两阶段非负矩阵分解算法及其在光谱解混中的应用

摘 要： 非负矩阵分解问题（nonnegative matrix factorization， NMF）模型已成功应用至高光谱遥感影像处理中的光谱解混工作，由于NMF优化模型具有多个局部极小点，使得分解结果不稳定。设计初始化方法或者选择带正则项的问题模型是提高分解精度的两种常用方法。本文提出了两阶段的NMF算法，实现了初始点选取和正则项设计的结合。第一阶段借助k-均值获得k 个聚类中心，给出迭代的初始点；利用第一阶段的初始矩阵U0，定义了针对端元矩阵的正则项U - U0 2F，第二阶段采用基于交替非负最小二乘框架的投影梯度算法，求解新的正则化NMF问题。正则项中的端元初始矩阵U0 除了采用k-均值获得k 个聚类中心，也可采用真实地物光谱，它的引入提高了算法的灵活度。数值结果表明新算法更加稳定，且分解的精确性有效提高。

关键词： 非负矩阵分解；正则项；投影梯度法；光谱解混

中图法分类号： 221；TP751.1 文献标识码： A 文章编号： 1000-2324（2024）03-0422-05

1 引言

高光谱遥感图像中包含丰富的地物光谱信息，它的“图谱合一”的特点使其在民用和军事领域发挥着越来越大的作用。在实际中，受空间分辨率限制以及地物的复杂多样性影响，一个像元内往往包含多种地物类型，称为混合像元。为了提高分类结果对真实地表覆盖的描述准确性，需要对混合像元进行分解，确定分解图像的基本成分（端元提取），计算每一个端元在该像元中所占的比例［1］。

针对光谱解混的两步工作分别为端元提取和丰度估计。其中端元提取方法主要有几何单形体体积法、空间投影法、稀疏回归算法等，丰度估计算法主要有基于贝叶斯方法、梯度下降法等。通过对遥感图像非负矩阵分解所得的两个矩阵分别对应端元矩阵和丰度谱图，可一次性完成两步工作。

NMF问题的求解算法大多基于交替非负最小二乘框架，可采用投影梯度法［2］、牛顿/拟牛顿法［3，4］、有效集型算法［5，6］以及内点法求解非负最小二乘问题，它们均得到了良好的收敛速度以及数值结果。受目标函数非凸性的影响，NMF的分解结果不稳定。大多算法运行结果的好坏，依赖于迭代初始点的选择以及问题模型的定义。初始化方面， Wild［7］提出采用k-均值或者球形k-均值给出NMF初始的因子矩阵。借助于奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）［8］，以及从待分解矩阵中选取合适的行或列向量也是常用的初始化方法。目标函数的选定方面，结合因子矩阵的具体含义，对NMF问题模型增加正则项也有助于获得相对稳定、有效的分解结果。稀疏性NMF［9-10］，正交约束NMF［11-12］，最小体积约束NMF［13］，图正则NMF［14］，上述模型具体应用于光谱解混时，分解结果有效改善。