运用矢量图求解高中物理共点力平衡问题

在高中物理中，共点力平衡问题是一个重要的内容．学生需要理解力的平衡条件，以及如何通过受力分析来解决这类问题．矢量图作为一种直观而有效的工具，可以帮助学生更清晰地理解力的合成与分解，从而更好地解决共点力平衡问题，下面分类讨论．

１ 一恒一向定（一力不变，一力方向不变）

当一个力大小和方向均不发生变化，一个力方向不变、大小未知，另一个力大小和方向均未知的情况下，可以运用矢量三角形，完成求解过程．求解步骤：１）明确研究对象;２）进行受力分析;３）将三个力的首尾进行连接，形成闭合矢量三角形;４）分析变化的力和不变的力，进行受力分析．

例１ 在没有起重机的情况下，工人要将油桶搬运上汽车，常常用如图１所示的方法．已知油桶重力大小为G，斜面的倾角为θ．当工人对油桶施加方向不同的推力F 时，油桶始终处于匀速运动状态．假设斜面与油桶的接触面光滑．在推力F 由水平方向逐渐变为竖直方向的过程中，以下关于油桶受力的说法正确的是（ ）．

A．若力F 沿水平方向，F 的大小为Gsinθ

B．若力F 沿水平方向，斜面对油桶的支持力大小为Gcosθ

C．F 由水平方向逐渐变为竖直方向的过程中，斜面对油桶的支持力逐渐变大

D．F 由水平方向逐渐变为竖直方向的过程中，推力F 的最小值为Gsinθ

解析

油桶的受力分析如图２所示，当力F 沿水平方向时，由于油箱为匀速运动状态，因此受力平衡，则水平方向和竖直方向上有F ＝FNsinθ，FNcosθ＝G，解得F＝Gtanθ，FN＝ G/cosθ，故A、B错误．在力F 由水平方向逐渐变为竖直方向的过程中，支持力逐渐变小，且推力最小时，与支持力FN 垂直，即沿斜面方向，此时为Fmin＝Gsinθ．故选项C错误，D正确．故选D．

２ 一恒两向变（一力不变，两力方向都变）

当一个力大小和方向均不发生变化，其余两个力大小和方向均未知时，仅依靠矢量三角形，不能完成求解过程，还需结合几何三角形．求解步骤：１）明确研究对象;２）进行受力分析;３）将三个力首尾连接，形成闭合矢量三角形;４）找出相似三角形;５）找到力的矢量三角形和相似三角形的比例关系;６）通过分析几何三角形边长的变化情况，结合比例关系式，确定力的变化情况．

例２ 半径为R 的半球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，滑轮到球面B 的距离为h，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A 点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图３所示，现缓慢地拉绳，在使小球由A 到B的过程中，半球对小球的支持力FN 和绳对小球的拉力FT 的大小变化的情况是（ ）．

A．FN 不变，FT 变小

B．FN 不变，FT 先变大后变小

C．FN 变小，FT 先变小后变大

D．FN 变大，FT 变小

解析

以小球为研究对象，分析小球受力情况，其受到重力G、细线的拉力FT 和半球面的支持力FN 三个力的共同作用，受力分析如图４所示．

当缓慢拉绳移动小球时，重力的大小和方向均不发生变化，另外两个力的方向一直在变化，大小未知，但此时小球一直处于平衡状态，有FN 和FT 的合力F＝G．由△A′C′O′∽△ACO，可得FN＝（AO/CO）G，FT＝（CA/CO）G．在缓慢移动过程中，AO、CO 的长度不变，CA的长度变短，因此小球所受的支持力大小不发生变化，所受的拉力FT 变小．答案为A．

３ 一恒两向夹角定（一力不变，另两力夹角不变）

当出现一个力大小和方向均不发生变化，其余两个力的方向夹角不变，但大小和方向均未知的情况时，仅依靠矢量三角形，不能完成求解过程，还需结合圆的相关知识进行分析．求解步骤：１）明确研究对象;２）进行受力分析;３）将三个力的首尾连接，形成闭合矢量三角形;４）构造矢量三角形的外接圆，此时三个力对应三个弦长;５）结合题意，分析弦长的变化情况，确定力的变化情况．

例３ ON 为一段细绳，其一端被固定在O 点，另一端用手拉住．绳子的中间M 点处，悬挂着一个重物，将该细绳分成了OM 和MN 两段．初始状态下，OM 处于竖直方向，且此时MN 完全被拉直，两段绳子之间的夹角为α（α＞π/２）．某时刻，将该重物缓慢提起，在提起的过程中夹角不发生变化，则当OM 从竖直变化至水平的过程中（ ）．

A．细绳MN 上的拉力的变化情况是一直增大

B．细绳MN 上的拉力的变化情况是先增大后减小

C．细绳OM 上的拉力的变化情况是一直增大

D．细绳OM 上的拉力的变化情况是一直减小

解析

对重物受力分析，如图６所示．由于保持夹角α（α＞π/２）不变，即保持α 的补角θ 不变，且θ为锐角，作矢量三角形外接圆，让重力线段的两端点和绳子MN 拉力的右端点在圆上，由于θ 角是以重力为弦的圆周角．在力的矢量三角形MPQ 中，QM 等于重力大小且方向始终竖直，顶点P 由P 点经过圆周到R 点的过程，就是OM 由竖直被拉到水平的过程，可以看出，MN 上的拉力从０逐渐增大到沿圆的直径方向，故MN上的拉力逐渐增大;矢量三角形MPQ 的PQ 边先逐渐增大到直径再逐渐减小到RQ，故OM 上的拉力先增大再减小，故C、D错误．故选A．

４ 四力平衡

当出现四力平衡时，关键在于结合题意，将四力变成三力．

例４ 某飞机沿水平方向超音速匀速巡航时升阻比（垂直机身向上的升力和平行机身向后的阻力之比）为根号下１５，飞机的重力为G，能使飞机实现水平匀速巡航模式的最小推力是（ ）．

A．G B．G/根号下１５

C．G/１６ D．G/４

解析

飞机匀速巡航，受到重力、升力、阻力和推力四个力的作用，其中垂直机身向上的升力和平行机身向后的阻力之比恒定，即升力和阻力的合力方向一定．这样飞机受到的四个力变成了三个力的作用———重力的大小方向一定、升力和阻力的合力方向一定、推力的方向和大小不同，三个力将构成一个动态的矢量三角形，如图７所示．

由图７可得，F推min＝Gsinθ＝G/４．故选D．

矢量图法具有简单、直观的特点，所以在物理解题中有着广泛的应用．用该方法求解共点力平衡问题时应首先确定哪个力为恒力，哪个力的方向不变，另一个力变化时的角度增、减关系，从而利用三角形法则进行动态分析．

（完）