唯有“证”过，才能“理”所当然

在生活中，你是否有过凭经验做事的经历呢？如果遇到相同的问题，重复出现多次，你会不会觉得结果是理所当然的呢？在学习中，你是否也会如此呢？

比如，苏科版数学教材七（下）第25页，有这样一个问题：

画出三角形的3条中线，你有什么发现？

当时，我画了好几条不同形状的三角形中线，发现每个三角形的三条中线都是交于一点的。哦，原来三角形的三条中线交于一点呀，真开心，又发现了一个“真相”！直到我学习了第十二章“证明”，才知道当初的我多肤浅啊，作图有误差，有时眼见还未必真实呢，探索发现的结论不一定都是正确的，必须要经过证明才可以。我所发现的这个“真相”其实仅仅是一个猜想，必须要去证明才能成为真相！说干就干，我拿起纸笔，开始证明！

如图1，BE和CD是△ABC的两条中线，交点为G，连接AG并延长，交BC于点F。求证：AF是△ABC的中线。

说到三角形的中线，大家马上会想到平分面积，所以聪明的你猜到我接下来使用的方法了吗？

对了，就是把两个共边三角形的面积比转化成线段比。我们先来看图2，在△ABC中，D为BC上的一点（D不与B、C重合），E在线段AD上（E不与A重合）。因为△ABD和△ACD同高，所以S△ABD∶S△ACD=BD∶CD。同理S△EBD∶S△Wy47yTwbi09EcX/9u1M7BTMFtMyfNPTKLLFQNGvhjHs=ECD=BD∶CD。所以（S△ABD-S△EBD）∶（S△ACD-S△ECD）=BD∶CD，即S△ABE∶S△ACE=BD∶CD。让我来考考你，如果E在射线AD上，这个结论还成立吗？

回到图1的证明：

∵D为AB中点，

∴S△ACD=S△BCD=[12]S△ABC，

S△ADG=S△BDG=[12]S△ABG。

同理S△ABE=S△CBE=[12]S△ABC，S△AEG=S△CEG=[12]S△ACG。

∴S△ACD=S△ABE，

∴S△ACD-S四边形ADGE=S△ABE-S四边形ADGE，即S△CEG=S△BDG。

∴S△ABG=S△ACG。

将面积比转化为线段比，我们得到S△ABG∶S△ACG=BF∶CF。

∴BF=CF。

∴AF是△ABC的中线。

除此之外，我还发现，G为中线的三等分点。因为S△ADG=S△BDG=S△AEG，所以S△ABG=2S△AEG。所以BG=2GE。同理可得AG=2GF，CG=2GD。真是惊喜不断啊！

好了，终于把三角形的三条中线为什么交于一点弄明白了。不管是生活还是学习，唯有通过证明得到的结论，才能用得理所当然、心安理得！

教师点评

对于课后作业中涉及的一些结论，很多同学往往会凭“经验”来解题，而不知其中的“道理”。在几何证明中，对于一些结论，我们不能知其然，而不知其所以然。沈亦琳同学在学习过程中，善于思考，通过“证明”这章的学习，意识到证明的重要性，于是回想第七章中的这道课后习题，把曾经的猜测，通过严谨的推理，得到证实，让想当然的“结论”变成理所当然的“真理”，这种严谨的学习态度值得表扬！

（指导教师：孙媛媛）