由一道关于绝对值的题目想到的

前几天的数学课上，我遇到了一道有趣的题目：

[x-2]+[x+2]的值最小时，x是多少？

经分析，我们可以发现，数轴上，[x-2]就是x到2的距离，[x+2]就是x到-2的距离，如图1。

那么，当x＞2时，[x-2]+[x+2]就是x到2的距离的两倍加[2-（-2）]；当x＜-2时，[x-2]+[x+2]就是x到-2的距离的两倍加[2-（-2）]；当-2≤x≤2时，[x-2]+[x+2]就是[2-（-2）]，即4。

显然，当原式的值最小时，-2≤x≤2，即x在加上的数与其相反数之间取值！

那么，再添加一项呢？如：

[x-2]+[x+2]+[x-12]的值最小时，x是多少？

同理，数轴上，[x-2]就是x到2的距离，[x+2]就是x到-2的距离，[x-12]就是x到12的距离。如图2，

最终得出，原式值最小时，x为2，即x取数轴上三个数中位置居中的那个数。

那么，再添加一项呢？如：

[x-2]+[x+2]+[x-12]+[x+11]的

值最小时，x是多少？

同理，数轴上，[x-2]就是x到2的距离，[x+2]就是x到-2的距离，[x-12]就是x到12的距离，[x+11]就是x到-11的距离，如图3。

最终得出，原式值最小时，-2≤x≤2。

经过多次尝试，我发现：

求题目中代数式的最小值，当含有绝对值的项数为奇数时，在数轴上，x取数值居中的数；项数为偶数时，x在数值居中的两个数之间取值。

但怎么证明呢？我想到了绝对值不等式。

我们知道，x2-2[x][ y]+y2≤x2+2xy+y2≤x2+2[x][ y]+y2，即（[x]-[y]）2≤（x+y）2≤（|x|+|y|）2，即[x]+[y]≥[x+y]≥[x-y]，这就是绝对值不等式，当xy≥0时左边取等，当xy≤0时右边取等。

对于代数式[x+a]+[x-b]+[x-c]（-a≤0≤b≤c），因为[x+a]+[x-b]+[x-c]=

[x+a]+[x-b]+[c-x]≥[（x+a）+（c-x）]

+[x-b]=[a+c]+[x-b]。因为[a+c]是一个常数，若要原代数式取最小值，[x-b]得最小，所以x=b，即在数轴上，x取三个数中数值居中的那个数。

对于代数式[x+c]+[x-d]+[x-b]+

[x+a]（-a≤-c≤0≤d≤b），因为[x+c]+

[x-d]+[x-b]+[x+a]=[x+c]+[d-x]+[b-x]+[x+a]≥[（x+c）+（b-x）]+[（d-x）+（x+a）]=[b+c]+[d+a]。若要原代数式取最小值，得满足（x+c）（b-x）≥0且（x+a）（d-x）≥0，因为-a≤-c≤0≤d≤b，所以通过数形结合，在数轴上，x得在-c与d之间，即-c≤x≤d，x在数值居中的两个数之间取值。

同理，其他项数的代数式都可以用这个方法证明。小伙伴们，你还有其他方法吗？

教师点评

邓橡逸格同学有一种挖地三尺挖出“病根”的精神，能以不同的方法实施一题多解、订正、一题多变，题从何来，该题的优点、解法到注意点，小邓都可以娓娓道来，给我留下了深刻印象。这里，小邓用我提出的从“题根”（定理与公式）去拓展、探究、发现。该文切口很小，但观察的视角很新，文中的“惊讶”“有趣”“尝试”“证明”，无不说明作者对数学学习的自主性和趣味性。每个结论的得出，说明他在好奇心驱动下，不断体验着学习的成就感。这是创造式数学最有价值的学习方式，值得同学们借鉴。

（指导教师：符永平）