阅读材料中的启示：“换位”证明——反证法

今天遇到一道有趣的题目：

已知n是整数，n2是5的倍数，求证：n是5的倍数。

直觉告诉我，n肯定是5的倍数，但是如何有力地证明它呢？

教材中的“看一看”引起了我极大的兴趣。书中要求证“两直线平行，同位角相等”，它先假设同位角不相等，再证明此假设是错误的，最终得出了与假设相反的结论。

通过咨询老师，我了解到此证明方法叫作“反证法”。这种方法不是直接证明结论，而是去否定与结论相反的一面，从而间接地证明结论。

为了使我更深入地理解此方法，老师给我出了道题：

使用反证法证明“在同一平面内，若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线也互相平行”。

我冥思苦想了一段时间，想出了证法：

已知：如图1，在同一平面内，有直线AB、CD、EF，且AB∥EF，CD∥EF。

求证：AB∥CD。

我们可以先假设AB不平行于CD，则AB与CD相交，设交点为P。又因为AB∥EF，CD∥EF， 所以过P点有两条直线，而AB和CD都平行于直线EF，这显然与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾。因此，假定AB不平行于CD是错误的。由此可知，AB∥CD。

理解了反证法的精髓，我豁然开朗，很快想出了开篇那道题的证法：

假设n不是5的倍数，即n不能被5整除，则n被5除的余数可能为1、 2、 3、4，即n=5m+1或n=5m+2或n=5m+3或n=5m+4（m为整数）。

①当n=5m+1时，n2=（5m+1）2=5（5m2

+2m）+1，由于5（5m2+2m）是5的倍数，而1不是5的倍数，所以n2不是5的倍数。

同理可知：

②当n=5m+2时，n2=（5m+2）2=5（5m2

+4m）+4。

③当n=5m+3时，n2=（5m+3）2=5（5m2

+6m）+9。

④当n=5m+4时，n2=（5m+4）2=5（5m2

+8m）+16。

它们都不是5的倍数，这些结果都与题设矛盾，所以得证：n是5的倍数。

我将我的想法告诉老师后，老师狠狠地表扬了我。

经过本次研究，我了解并初步学会了使用反证法。反证法所体现出的逆向思维和“换位”思想，可以帮助我们很好地解决一些数学问题，使我们在只依靠所给条件思考而走到山穷水尽局面的时候，呈现出柳暗花明又一村的境地。

教师点评

数学教材给我们提供了很多有趣、有价值的阅读材料。小作者通过教材提供的阅读材料，进行学习研究，积极和老师交流，获得新的证明思路，并大胆使用研究收获，应用到问题解决中，从而学有所获，学有所得，学有所用，其学习方法、探究意识值得肯定，值得大家借鉴。

（指导教师：杨石波）