熟悉的“陌生人”

小伙伴们，在生活中，你们是否有过这种情况：面前的人，明明之前接触过、交流过，但就是一时想不起来他的姓名。学习中是否也经常如此？试卷上的题目，似曾相识，或者老师刚讲过，但就是进了“一听就懂，一做就错”的怪圈。

譬如，我们学习不等式这章时，关于已知整数解个数，求参数字母的取值范围这个类型，刚开始我就经常出错，有时漏了等号，有时不知道哪边取等号，等等。但我天生不服输，凡事总要弄个明白。

请看题：已知关于x的不等式组[-x+a＜2，①3x-12≤x+1②]恰有3个整数解，则a的取值范围为 。

遇到这种题目，我们该如何思考呢？经过我和小伙伴的不懈努力，对此类问题，我们总结了以下几种思路方法。

首先，拿到题，我相信大多数同学和我们一样，无论如何，把会做的先做出来再说。解不等式①，得x＞a-2；解不等式②，得x≤3。题目告诉我们恰有3个整数解，所以不等式组的解集为a-2＜x≤3，进一步可以确定3个整数解为3、2、1，此时可大致知道a-2便在0与1之间。后面就是我一开始有点迷糊的地方，等号该加在哪呢？究竟是0≤a-2＜1，还是0＜a-2≤1？于是我们想起老师经常说的“数形结合”，便请出了老朋友——数轴。如图1，思考a-2的等号加哪边的同时，也别忘了原题中的另一个关键：x＞a-2。这里的“＞”无等号，数轴上得是空心圆！

空心圆，表示取不到，若在1上，则1就被排除在外了，这可万万不行呀！若在0上面，0还是乖乖在外，依然保证了3个整数解，倘若a-2跑到0的左边（如图2），那区间内就有四个整数解了，不满足题意。如此一来，答案就明了了！所以一定得是0≤a-2＜1，即a的范围为2≤a＜3。

可能有同学要说：“老师也这么讲呀，可我有时候还是有点犯糊涂，还得画好几个数轴一一比对呀。”那接下来，我们再悄悄告诉你一招。

在纸上把数轴和确定的解集部分画好，如图3，再拿起你的透明垫板（只要透明、可书写就行），在上面画图4，接下来见证奇迹的时刻到了，把画好图4的透明垫板放在图3上，来回移动垫板，就可得到图1、2及其他状态下的情形啦！在慢慢移动的过程中，可以边移动、边观察在区间内整数解个数的变化情况，尤其是临界值的情况。怎么样？动手操作一下，是不是直观多了？

如果你还是觉得作图麻烦，那我们也可以回归到最原始的不等式（组）解的定义上。由上面的分析可知3个整数解为3、2、1，其中1是不等式的一个解，所以把1代入不等式①中，不等式成立，即-1+a＜2，所以a＜3；0不是不等式组的解，所以0代入不等式不成立，即0+a≥2，所以a≥2，所以2≤a＜3。亲爱的小伙伴们，我有没有说清楚呢？嘻嘻！

你现在是不是摩拳擦掌，想试一试呢？下面给出两题：

（1）若已知关于x的不等式组[3（x-2）＜4（x-1）， 2x-m≤2-x]恰有2个整数解，则m的取值范围是 。

（2）若已知关于x的不等式组[x≤-2， x≥a]恰有4个整数解，则a的取值范围是 。

怎么样？你一定快速而且准确地得到如下答案了吧：（1）-2≤m＜1；（2）-6＜a≤-5。来，为好学的我们隔空击个掌，一起继续努力，分享更多的学习秘诀！

教师点评

一般来说，不等式中有关整数解的问题，有一定的难度，尤其是含有参数的不等式（组）。本篇的两名小作者，在平时学习的过程中，善于思考、总结，撰写了多篇与不等式有关的数学小文章。本文不仅从数形结合和不等式解的定义出发，娓娓道来解决此类问题的思维过程与方法，更向小读者们介绍了易操作的透明垫板的辅助解题方法，让抽象的知识变得更为直观、易懂。

（指导教师：黄萍）