究开发中心．普通高中教科书物理必修第一册［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０１９：７２．

［７］赵晓丹．高中物理力矢量建构的研究［Ｄ］．济南：山东师范大学，２０１５．

（栏目编辑 邓 磊）